分式復(fù)習(xí)講義

1、、基本概念1.1.形如A（A、B是整式，且B中含有字母，BM0 0）的式子，叫做 分B式. .其中A叫做分式的分子叫做分式的分母. .整式2.2.整式和分式統(tǒng)稱有理式，即有理式八卡分式二、分式的基本性質(zhì)1.1.分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分 式的值不變. .用式子表示即是：A A M A A M B B M B B M注意： 在分式中， 分母的值不能是零。如果分母的值是零，則分 式?jīng)]有意義。2.2.符號(hào)規(guī)則：分式的分子、分母和分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。用式子表示即是：-a a；-a aa-b bb - bb三、運(yùn)算法則1.1.乘法法

2、則：a c ac b d bd2.2.除法法則：a c a dadb d bebc3.3.加減法則： （1 1）a ba b(2)a c ad bc ad bcc ccb d bd bdbd4.4.乘方法則：nnaa /n(n n 為正整數(shù)， b b0）b b四、例題選講例 1.1.下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式?分式復(fù)習(xí)講義（其中 M M 是不等于零的整式）例 2.2.當(dāng)x取什么值時(shí)，（1 1）；X1分析：要使分式有意義，必須且只須分母不等于零解：（1 1）分母x1工 0 0,即x工 1.1.所以，當(dāng)x工 1 1 時(shí)，分式有意x1義. .（2 2）分母 2 2x 3工 0 0,即x工

3、-?.-?.所以，當(dāng)x工-?時(shí)，分式222x 3有意義. .2 -(1(1)-;X（2 2） | ； （3）詵；（4）字解：屬于整式的有:練習(xí) 1 1：（2 2）、（4 4）;屬于分式的有：（1 1）、（3 3）. .1.1.下列各式中，13弓尹，3(a b)，-，3x 22 y 3X242；是整式的有是分式的有2.2.下列各式中，哪些是整式? 哪些是分式?2a2b512x2a，F(xiàn) F 列分式有意義?（2 2）. .2x 3例 3.3. （1 1）當(dāng) x x 為何值時(shí)，分式冷無(wú)意義？x x 2（2 2）當(dāng) x x 為何值時(shí)，分式 子1的值為零？x 2x 3分析：判斷分式有無(wú)意義，必須對(duì)原分式進(jìn)

4、行討論，？而不是討論化簡(jiǎn)后的分式；在分式 中，若 0 0，則分式無(wú)意義，B若 BMBM0 0,則分式有意義；的值為零的條件是 0 0BB且 BMBM0 0,兩者缺一不可。2解：(1 1 )要使分式 邛 無(wú)意義，則需 X X1 1 2 2 x x- 2=0.2=0.即：(1)=0(1)=0 x x 22 /所以當(dāng) 2 2 或一 1 1 時(shí)，分式再-無(wú)意義;x x 2要使分式 好的值為零則需1= =0, 且 x x2+ +2x3工0,即：(1)(1)工 0 0 解得一 1 1 .所以當(dāng)一 1 1 時(shí)，分式X 1x22x 3練習(xí) 2 2:1.若使分式 * 的值為 ,則x的取值為. .2 2 如果分式

5、 山的值為零，那么x= =. .3x 9(1)3x 22x 1，(3)例 4.4.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“- -”號(hào). .-6bx2m7m3x. .5a3yn6n4y分析：每個(gè)分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號(hào)，同時(shí) 改變兩個(gè)符號(hào)，分式的值不變. .6n 6n 4y 4y1 1.a b例 5.5.不改變分式的值，把分式的分子、分母中的各項(xiàng)系數(shù)a b23都化為整數(shù). .例 6.6.不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)：分析：由于要求分式的分子、分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，而 對(duì)分式本身的符號(hào)未做規(guī)定，所以根據(jù)分式的符號(hào)法則，使分式中分子、分母與

6、分式本身改變兩處符號(hào)即可。a2a 2(a2a2)a2a2a33a 1(a33a 1)a33a1333a 1 (a 1) a 1-22a a 1 a a 1 a a 1解:6b 6b .2m 2m .5a 5a3y 3y7m 7m3x3x解:124a3b（扁?b)126a4b(1)2 a a2a33a 11 x x21 x2x3(3)1 a3a2a 1解：（1 1）原式1 1.a b34117a b232 2(2(2)原式：1F ： x x 1 x x 1說(shuō)明：1.1.分子與分母是多項(xiàng)式時(shí)，若第一項(xiàng)的符號(hào)不能作為分子或分母的符號(hào)，應(yīng)將其中的每一項(xiàng)變號(hào)。2.2. 兩個(gè)整式相除，所得的分式，其符號(hào)法

