(檀)隨機(jī)過(guò)程綜合練習(xí)新版

1、隨機(jī)過(guò)程綜合練習(xí)題一、填空題（每空3分）第一章1是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)是 。2 。3 的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為 。4條件期望是 的函數(shù)， （是or不是）隨機(jī)變量。5是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)是 。6n維正態(tài)分布中各分量的相互獨(dú)立性和不相關(guān)性 。第二章7寬平穩(wěn)過(guò)程是指協(xié)方差函數(shù)只與 有關(guān)。8在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生的概率為，以記進(jìn)行到次試驗(yàn)為止A發(fā)生的次數(shù)， 則是 過(guò)程。9正交增量過(guò)程滿(mǎn)足的條件是 。10正交增量過(guò)程的協(xié)方差函數(shù) 。第三章11 X(t), t0為具有參數(shù)的齊次泊松過(guò)程，其均值函數(shù)為 ；方差函數(shù)為 。12設(shè)到達(dá)

2、某路口的綠、黑、灰色的汽車(chē)的到達(dá)率分別為，且均為泊松過(guò)程，它們相互獨(dú)立，若把這些汽車(chē)合并成單個(gè)輸出過(guò)程(假定無(wú)長(zhǎng)度、無(wú)延時(shí))，相鄰綠色汽車(chē)之間的不同到達(dá)時(shí)間間隔的概率密度是 ，汽車(chē)之間的不同到達(dá)時(shí)刻間隔的概率密度是 。13X(t), t0為具有參數(shù)的齊次泊松過(guò)程， 。14設(shè)X(t), t0是具有參數(shù)的泊松過(guò)程，泊松過(guò)程第n次到達(dá)時(shí)間Wn的數(shù)學(xué)期望是 。15在保險(xiǎn)的索賠模型中，設(shè)索賠要求以平均2次/月的速率的泊松過(guò)程到達(dá)保險(xiǎn)公司若每次賠付金額是均值為10000元的正態(tài)分布，求一年中保險(xiǎn)公司的平均賠付金額 。16到達(dá)某汽車(chē)總站的客車(chē)數(shù)是一泊松過(guò)程，每輛客車(chē)內(nèi)乘客數(shù)是一隨機(jī)變量設(shè)各客車(chē)內(nèi)乘客數(shù)獨(dú)立同

3、分布，且各輛車(chē)乘客數(shù)與車(chē)輛數(shù)N(t)相互獨(dú)立，則在0，t內(nèi)到達(dá)汽車(chē)總站的乘客總數(shù)是 （復(fù)合or非齊次）泊松過(guò)程17設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流，求在2min內(nèi)到達(dá)的顧客不超過(guò)3人的概率是 第四章18 無(wú)限制隨機(jī)游動(dòng)各狀態(tài)的周期是 。19非周期正常返狀態(tài)稱(chēng)為 。20設(shè)有獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列。以記第n次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生，且，以記第n次試驗(yàn)時(shí)事件A不發(fā)生，且，若有，則是 鏈。答案一、填空題1； 2； 3 4是 5； 6等價(jià)7時(shí)間差； 8獨(dú)立增量過(guò)程；9 1011； 12 13 14 15240000 16復(fù)合； 17182； 19遍歷狀態(tài)； 20齊次馬爾科夫鏈； 二、判斷題（每題2分）第

4、一章1是特征函數(shù)，不是特征函數(shù)。（ ）2n維正態(tài)分布中各分量的相互獨(dú)立性和不相關(guān)性等價(jià)。（ ）3任意隨機(jī)變量均存在特征函數(shù)。（ ）4是特征函數(shù)，是特征函數(shù)。（ ）5設(shè)是零均值的四維高斯分布隨機(jī)變量，則有（ ）第二章6嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程二階矩不一定存在，因而不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。（ ）7獨(dú)立增量過(guò)程是馬爾科夫過(guò)程。（ ）8維納過(guò)程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。（ ）第三章9非齊次泊松過(guò)程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。（ ）第四章10有限狀態(tài)空間不可約馬氏鏈的狀態(tài)均常返。（ ）11有限齊次馬爾科夫鏈的所有非常返狀態(tài)集不可能是閉集。（ ）12有限馬爾科夫鏈，若有狀態(tài)k使，則狀態(tài)k即為正常返的。（ ）13設(shè)，若存在正整數(shù)n，使得則

