《微分方程數(shù)值解法》復(fù)習(xí)、練習(xí)題

1、第一章 復(fù)習(xí)題1、建立差分格式的三個主要步驟（三個離散化）。2、差分格式的相容性、收斂性概念。3、Poisson 方程的5點菱形差分格式，矩形、非矩形區(qū)域情形邊界條件的處理（離散化）。4、對長方形區(qū)域作正方形網(wǎng)格剖分，求解Poisson方程邊值問題的五點菱形差分格式，按什么順序?qū)?jié)點編號，可使差分方程帶寬更窄？（按短方向排）5、差分方程有哪些共同特性，求解選用哪類方法？（大型稀疏，帶狀，主對角占優(yōu)等，一般采用迭代法）多重網(wǎng)格等略。6、極值原理。7、5點菱形差分格式求解Poisson 方程第一邊值問題的收斂性。第一章 練習(xí)題1、設(shè)有邊值問題取h=0.1的正方形網(wǎng)格。（1） 用5點菱形格式在內(nèi)點建

2、立差分格式；（2） 用截斷誤差為的方法離散化第三邊界條件（有兩種方式）；（3） 寫出整理后的差分方程的矩陣形式 2、定義方形算子如下：試討論5點方形差分方程逼近微分方程的截斷誤差是幾階？3、設(shè)有，取h=1/3，列出5點方形差分格式所得的差分方程。第二章 復(fù)習(xí)題1、差分格式穩(wěn)定性與收斂性的定義。2、有關(guān)求特征值的幾個結(jié)論。3、判斷穩(wěn)定性的矩陣法和Fourier分析法（Von-Neumann條件）的應(yīng)用。4、顯隱格式在一般情況下的優(yōu)缺點。5、熟悉古典顯、隱格式，六點對稱隱格式（C-N格式）。6、敘述Lax等價定理。7、高維拋物型方程的ADI格式的優(yōu)點。8、了解非線性方程差分格式的建立，討論穩(wěn)定性的

3、凍結(jié)系數(shù)法。第二章 練習(xí)題1、設(shè)有求解拋物型方程組的初值問題的差分格式試寫出用Fourier分析法討論穩(wěn)定性時的增長矩陣。2、對上題考慮另一個差分格式 試討論該格式的穩(wěn)定性。3、對拋物型方程，考慮著名的Du Fort-Frankel（1953）格式(1)推導(dǎo)該格式是否滿足穩(wěn)定性的Von-Neumann條件？(2)該格式與Richardson格式有什么關(guān)系？4、 討論求解的古典顯格式的穩(wěn)定性。5、 寫出逼近的古典顯格式。6、 討論逼近的顯格式的穩(wěn)定性。7、 對初值問題：用截斷誤差為的方法將右邊界條件離散化。第三章 復(fù)習(xí)題1、設(shè)有一階擬線性雙曲型方程（1） 寫出相應(yīng)的特征線方程及特征線上的微分關(guān)系

4、；（2） 熟悉特征線差分計算過程。2、一階雙曲型方程組的定義、正規(guī)形式、特征線及其上的微分關(guān)系。3、對，熟悉以下差分格式：（1） L-F格式； （2）偏心差分格式；（3）C-I-R格式；（4） Leap-Frog格式 ； (5) L-W格式。4、差分格式偏向與特征線走向的關(guān)系，CFL條件的幾何意義。第三章 練習(xí)題1、設(shè)有，取步長h=0.2，試合理選用一階偏心差分格式（最簡顯格式）計算u(x,t)在點處的近似值。2、設(shè)有，a，c為常數(shù)，考慮差分格式 試討論（1）該格式的穩(wěn)定性；（2）該格式的截斷誤差。第四章 復(fù)習(xí)題1、空間完備性的概念。2、Banach空間、Hilbert空間的概念。3、定義、內(nèi)

5、積、范數(shù)。4、廣義導(dǎo)數(shù)的定義、唯一性，與古典導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。5、一階Sobolev空間的定義、內(nèi)積、完備性；二階Sobolev空間的定義、內(nèi)積、完備性。6、變分法基本引理、結(jié)論。7、由邊值問題適當(dāng)選取函數(shù)空間（集合），建立雙線性泛函與線性泛函，提出兩種變分問題。8、古典解與廣義解及其關(guān)系。9、敘述Hilbert空間中變分方程解的存在唯一性定理。10、變分問題的近似解描述以及Ritz-Galerkin方程的形式。11、傳統(tǒng)（古典）Ritz-Galerkin方法的主要缺點。12、三角形網(wǎng)格剖分的優(yōu)點和基本要求。13、什么是單元形狀函數(shù)？試探函數(shù)？試探函數(shù)空間？14、試探函數(shù)的兩個基本要求？屬于哪個函數(shù)

6、集合？、等。（1）滿足強(qiáng)制邊界條件（如果有的話）；（2）有適當(dāng)?shù)膹V義導(dǎo)數(shù)；（3）是分段（片）m次多項式。15、節(jié)點基函數(shù)有什么特性？會帶來什么好處：屬于哪個函數(shù)空間？、等。16、提高有限元近似解精度的兩個基本原則。17、按什么原則對節(jié)點編號，可使有限元方程組帶寬最?。刻崾荆合噜徆?jié)點編號差的最大者達(dá)到最小。帶寬：最大的鄰點編號差×2+1.18、有限元方程組的求解用什么方法較好。19、（重點）常、偏微分邊值問題，m=1,2,3時，分別提出單元形狀函數(shù)和基函數(shù)的插值條件，形成有限元方程組的思路，有限元解的基函數(shù)表示。第四章 練習(xí)題1、對微分方程邊值問題提出兩種變分問題。2、由Green第一公式推導(dǎo)Green第二公式并對雙調(diào)和方程邊值問題建立兩個相應(yīng)的變分問題。3、針對二維Poisson方程，采用線性元求解，對下圖的區(qū)域網(wǎng)格剖分，如何編號，有限元方程組帶寬最小？帶寬是多少？有限元方程組是多少階？4、設(shè)有邊值問題 試建立相應(yīng)的虛功問題和極小位能問題。5、用線性有限元法求解邊值問題在處的值。（要求導(dǎo)出其相應(yīng)的變分方程、變分問題，明確寫出雙線性泛函和線性泛函的具體形式，以及允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間。在用有限元方法求解時，僅取兩個單元即可。）第五章 復(fù)習(xí)題解拋物型方程的有限元方法的思路。第六章 復(fù)習(xí)題1、總綱陣存儲方法及特點。2、有限元節(jié)點優(yōu)化方法。3、有限元程序設(shè)計的預(yù)處理。4