7、則與有理數(shù)除 法的符號(hào)法則相類似，也同樣遵循“同號(hào)得正，異號(hào) 得負(fù)”的原則。練習(xí) 3 3：1 1 .不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“- -”號(hào). .2x x 1 2.x x 1（3 3）原式3(1(1) )弄(2)3a17b2(3)(3)(a b)2m2.2.不改變分式的值，使分子第一項(xiàng)系數(shù)為正，帶“- -”號(hào). .并且分式本身不(2)x 2y3x y(3)22x y 12xy 16y-8xy22x2y22x2y22 2 2:y12xy 16y例 7.7.約分：(1 1)8y2-8xy22x(2)(x23x)(x23x 2)2(x x2)(xx 6)解：（1 1）原式2y(x26

8、x 8)2y2(4 4x x2)(x 4)(xy(2 x)22)(x 4)(2 x)y(2 x)2x)（2 2） 原式x(x 3)( x 1)(x 2)x(x1)(x3)(x 2)例 8 8.通分1b(1)a212 x xy解：（1 1）1a2b與ab2的最簡(jiǎn)公分母為2, 2a b(2)1 b_b222 abba b1_ab2_ 1_ab2aa2b的最簡(jiǎn)公分母為y()()()()，1(x y)(x y)(x y)1 (x y)x y (x y)(x y)(3)字2與J的最簡(jiǎn)公分母為x y x xyx()()x()()，即 x x321= =1 x2 2x y x(x y)(x y)x32x x

9、y1_= =1 (x y)x2xy x(x y)(x y)x y32x xy32練習(xí) 4 4:1 1. .化簡(jiǎn)下列分式:2(1)mm 1xy；2；x(3)X22x 11x2約分：(1 1)12a2b3c3b2c2(2)2a-2 a12a 1練習(xí)3.3.通分：(1 1)例 9 9 .計(jì)算:2 172，23a 6ab(2)2x33 2x2x 54x292 ,2ab.-3aba22ab b2a2ab1b2b a4解：原式亍原式(aa3b)5(-b3)b)(a2 2(a b)(a ab b )-_a22aba2ab(a b)2b21(a_ 1b)(a b)2b25 5: 1.1.計(jì)算下列各題:(2)2

10、a xy.2 2b z2a yz；b x(3)2x y2x8xy引5x2.2.計(jì)算下列各題:d)d)x2X2X(2)6yy 2(3 y)(4)2aa22a 1a21a24a 45x x2x2165x 4x例 10.10.計(jì)算：(1 1)區(qū)山xyy)2xy24x2164例 1111.計(jì)算下列各題:分析：(1 1)題只含分式的乘除運(yùn)算，應(yīng)先把除法化為乘法，再約 分；(2 2)題只含分式的加減運(yùn)算，應(yīng)先通分.當(dāng)分式的分 子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先將多項(xiàng)式分解因式.注意到x22x x(x 2),2x x2x(x 2),所以最簡(jiǎn)公分母是x(x 2)(x2)2解：(1 1)原式= =(a 3)(a習(xí)？1?

11、上可一a 3 (a 3)(a 3) a(a 2)= =1a(2 2)原式 &4)(x 2) x(x 2)_2 2解：(1 1)原式(xy)(X y) (x y X y)(x y X y) 2x?2y xy xyxy原式二宀24_3( x 4)(x 4)(x4) (x 4)( x 4)24(x 4)(x 4)3x 1224(x 4)(x 4)3x 12_3(x 4)(x 4)(x4) (x 4)( x 4)說(shuō)明：第(2 2)題中兩個(gè)加項(xiàng)的分母不同，要先通分，化為 同分母分式。為此，先找出它們的最簡(jiǎn)公分母。注意到x216= =(x 4)(x 4), ,所以最簡(jiǎn)公分母是(x 4)(x 4)。

12、練習(xí) 6 6:計(jì)算下列各題: :(1(1) )x242x 1x24 x 2(1)a2a 6a 3(a29)a26a 92a a242x22x x2x(x 2)(x 2) x(x 2)(x 2) x(x 2)(x 2)x22x 8 (x22x) 2x 4x(x 2)(x2)2x 4x(x 2)(x 2)2(x2)x(x 2)(x2)2x例 12.12.計(jì)算：（1 1）4x y4y2x-22x y(2)(12a22a26a 5a 12a解：（1 1）原式= =2 2 2(x y )(x y12 2x y2x2xy(x y)(x y)2x y2xxy(y x)y)(x y)(xxyx y(2(2)原