5、i非周期。（ ）14有限狀態(tài)空間馬氏鏈必存在常返狀態(tài)。（ ）15i是正常返周期的充要條件是不存在。（ ）16平穩(wěn)分布唯一存在的充要條件是：只有一個(gè)基本正常返閉集。（ ）17有限狀態(tài)空間馬氏鏈不一定存在常返狀態(tài)。（ ）18i是正常返周期的充要條件是存在。（ ）19若，則有（ ）20不可約馬氏鏈或者全為常返態(tài)，或者全為非常返態(tài)（ ）答案二、判斷題1× 2 3 4 56 7 8 9×10 11 12 13 14 15 16 17× 18× 19 20三、大題第一章1（10分）（易）設(shè)，求的特征函數(shù)，并利用其求。2（10分）（中）利用重復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)定義一個(gè)隨

6、機(jī)過(guò)程，出現(xiàn)正面和反面的概率相等，求的一維分布函數(shù)和，的二維分布函數(shù)。3（10分）（易）設(shè)有隨機(jī)過(guò)程，其中A與B是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求的一維和二維分布。第二章4（10分）（易）設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Vt+b，t(0,+), b為常數(shù)，V服從正態(tài)分布N(0，1)的隨機(jī)變量，求X(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。5（10分）（易）已知隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值函數(shù)mx(t)和協(xié)方差函數(shù)B x(t1, t2)，g(t)為普通函數(shù)，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求隨機(jī)過(guò)程Y(t)的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。6（10分）（中）設(shè)是實(shí)正交增量過(guò)程，是一服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，若對(duì)任一都與相

7、互獨(dú)立，求的協(xié)方差函數(shù)。7（10分）（中）設(shè)，若已知二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣為，求的協(xié)方差函數(shù)。8（10分）（難）設(shè)有隨機(jī)過(guò)程和常數(shù)，試以的相關(guān)函數(shù)表示隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)。第三章9（10分）（易）某商店每日8時(shí)開(kāi)始營(yíng)業(yè)，從8時(shí)到11時(shí)平均顧客到達(dá)率線性增加在8時(shí)顧客平均到達(dá)率為5人/時(shí)，11時(shí)到達(dá)率達(dá)到最高峰20人/時(shí)，從11時(shí)到13時(shí)，平均顧客到達(dá)率維持不變，為20人/時(shí)，從13時(shí)到17時(shí)，顧客到達(dá)率線性下降，到17時(shí)顧客到達(dá)率為12人/時(shí)。假定在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，問(wèn)在8：309：30間無(wú)顧客到達(dá)商店的概率是多少？在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多少? 1

8、0（15分）（難）設(shè)到達(dá)某商店的顧客組成強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，每個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)商品的概率為，且與其它顧客是否購(gòu)買(mǎi)商品無(wú)關(guān)，求（0，t）內(nèi)無(wú)人購(gòu)買(mǎi)商品的概率。11（15分）（難）設(shè)X1(t) 和X2 (t) 是分別具有參數(shù)和的相互獨(dú)立的泊松過(guò)程，證明：Y(t)是具有參數(shù)的泊松過(guò)程。12（10分）（中）設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶(hù)數(shù)是一泊松過(guò)程，平均每周有2戶(hù)定居即。如果每戶(hù)的人口數(shù)是隨機(jī)變量，一戶(hù)四人的概率為1/6，一戶(hù)三人的概率為1/3，一戶(hù)兩人的概率為1/3，一戶(hù)一人的概率為1/6，并且每戶(hù)的人口數(shù)是相互獨(dú)立的，求在五周內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)學(xué)期望與方差。13（10分）（難）在時(shí)間t內(nèi)向電話總機(jī)呼叫k次的

