2013年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)卷2word解析版

1、2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國(guó)卷II新課標(biāo))注意事項(xiàng)：1本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上。2回答第卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3回答第卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。4考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(2013課標(biāo)全國(guó)，理1)已知集合Mx|(x1)24，xR，N1,0

2、,1,2,3，則MN()A0,1,2 B1,0,1,2C1,0,2,3 D0,1,2,3答案：A解析：解不等式(x1)24，得1x3，即Mx|1x3而N1,0,1,2,3，所以MN0,1,2，故選A.2(2013課標(biāo)全國(guó)，理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i，則z()A1i B1iC1i D1i答案：A解析：1i.3(2013課標(biāo)全國(guó)，理3)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3a210a1，a59，則a1()A B C D答案：C解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q，若q1，則由a59，得a19，此時(shí)S327，而a210a199，不滿足題意，因此q1.q1時(shí)，S3a1q10a1，q10，整理得q29.a5

3、a1q49，即81a19，a1.4(2013課標(biāo)全國(guó)，理4)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l答案：D解析：因?yàn)閙，lm，l，所以l.同理可得l.又因?yàn)閙，n為異面直線，所以與相交，且l平行于它們的交線故選D.5(2013課標(biāo)全國(guó)，理5)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a()A4 B3 C2 D1答案：D解析：因?yàn)?1x)5的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為(0r5，rZ)，則含x2的項(xiàng)為ax(105a)x2，所以105a5，a1.6(2013課標(biāo)全國(guó)，理6)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的

4、N10，那么輸出的S()A BC D答案：B解析：由程序框圖知，當(dāng)k1，S0，T1時(shí)，T1，S1；當(dāng)k2時(shí)，；當(dāng)k3時(shí)，；當(dāng)k4時(shí)，；當(dāng)k10時(shí)，k增加1變?yōu)?1，滿足kN，輸出S，所以B正確7(2013課標(biāo)全國(guó)，理7)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()答案：A解析：如圖所示，該四面體在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的圖像為下圖：則它在平面zOx上的投影即正視圖為，故選A.8(2013課標(biāo)全國(guó)，理8)設(shè)alog36，blog510，clog71

5、4，則()Acba BbcaCacb Dabc答案：D解析：根據(jù)公式變形，因?yàn)閘g 7lg 5lg 3，所以，即cba.故選D.9(2013課標(biāo)全國(guó)，理9)已知a0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A B C1 D2答案：B解析：由題意作出所表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，作直線2xy1，因?yàn)橹本€2xy1與直線x1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，結(jié)合題意知直線ya(x3)過(guò)點(diǎn)(1，1)，代入得，所以.10(2013課標(biāo)全國(guó)，理10)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)

6、間(，x0)單調(diào)遞減D若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)0答案：C解析：x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則yf(x)的圖像大致如下圖所示，則在(，x0)上不單調(diào)，故C不正確11(2013課標(biāo)全國(guó)，理11)設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x答案：C解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|x05，則x05.又點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以以MF為直徑的圓的方程為(xx0)(yy0)y0.將x0，y2代入得px084y00，

7、即4y080，所以y04.由2px0，得，解之得p2，或p8.所以C的方程為y24x或y216x.故選C.12(2013課標(biāo)全國(guó)，理12)已知點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線yaxb(a0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0,1) BC D答案：B第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13(2013課標(biāo)全國(guó)，理13)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則_.答案：2解析：以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面

8、直角坐標(biāo)系，如圖所示，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2)，則(1,2)，(2,2)，所以.14(2013課標(biāo)全國(guó)，理14)從n個(gè)正整數(shù)1,2，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n_.答案：8解析：從1,2，n中任取兩個(gè)不同的數(shù)共有種取法，兩數(shù)之和為5的有(1,4)，(2,3)2種，所以，即，解得n8.15(2013課標(biāo)全國(guó)，理15)設(shè)為第二象限角，若，則sin cos _.答案：解析：由，得tan ，即sin cos .將其代入sin2cos21，得.因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以cos ，sin ，sin cos

9、 .16(2013課標(biāo)全國(guó)，理16)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為_答案：49解析：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則S1010a145d0，S1515a1105d25.聯(lián)立，得a13，所以Sn.令f(n)nSn，則，.令f(n)0，得n0或.當(dāng)時(shí)，f(n)0,時(shí)，f(n)0，所以當(dāng)時(shí)，f(n)取最小值，而nN，則f(6)48，f(7)49，所以當(dāng)n7時(shí)，f(n)取最小值49.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17(2013課標(biāo)全國(guó)，理17)(本小題滿分12分)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin

10、 B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和C(0，)得sin Bcos B，又B(0，)，所以.(2)ABC的面積.由已知及余弦定理得4a2c2.又a2c22ac，故，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立因此ABC面積的最大值為.18(2013課標(biāo)全國(guó)，理18)(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1ACCB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值解：(1

11、)連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB得，ACBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)CA2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n(1，1，1)同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量，則可取m(2,1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值為.19(2013課標(biāo)全國(guó)，理19)(本小題

12、滿分12分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品以X(單位：t,100X150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，

13、且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望解：(1)當(dāng)X100,130)時(shí)，T500X300(130X)800X39 000，當(dāng)X130,150時(shí)，T50013065 000.所以(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120X150.由直方圖知需求量X120,150的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以ET45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.20(2

14、013課標(biāo)全國(guó)，理20)(本小題滿分12分)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：(ab0)右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則，由此可得.因?yàn)閤1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為y，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3

15、,4.因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以|CD|.由已知，四邊形ACBD的面積.當(dāng)n0時(shí)，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.21(2013課標(biāo)全國(guó)，理21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)exln(xm)(1)設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.解：(1)f(x).由x0是f(x)的極值點(diǎn)得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定義域?yàn)?1，)，f(x).函數(shù)f(x)在(1，)單調(diào)遞增，且f(0)0.因此當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(1,0)單調(diào)遞減，在(0，)單

16、調(diào)遞增(2)當(dāng)m2，x(m，)時(shí)，ln(xm)ln(x2)，故只需證明當(dāng)m2時(shí)，f(x)0.當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)f(x)在(2，)單調(diào)遞增又f(1)0，f(0)0，故f(x)0在(2，)有唯一實(shí)根x0，且x0(1,0)當(dāng)x(2，x0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)0，從而當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值由f(x0)0得，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.綜上，當(dāng)m2時(shí)，f(x)0.請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)22(2013課標(biāo)全國(guó)，理22)(本小題滿分10分)選修41：幾何證明選講如圖，CD為ABC外接圓的切線

17、，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BCAEDCAF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓(1)證明：CA是ABC外接圓的直徑；(2)若DBBEEA，求過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值解：(1)因?yàn)镃D為ABC外接圓的切線，所以DCBA，由題設(shè)知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因?yàn)锽，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圓的直徑(2)連結(jié)CE，因?yàn)镃BE90，所以過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.23(2013課標(biāo)全國(guó)，理23)(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(diǎn)(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)解：(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2