13、式= =空1 a(1 a)21 a2a(11a)2aa2126a 5a 12a2(112a) a2aa2(2aa211)1)(3a練習(xí) 7 7:計(jì)算下列各題:(1)(二3a 11)a21(a24x(1(2a 1)(3a 1)12a 112a(2)x22xx211）(x4xy )x y例 13.13.解答下列各題：（1 1）先化簡(jiǎn)，再求值：（丄-X X 2 2）,其中J（3 2；x 2 x 2（2 2）若21=3=3,求 *丄 1x y） 4的值.x yx x y xx分析：（1 1）題求值應(yīng)先分別把條件及所求代數(shù)式化簡(jiǎn)，？再將化簡(jiǎn)后的條件代入化簡(jiǎn)后的式子中求值.（2 2）題運(yùn)用分配規(guī)律及整體代

14、入的思想可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.2解: (1 1)原式(x 3)(丄)(x 3)(X 9)x 2 x 21x 2 x 2(x 3) x 2_ 1_x 2 (x 3)( x 3) x 33V2 2 3 3- - - -(3 2 - 3)23 32 232 23-3-3二當(dāng).（3 2:3）2時(shí)，111 ? . 32、.3-3 3 22*3? *3(2(2花=3 32y2y3.原式練習(xí) 8 8:1.1.先化簡(jiǎn)，2.2.先化簡(jiǎn)，3.3.先化簡(jiǎn)，原式（yx再求值:再求值:再求值:4.4.先化簡(jiǎn)，再求值:y)? x3x2 xxy_ xyx_ xy2y x 2y 2y x 3xy2)?-4其中 1 1x(七x 23

15、x (xx 2a 1a 1竺，其中 20102010 x 22)其中 x x =2，.2x 221, ,其中a 1 .2a 2a 1 a5.5. 先化簡(jiǎn)，再求值：丄J，其中x、3 1x 1 X21 x22x 16.6. 先化簡(jiǎn)，再求值：(丄丄)于2其中X .3,y 2y x x 2xy y探究實(shí)踐【問題 1 1】西瓜以千克計(jì)價(jià)，購(gòu)買西瓜時(shí)，？希望可食用的部分占整個(gè)西瓜的比例越大越好.如果一批西瓜的皮厚都是d d 試問買大西瓜合算還是買小西瓜合算？( ？把西瓜都看作球形，并設(shè)西瓜瓤?jī)?nèi)物質(zhì)解：設(shè)西瓜的半徑為 R,R,貝何以食用部分的半徑為，可以食用部分與整個(gè)西瓜的體積的比為：43-(R d)333

16、3 )(Rd) Rdd、3忌R3廠(1孑-3因?yàn)?d d 為常數(shù)，可見 R R 越大，d越小，1 1 -越大，從而可以食用RR部分占整個(gè)西瓜的比越大，所以說(shuō)購(gòu)買大西瓜更合算.【問題 2 2】閱讀并計(jì)算下列各式：1 1 1 1 1 1 111112；+- =( ) ( ) 1 1 21221 22 31223331 1 1+ + =1 22 3 3 4猜想：1 1 1 1ggg_ ;122 33 4 n(n 1)1 1 1 1ggg_;24 4 6 6 82n(2 n 2)解：3；.n-4；n 1；4(n 1)評(píng)析：把一分式“分解”為兩個(gè)分式的代數(shù)和的形式能使得運(yùn)算的密度分布是均勻的，3)簡(jiǎn)捷，

17、？體現(xiàn)了式的恒等變換的重要功能.五. .分式方程及其解法1 1 .分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程2.2. 分式方程的解法(1 1)去分母法的步驟：去分母法：在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；解這個(gè)整式方程；把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母中檢驗(yàn)，看結(jié)果是不是零，使最簡(jiǎn)公分母不為零的根是原方程的根， 使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根， 必 須舍去. .在上述步驟中，去分母是關(guān)鍵，驗(yàn)根只需代入員簡(jiǎn)公分母進(jìn)行運(yùn)算. .(2)(2) 換元法用換元法解分式方程，也就是把適當(dāng)?shù)姆质綋Q成新的未知數(shù)， 求出新的未知數(shù)后再求出原來(lái)的未知數(shù).例 1 1:解方程：乙丄=-2 2x 33

18、x解：去分母，方程兩邊同乘以x-3,3,得：2 2- 1 1-2 2 (x-3 3)解這個(gè)方程，得 3.3.檢驗(yàn)：把 3 3 代入公分母(x-3 3)中，公分母x-3 3 的值為零，即3 3 時(shí)，方程中的分式無(wú)意義，因此 3 3 不是原方程的根二原方程無(wú)解. .例 2 2:解方程：(1 1)丄二纟;(2 2)2.2.x 1 x2x 1 1 2x解：(1 1)去分母，方程兩邊同乘以X(X- 1 1 ),得：3434 (x-1 1)解這個(gè)方程，得 4 4檢驗(yàn)：把 4 4 代入x(X- 1 1) =4=4X3=123=12 工 0 0,二原方程的根為 4.4.(2 2)去分母，方程兩邊同乘以(2 2