9、概率為，其中為常數(shù)如果任意兩相鄰的時(shí)間間隔內(nèi)的呼叫次數(shù)是相互獨(dú)立的，求在時(shí)間2t內(nèi)呼叫n次的概率14（10分）（易）設(shè)顧客到某商場(chǎng)的過(guò)程是泊松過(guò)程，巳知平均每小時(shí)有30人到達(dá)，求下列事件的概率：兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔超過(guò)2 min15（15分）（中）設(shè)進(jìn)入中國(guó)上空流星的個(gè)數(shù)是一泊松過(guò)程，平均每年為10000個(gè)每個(gè)流星能以隕石落于地面的概率為0.0001，求一個(gè)月內(nèi)落于中國(guó)地面隕石數(shù)W的EW、varW和PW2 16（10分）（易）通過(guò)某十字路口的車(chē)流是一泊松過(guò)程設(shè)1min內(nèi)沒(méi)有車(chē)輛通過(guò)的概率為0.2，求2min內(nèi)有多于一輛車(chē)通過(guò)的概率。17（10分）（易）設(shè)顧客到某商場(chǎng)的過(guò)程是泊松過(guò)程，巳知

10、平均每小時(shí)有30人到達(dá)，求下列事件的概率：兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔短于4 min 18（15分）（中）某刊物郵購(gòu)部的顧客數(shù)是平均速率為6的泊松過(guò)程，訂閱1年、2年或3年的概率分別為12、l3和16，且相互獨(dú)立設(shè)訂一年時(shí)，可得1元手續(xù)費(fèi)；訂兩年時(shí)，可得2元手續(xù)費(fèi)；訂三年時(shí)，可得3元手續(xù)費(fèi). 以X(t)記在0，t內(nèi)得到的總手續(xù)費(fèi)，求EX(t)與var X(t) 19（10分）（易）設(shè)顧客到達(dá)商場(chǎng)的速率為2個(gè)min，求 (1) 在5 min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的平均值；(2) 在5min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的方差；(3) 在5min內(nèi)至少有一個(gè)顧客到達(dá)的概率 20（10分）（中）設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5

11、年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次，求在使用期限內(nèi)只維修過(guò)1次的概率 21（15分）（難）設(shè)X(t)和Y(t) (t0)是強(qiáng)度分別為和的泊松過(guò)程，證明：在X(t)的任意兩個(gè)相鄰事件之間的時(shí)間間隔內(nèi)，Y(t) 恰好有k個(gè)事件發(fā)生的概率為。第四章22（10分）（中）已知隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(3)及當(dāng)初始分布為時(shí)，經(jīng)三步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3的概率。23（15分）（難）將2個(gè)紅球4個(gè)白球任意地分別放入甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放3個(gè)，現(xiàn)從每個(gè)盒子中各任取一球，交換后放回盒中(甲盒內(nèi)取出的球放入乙盒中，乙盒內(nèi)取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示經(jīng)過(guò)n次交換后甲盒中

12、紅球數(shù)，則X(n)，n0為齊次馬爾可夫鏈，求（1）一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；（2）證明：X(n)，n0是遍歷鏈；（3）求。24（10分）（中）已知本月銷(xiāo)售狀態(tài)的初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣如下： 求下一、二個(gè)月的銷(xiāo)售狀態(tài)分布。25（15分）（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I1，2，7，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求狀態(tài)的分類(lèi)及各常返閉集的平穩(wěn)分布。26（15分）（難）設(shè)河流每天的BOD(生物耗氧量)濃度為齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間I=1，2，3，4是按BOD濃度為極低，低、中、高分別表示的，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣(以一天為單位)為若BOD濃度為高，則稱(chēng)河流處于污染狀態(tài)。(1)證明該鏈?zhǔn)潜闅v鏈；(2)求該鏈的平穩(wěn)分布；(3)河流再次

