第2章21211離散型隨機(jī)變量

1、第一早隨機(jī)變量及其分布2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列2.1.1離散型隨機(jī)變量學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義.(重點(diǎn))2了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.(易混點(diǎn))3能寫出離散型隨機(jī)變量的可能取值，并能解釋其意義.(難點(diǎn))通過學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及 離散型隨機(jī)變量，培養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)自主預(yù)習(xí)穢搐新和 一"I新知初探_J1. 隨機(jī)變量(1) 定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中，確定一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示.在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的變量 稱為隨機(jī)變量.(2) 表示：隨機(jī)變量常用字母 X, Y, J, n表示.2. 離散型隨機(jī)變量(1)

2、定義：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.(2) 特征: 可用數(shù)值表示. 試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值. 在試驗(yàn)之前不能確定取何值. 試驗(yàn)結(jié)果能一一列出.思考：離散型隨機(jī)變量的取值必須是有限個(gè)嗎？提示離散型隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，例如取值為1,2，n；也可以是無限個(gè)，如取值為1,2,，n,.初試身手ZZI1 下列變量中，是離散型隨機(jī)變量的是（）A. 到2019年10月1日止，我國(guó)發(fā)射的人造地球衛(wèi)星數(shù)B. 只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C. 某人在車站等出租車的時(shí)間D. 某人投籃10次，可能投中的次數(shù)D 根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義：其可能取到的不相同的值是有限個(gè)或可列 為有

3、限個(gè)，即可以按一定次序一一列出，試驗(yàn)前可以判斷其出現(xiàn)的所有值.選項(xiàng)A，B，C的數(shù)值均有不確定性，而選項(xiàng) D中，投籃10次，可能投中的次數(shù)是離 散型隨機(jī)變量.2. 袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任意取出1個(gè)球， 直到取出的球是白球?yàn)橹箷r(shí)，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量 X，則X的可能取值 為（）A. 1,2,3，6B. 1,2,3，7C. 0,1,2,，5D. 1,2,，5B 由于取到白球游戲結(jié)束，由題意可知 X的可能取值為1,2,3,4,5,6,7.3 .下列隨機(jī)變量不是離散型隨機(jī)變量的是 . 某景點(diǎn)一天的游客數(shù)X; 某手機(jī)一天內(nèi)收到呼叫次數(shù)X; 水文站觀測(cè)到江水的水位數(shù)X; 某收

4、費(fèi)站一天內(nèi)通過的汽車車輛數(shù) X.中的隨機(jī)變量X可能取的值，我們都可以按一定的次序一一列 出，因此都是離散型隨機(jī)變量；中X可以取一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次 序列出，故不是離散型隨機(jī)變量.合件採(cǎi)究*）提盍祥H E Z U O T A NJ I U T I SU Y A N空軻|隨機(jī)變量的概念例1】(1)6件產(chǎn)品中有2件次品與4件正品，從中任取2件，則下列可作為隨機(jī)變量的是()A 取到產(chǎn)品的件數(shù)B 取到正品的件數(shù)C.取到正品的概率D .取到次品的概率(2) 判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由. 北京國(guó)際機(jī)場(chǎng)候機(jī)廳中明天的旅客數(shù)量； 2019年5月1日至10月1日期間所查

5、酒駕的人數(shù)； 2019年6月1日濟(jì)南到北京的某次動(dòng)車到北京站的時(shí)間； 體積為1 000 cm3的球的半徑長(zhǎng).(1) B A中取到的產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，C，D也是一個(gè)定值，而B中取到正品的件數(shù)可能是0,1,2,是隨機(jī)變量.(2) 解旅客人數(shù)可能是0,1,2,，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量. 所查酒駕的人數(shù)可能是 0,1,2,，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量. 動(dòng)車到達(dá)的時(shí)間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值，是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量. 球的體積為1 000 cm3時(shí)，球的半徑為定值，不是隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的辨析方法1. 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有可變性，即每次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的結(jié)果不盡相同.

6、2. 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有確定性，即每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一 個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)的變量具有以上兩點(diǎn)，則該變量即為隨機(jī)變?cè)礁櫽?xùn)練1 判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由.(1) 某天騰訊公司客服接到咨詢電話的個(gè)數(shù)；(2) 標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度；(3) 在一次繪畫作品評(píng)比中，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)，你的一件作品獲得的獎(jiǎng)次；3(4) 體積為64 cm的正方體的棱長(zhǎng).解(1)接到咨詢電話的個(gè)數(shù)可能是0,1,2,出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的,因此是隨機(jī)變量.(2) 標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度100 C是定值，所

7、以不是隨機(jī)變量.(3) 獲得的獎(jiǎng)次可能是一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果都是隨機(jī) 的，因此是隨機(jī)變量.3(4) 體積為64 cm的正方體的棱長(zhǎng)為4 cm為定值，不是隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的判定【例2】指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說明理由.某教學(xué)資源網(wǎng)站一天內(nèi)的點(diǎn)擊量；(2) 你明天上學(xué)進(jìn)入校門的時(shí)間；(3) 某市明年下雨的次數(shù)；(4) 抽檢一件產(chǎn)品的真實(shí)質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的誤差.思路點(diǎn)撥根據(jù)隨機(jī)變量的實(shí)際背景，判斷隨機(jī)變量的取值是否可以一- 列出，從而判斷是否為離散型隨機(jī)變量.解 (1)某教學(xué)資源網(wǎng)站一天內(nèi)的點(diǎn)擊量可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量.(2)你明天上學(xué)進(jìn)入校門的時(shí)間，可