19、x- 1 1),得1010-5=25=2 (2 2x- 1 1)解這個(gè)方程，得74檢驗(yàn)：把7代入原方程分母 2 2x仁 2 2X7仁？工 0.0.442二原方程的根為-.42例 3 3：若關(guān)于x的方程 口 = = 壬 有增根，求m的值. .x 33x 9分析：首先增根是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)所得到的整式方程的根，其次增根又是使最簡(jiǎn)公分母為零的數(shù)。關(guān)于x2的方程 乞=有增根，則此增根必使 3 3x-9=09=0,即x 33x 9必有 3 3 (x-3 3) =0=0,所以增根必定為 3.3.解：去分母，方程兩邊同乘以 3 3 (x 3 3),得：23 3 (x- 1 1). .根據(jù)題意，3 3

20、 是上面整式方程的根，23 3 (3 3- 1 1), ,二 6 62例 4 4:解方程2(x1)x 1 x 12解：設(shè)；則孚 丄.于是原方程變形為：2y - 7x 1x 1 yy方程兩邊都乘以 y y，約去分母整理得：2y2y2-76=0-76=0解這個(gè)方程得：y y1=2=2； y y2= =-22當(dāng) y y1=2=2 時(shí)，-_-_ =2=2，去分母并整理得：x x2-2-2 仁 0 0 x 1解得：x 122當(dāng) y y2=i=i 時(shí)，H=iH=i，去分母并整理得：x2-31= =0檢驗(yàn)：把x12，x寧分別代入原方程的分母中，因?yàn)楦鱾€(gè)分母都不等于零，所以它們都是原方程的根解得：x3174例

21、 5 5：解方程(=)(=)6 0原方程的根是：X112；x21 .2；3 17h；x43、17解：設(shè)亠；則原方程變形為：y25y 6 0 x 1解這個(gè)方程得：解這個(gè)方程得：y yi2 2 ； y y23 3當(dāng) y yi2 2 時(shí)，丄 2 2,去分母并整理得：3232 解方程得：x -x 13當(dāng)沖時(shí)，3 3，去分母并整理得：4343 解方程得：x x - -x 14檢驗(yàn)：把x?；x 9分別代入原方程的分母中，因?yàn)楦鱾€(gè)分34母都不等于零，所以它們都是原方程的根 原方程的根是：23X1- ；X2.34基礎(chǔ)練習(xí)1 1 .用換兀法解分式方程嚴(yán)X 1 3時(shí)，設(shè)嚴(yán)y y，原方程變形為x 13xx 1( )

22、(A A) y y2- 3y3y + 1 1 = 0 0 ( B B) y y2+ 3y3y + 1 1 = 0 0 (C C) y y2+ 3y3y - 1 1 = 0 0 (D D)2y y y y + 3 3= 0 02.2.用換元法解方程 x x2+ 8x8x + + . .x28x 11= 2323,若設(shè) y y=. x28x 11，則 原方程可化為()2 2 2 2(A A) y y + y y + 1212= 0 0 ( B B) y y + y y 2323= 0 0 (C C) y y + y y 1212= 0 0 ( D D) y y + y y 34=034=03.3.

23、 若解分式方程 呼=產(chǎn)生增根，則 m m 的值是()x x(A A) 1 1 或2 2(B B) 1 1 或 2 2(C C) 1 1 或 2 2( D D) 1 1 或2 24.4. 解方程=1 1 時(shí)，需將方程兩邊都乘以同一個(gè)整式約去分母，所乘(A(A) x x 1 1(B(B) x x (x x 1 1)(C(C) x x(D(D) x x + 1 1的這個(gè)整式為()5.5. 先閱讀下面解方程 x x+ = 2 2 的過(guò)程，然后填空解：（第一步）將方程整理為 x x 2 2 + = 0 0;（第二步）設(shè) y y =，原方程可化為 y y2+ y y= 0 0;（第二步）解這個(gè)方程的 y y1= 0 0, y y2= 1 1（第四步）當(dāng) y y = 0 0 時(shí)，=0 0;解得 x x = 2 2,當(dāng) y y = 1 1 時(shí),=1 1,方程無(wú)解；（第五步）所以 x x = 2 2 是原方程的根以上解題過(guò)程中，第二步用的方法是 _ ，第四步中，能夠判定方程=1 1 無(wú)解原根據(jù)是 _。上述解題過(guò)程不完整，缺少的一步獨(dú)立練習(xí)：1.1.給出下列六個(gè)方程：（1 1） x x2 2x2x + 2 2= 0 0（2 2）= 1 1 x x （3 3）+= 0 0(4 4)+ 2 2= 0 0(5 5)+= 0 0(6 6)+ 1 1 =其中有實(shí)