13、達(dá)到污染的平均時(shí)間。27（10分）（易）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I0，1，2，3，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求狀態(tài)空間的分解。28（15分）（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為I1，2，3，4轉(zhuǎn)移概率矩陣為討論29（10分）（易）設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為求其平穩(wěn)分布。30（15分）（難）甲乙兩人進(jìn)行一種比賽，設(shè)每局比賽甲勝的概率是p，乙勝的概率是q，和局的概率為r，且p+q+r=1設(shè)每局比賽勝者記1分，負(fù)者記一1分和局記零分。當(dāng)有一人獲得2分時(shí)比賽結(jié)束以表示比賽至n局時(shí)甲獲得的分?jǐn)?shù)，則是齊次馬爾可夫鏈 （1）寫(xiě)出狀態(tài)空間I；（2）求出二步轉(zhuǎn)移概率矩陣； （3） 求甲已獲1分時(shí)，再賽兩局可以結(jié)束比賽的概率 31

14、（10分）（中）(天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題) 設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過(guò)去的天氣無(wú)關(guān)又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無(wú)雨明天有雨的概率為，規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無(wú)雨天氣為狀態(tài)l。因此問(wèn)題是兩個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈設(shè)，求今天有雨且第四天仍有雨的概率 32（10分）（中）設(shè)是一個(gè)馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間I=a，b，c，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求（1）（2）33（15分）（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I1，2，6，轉(zhuǎn)移概率矩陣為試分解此馬爾可夫鏈并求出各狀態(tài)的周期。答案三、大題1 解：引入隨機(jī)變量 （1分） （3分） （4分） （6分） （8分） （10分）2解：依題意知硬幣出現(xiàn)正反面的概率均為1/2（1）

15、 當(dāng)t=1/2時(shí)，X（1/2）的分布列為 其分布函數(shù)為 （3分）同理，當(dāng)t=1時(shí)(1)的分布列為 其分布函數(shù)為 （5分）（2） 由于在不同時(shí)刻投幣是相互獨(dú)立的，故在t=1/2，t=1時(shí)的聯(lián)合分布列為故聯(lián)合分布函數(shù)為（10分）3解：對(duì)于任意固定的tT，X(t)是正態(tài)隨機(jī)變量，故 所以X（t）服從正態(tài)分布 （3分）其次任意固定的則依n維正態(tài)隨機(jī)向量的性質(zhì)，服從二維正態(tài)分布，且 （8分） 所以二維分布是數(shù)學(xué)期望向量為（0，0），協(xié)方差為的二維正態(tài)分布。（10分）4解：，故服從正態(tài)分布， 均值函數(shù)為 （4分）相關(guān)函數(shù)為 （10分）5 解： （4分） （10分）6解：因?yàn)槭菍?shí)正交增量過(guò)程，故 服從標(biāo)準(zhǔn)正

16、態(tài)分布，所以（2分） （4分）又因?yàn)槎寂c相互獨(dú)立 （6分） （8分） （10分）7解：利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得，（2分） （8分） （10分）8解： （2分） （10分）9 解：根據(jù)題意知顧客的到達(dá)率為 （3分） （6分） （10分）10解：設(shè)表示到達(dá)商店的顧客數(shù)，表示第i個(gè)顧客購(gòu)物與否，即則由題意知獨(dú)立同分布且與獨(dú)立因此，是復(fù)合泊松過(guò)程，表示（0，t）內(nèi)購(gòu)買(mǎi)商品的顧客數(shù)，（5分）由題意求 （10分） （15分）11證明： （5分） （10分） 故Y(t)是具有參數(shù)的泊松過(guò)程 （15分）12. 解：設(shè)為在時(shí)間0，t內(nèi)的移民戶(hù)數(shù)，其是強(qiáng)度為2的泊松過(guò)程，表示每戶(hù)的人數(shù)，則在0，t內(nèi)的移民人數(shù)是一個(gè)