8、以是某區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)，不能一一列出,不是離散型隨機(jī)變量.(3) 某市明年下雨的次數(shù)可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量.(4) 抽檢一件產(chǎn)品的真實(shí)質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的誤差可以在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值,不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量判定的關(guān)鍵及方法1 關(guān)鍵：判斷隨機(jī)變量X的所有取值是否可以列出.2. 具體方法:(1) 明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(2) 將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化;(3) 確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列 出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是.跟蹤訓(xùn)練2. 給出下列四種變量： 某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為X. 某人射擊2次，擊中

9、目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為 X. 測(cè)量一批電阻，在950 Q和1 200 0之間的阻值記為X. 一個(gè)在數(shù)軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置記為X.其中離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)是()A. 1個(gè)B . 2個(gè)C. 3個(gè)D . 4個(gè)(2)有下列問題： 某單位一天來往的人數(shù)X; 從已編號(hào)的5張卡片中(從1號(hào)到5號(hào))任取一張，被取出的卡片號(hào)數(shù) X; 一天內(nèi)的溫度為X; 某人一生內(nèi)的身高為X; 全民運(yùn)動(dòng)會(huì)上，一選手進(jìn)行射箭比賽，擊中目標(biāo)得10分，未擊中目標(biāo)得零分，用X表示該選手在比賽中的得分； 某林場(chǎng)樹木最高達(dá)50米，此林場(chǎng)樹木的高度X.上述問題中的X是離散型隨機(jī)變量的是 (1) B (2)(1)某電話亭內(nèi)的一部電話

10、1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為X，X是離散型隨機(jī)變量； 某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為 X，X是離散型隨機(jī)變量； 測(cè)量一批電阻，阻值在950 Q-1 200 型間，是連續(xù)型隨機(jī)變量； 一個(gè)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置記為X，X不是隨機(jī)變量.故離散型隨機(jī)變量個(gè)數(shù)是2個(gè).(2) 都可以一一列出，故都是離散型隨機(jī)變量，而都是連續(xù)型隨機(jī)變量，不能一一列出，也不能一一列出，樹木高度有無限多個(gè)，也不是離散 型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的可能取值及試驗(yàn)結(jié)果"3探究問題1. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果.這 種試驗(yàn)結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？提示可以.用數(shù)字1和0分別表示正面向上

11、和反面向上.2. 在一塊地里種10棵樹苗，設(shè)成活的樹苗數(shù)為 X,則X可取哪些數(shù)字？提示X= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為E,則4”表示的隨機(jī) 事件是什么？提示“驢4”表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn).【例3】寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(1) 一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含白球的個(gè) 數(shù)為X.(2) 個(gè)袋中有5個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,從中任取3個(gè)球，取 出的球的最大號(hào)碼記為X.解(1)X= 0表示取5個(gè)球全是紅球；X= 1表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅

12、球；X= 2表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球；X= 3表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球.(2)X= 3表示取出的球編號(hào)為1,2,3.X = 4表示取出的球編號(hào)為1,2,4; 1,3,4或2,3,4.X= 5表示取出的球編號(hào)為 1,2,5; 1,3,5; 1,4,5; 2,3,5; 2,4,5或 3,4,5.母題探究1. (變換條件、改變問法)在本例(1)條件下，規(guī)定取出一個(gè)紅球贏 2元，而 每取出一個(gè)白球輸1元，以E表示贏得的錢數(shù)，結(jié)果如何？解 E 10表示取5個(gè)球全是紅球；片7表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球；片4表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球；片1表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球.2. (改變問法)本例(2)中，“最大”改為“

13、最小”，其他條件不變，應(yīng)如何 解答？解X可取1,2,3.X= 3表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為3,4,5;X= 2表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為2,3,4或2,3,5或2,4,5;X= 1表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,5或1,3,5或1,4,5或1,2,4或1,3,4或1,2,3.iw a n 怯用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn)1 關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取 每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.2解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果.働跟蹤訓(xùn)練3. 寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī) 試驗(yàn)的結(jié)果.(1

14、) 在2019年北京大學(xué)的自主招生中，參與面試的 5名考生中，通過面試的 考生人數(shù)X;(2) 射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得 1分，未擊中目標(biāo)得0分，該射手在 一次射擊中的得分用E表示.解(1)X 可能取值 0,1,2,3,4,5,X= i表示面試通過的有i人，其中i = 0,1,2,3,4,5.(2)E可能取值為0,1,當(dāng) 片0時(shí)，表明該射手在本次射擊中沒有擊中目標(biāo);當(dāng) 片1時(shí)，表明該射手在本次射擊中擊中目標(biāo).匚課堂小結(jié):1.隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系相同點(diǎn)隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射區(qū)別隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射，函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的 映射聯(lián)系隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量

15、的取值范圍 相當(dāng)于函數(shù)的值域2.離散型隨機(jī)變量的特征(1) 可用數(shù)值表示.(2) 試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值.(3) 在試驗(yàn)之前不能確定取何值.(4) 試驗(yàn)結(jié)果能一一 列出.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。1.判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè).()(2) 在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量.()(3) 離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù).()答案“V X2 袋中有2個(gè)黑球、6個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()A .取到的球的個(gè)數(shù)B .取到紅球的個(gè)數(shù)C.至少取到1個(gè)紅球D .至少取到1個(gè)紅球的概率B A的取值不具有隨機(jī)性，C