數(shù)字信號處理參考試題3

1、第三章 離散傅里葉變換1. 如圖P3-1所示，序列是周期為6的周期性序列，試求其傅里葉級數(shù)的系數(shù)。圖 P3-1解：由 計算求得 , , , , 2. 設(shè)， ，試求，并作圖表示，。解：由計算求得 , , , , ，如圖P3-2所示。圖 P3-23. 設(shè)，令，試求與的周期卷積并作圖。解：在一個周期內(nèi)的計算值 N 123450 001111014 100111112 210011110 31100118411100165111100104. 已知如圖P3-4(a)所示，為1，1，3，2，試畫出，等各序列。解：各序列如圖P3-4（b）所示。圖 P3-3圖 P3-4（a）圖 P3-4（b）5. 試求以下

2、有限長序列的N點DFT（閉合形式表達式）：(1)(2) (3) (4) (5) 解：（1）因為，所以 （2）因為，所以（3）因為，所以 （4）因為，所以 所以 （5）由，則 根據(jù)第（4）小題的結(jié)論 則 所以 6. 如圖P3-6(a)畫出了幾個周期序列，這些序列可以表示成傅里葉級數(shù) 問：（1） 哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有的成為實數(shù)？（2） 哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有的）（除外）成為虛數(shù)？（3） 哪些序列能做到0，k=±2，±4，±6，圖 P3-6（a）解：（1）要使為實數(shù)，即要求 根據(jù)DFT的性質(zhì)，應(yīng)滿足實部偶對稱，虛部奇對稱（以n=0為軸）。又由圖

3、知，為實序列，虛部為零，故應(yīng)滿足偶對稱 即是以n=0為對稱軸的偶對稱，可看出第二個序列滿足這個條件。如圖P3-6(b)所示。圖 P3-6（b）（2）要使為虛數(shù)，即要求 根據(jù)DFT的性質(zhì)，應(yīng)滿足實部奇對稱，虛部偶對稱（以n=0為軸）。又已知為實序列，故 即在一個周期內(nèi)，在一圓周上是以n=0為對稱軸的奇對稱，所以這三個序列都不滿足這個條件。（3）由于是8點周期序列，對于第一個序列有當 對于第二個序列有當對于第三個序列有 根據(jù)序列移位性質(zhì)可知 當 綜上所得，第一，第三個序列滿足7. 在圖P3-7(a)中畫了兩個有限長序列，試畫出它們的六點圓周卷積。圖 P3-7（a）解： 結(jié)果如圖P3-7(b)所示。

4、圖 P3-7（b）8. 圖P3-8(a)表示一個5點序列。（1）試畫出；（2）試畫出；（4） 試畫出；圖 P3-8（a）解：個小題的結(jié)果分別如圖P3-8(b)，P3-8(c),，P3-8(d)所示。圖 P3-8（b）圖 P3-8（c）圖 P3-8（d）9. 設(shè)有兩個序列 各作15點的DFT，然后將兩個DFT相乘，再求乘積的IDFT，設(shè)所得結(jié)果為，問的哪些點（用序號n表示）對應(yīng)于應(yīng)該得到的點。解：序列的點數(shù)為N1=6，y(n)的點數(shù)為N2=15，故的點數(shù)應(yīng)為 又為與的15點的圓周卷積，即L=15。所以，混疊點數(shù)為N-L=20-15=5。即線性卷積以15為周期延拓形成圓周卷積序列時，一個周期內(nèi)在n

5、=0到n=4(=N-L-1)這5點出發(fā)生混疊，即中只有n=5到n=14的點對應(yīng)于應(yīng)該得到的點。10. 已知兩個有限長序列為試作圖表示，以及。解：結(jié)果如圖P3-10所示。圖 P3-1011. 已知是N點有限長序列，?，F(xiàn)將長度變成rN點的有限長序列試求rN點DFTy(n)與Xk的關(guān)系。解：由 可得 所以在一個周期內(nèi)，的抽樣點數(shù)是的r倍（的周期為Nr），相當于在的每兩個值之間插入r-1個其他的數(shù)值（不一定為零），而當k為r的整數(shù)l倍時，與相等。12. 已知是N點的有限長序列，現(xiàn)將的每兩點之間補進r-1個零值點，得到一個rN點的有限長序列 試求rN點DFTy(n)與Xk的關(guān)系。解：由 可得 而 所以是

6、將(周期為N)延拓r次形成的，即周期為rN。13. 頻譜分析的模擬信號以8kHz被抽樣，計算了512各抽樣的DFT，試確定頻譜抽樣之間的頻率間隔，并證明你的回答。證明：由 得 其中是以角頻率為變量的頻譜的周期，是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。又 則 對于本題有 14. 設(shè)由一譜分析用的信號處理器，抽樣點數(shù)必須為2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施，要求頻率分辨力10Hz，如果采用的抽樣時間間隔為0.1ms，試確定：（1）最小記錄長度；（2）所允許處理的信號的最高頻率；（3）在一定記錄中的最好點數(shù)。解：（1）因為，而，所以而最小記錄長度為0.1s。（2）因為，而 所以 即允許處理的信號的最高頻

7、率為5kHz。（3），又因N必須為2的整數(shù)冪，所以一個記錄中的最少點數(shù)為。15. 序列的共軛對稱和共軛反對稱分量分別為，長度為N的有限長序列（0nN-1）的圓周共軛對稱和圓周共軛反對稱分量分別定義如下： （1） 證明（2） 把看作長度為N的序列，一般說，不能從恢復(fù)，也不能從恢復(fù)。試證明若把看作長度為N的序列，且nN/2時，則從可恢復(fù)，從可恢復(fù)。證明（1）方法一由于只在的范圍內(nèi)有值，則有n=0時 （a）時所以 （b）n=0時 ，則有 綜上所述 同理可證 方法二（a）因為 所以 +得 （b）由于(4)+(5)得 (3)與(6)比較可知 同理可證 （2）利用（1）的結(jié)果 按照題意,當時，。此時，所以當時，故 所以當時， 。 當時，按共軛對稱有 且由（1）的結(jié)論知 當時 所以 綜上、可得同理可證 16.