17、復(fù)合泊松過(guò)程。 （2分）是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其分布為1234 （4分） （7分） （10分）13解：以A記時(shí)間2t內(nèi)呼叫n次的事件，記第一時(shí)間間隔內(nèi)呼叫為，則，第二時(shí)間間隔內(nèi)成立，于是 （4分） （8分） （10分）14解：由題意，顧客到達(dá)數(shù)N(t)是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，則顧客到達(dá)的時(shí)間間隔服從參數(shù)為的指數(shù)分布， （4分） （10分）15解：設(shè)是t年進(jìn)入中國(guó)上空的流星數(shù)，為參數(shù)的齊次泊松過(guò)程設(shè) 即由題意知，是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程 （5分） 是參數(shù)為的泊松過(guò)程 （10分） （15分）16解： 以表示在內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)，設(shè)是泊松過(guò)程，則 （2分） （5分） （10分）17解：由題意，顧客到達(dá)數(shù)N(t)

18、是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，則顧客到達(dá)的時(shí)間間隔服從參數(shù)為的指數(shù)分布， （4分） （10分）18解：設(shè)Z(t)為在0，t內(nèi)來(lái)到的顧客數(shù)，為參數(shù)的齊次泊松過(guò)程，是每個(gè)顧客訂閱年限的概率分布，且獨(dú)立同分布，由題意知，為0，t內(nèi)得到的總手續(xù)費(fèi)，是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程 （5分） （8分） （15分）19解：N (t)表示在0，t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，顯然 N (t), t0是泊松過(guò)程，則當(dāng)t=2時(shí)，N（5）服從泊松過(guò)程 （5分）故 （10分）20解：因?yàn)榫S修次數(shù)與使用時(shí)間有關(guān)，所以該過(guò)程是非齊次泊松過(guò)程，強(qiáng)度函數(shù)則 （6分） （10分）21證明：設(shè)X（t）的兩個(gè)相鄰事件的時(shí)間間隔為，依獨(dú)立性有 （2分） 而X（t）的

19、不同到達(dá)時(shí)刻的概率密度函數(shù)為 （4分） 由于X（t）是泊松過(guò)程，故Y（t）恰好有k個(gè)事件發(fā)生的概率為 （8分）（10分）22 解： （6分） （10分）23 解：由題意知，甲盒中的球共有3種狀態(tài)，表示甲盒中的紅球數(shù)甲盒乙盒22紅、1白3白11紅、2白1紅、2白03白2紅、1白甲乙互換一球后甲盒仍有3個(gè)白球|甲盒有3個(gè)白球=P從乙盒放入甲盒的一球是白球=1/3甲乙互換一球后甲盒有2個(gè)白球1個(gè)紅球|甲盒有3個(gè)白球=P從乙盒放入甲盒的一球是紅球=2/3甲乙互換一球后甲盒有1個(gè)白球2個(gè)紅球|甲盒有3個(gè)白球=0以此類(lèi)推，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 （8分）（2）因?yàn)楦鳡顟B(tài)互通，所以為不可約有限馬氏鏈，且狀態(tài)0無(wú)周期，故馬氏鏈為遍歷鏈。（10分）（3）解方程組 即（13分）解得 （15分）24解： （5分） （10分）25解：是非常返集，是正常返閉集。 （5分）常返閉集上的轉(zhuǎn)移矩陣為解方程組，其中，解得上的平穩(wěn)分布為 （10分）同理解得上的平穩(wěn)分布為 （15分）26. 解：（1）因?yàn)?，故馬氏鏈不可約，又因?yàn)闋顟B(tài)1非周期，故馬氏鏈?zhǔn)潜闅v鏈 （5分）（2）解方程組 其中解得（10分）（3） （15分）27解：狀態(tài)傳遞