第一章-彈性力學的基本理論

1、機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室課程課程研究對象研究對象研究的主要內容研究的主要內容彈性力學彈性力學彈性體彈性體梁、柱、壩體、板、殼等受力體的應力、應變和位移的精確分析梁、柱、壩體、板、殼等受力體的應力、應變和位移的精確分析材料力學材料力學桿狀構件桿狀構件梁、柱等桿件在拉、壓、彎、扭、剪狀態(tài)下的應力和位移梁、柱等桿件在拉、壓、彎、扭、剪狀態(tài)下的應力和位移理論力學理論力學剛體剛體剛體的靜、動力學（約束力、速度、加速度）分析剛體的靜、動力學（約束力、速度、加速度）分析結構力學結構力學桿系結構桿系結構桁架、剛架等桿系結構的約束力、內力與位移的計算桁架、剛架等桿系結構的約束力、內力

2、與位移的計算塑性力學塑性力學彈塑性體彈塑性體結構的彈塑性分析結構的彈塑性分析表表1 1 不同力學課程主要研究對象和內容的比不同力學課程主要研究對象和內容的比較較機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室u 彈性力學的基本假設與基本定律彈性力學的基本假設與基本定律v 連續(xù)性假設連續(xù)性假設v 完全彈性假設完全彈性假設v 無初應力假設無初應力假設 Q 基本假設基本假設v 勻質和各向同性假設勻質和各向同性假設v 小變形假設小變形假設機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室Q基本定律基本定律v 牛頓定律牛頓定律v 幾何連續(xù)性定律幾何連續(xù)性定律v 物性定律物性定律 應力和應變之間的關

3、系應力和應變之間的關系 ( ( 物理方物理方程程 ) ) 動量平衡原理動量平衡原理 平衡平衡 ( ( 運動運動 ) )微分方微分方程程 動量矩平衡原理動量矩平衡原理 應力張量的對稱性應力張量的對稱性 作用與反作用定律作用與反作用定律 位移和變形的關系位移和變形的關系 ( ( 幾何方程幾何方程 ) ) 位移邊界條件位移邊界條件()( )nntt 機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室u 彈性力學的基本方法彈性力學的基本方法 從取微元體入手，綜合考慮靜力（或運動）、幾何、從取微元體入手，綜合考慮靜力（或運動）、幾何、物理三方面條件，得出其基本微分方程，再進行求解，物理三方面條件，得出

4、其基本微分方程，再進行求解，最后利用邊界條件確定解中的常數(shù)。最后利用邊界條件確定解中的常數(shù)。按照方程中保留的未知量，求解方法可分為按照方程中保留的未知量，求解方法可分為 應力法（以應力法（以應力應力為未知量）為未知量）位移法（以位移法（以位移位移為未知量）為未知量）混合法（同時以混合法（同時以應力和位移應力和位移為未知量）為未知量）精確解法：采用數(shù)學分析的手段求得精確解精確解法：采用數(shù)學分析的手段求得精確解近似解法：最有效的是基于能量原理的變分方法近似解法：最有效的是基于能量原理的變分方法數(shù)值方法：數(shù)值方法：有限元法，有限元法，有限差分法，邊界元法等有限差分法，邊界元法等機自學院安全斷裂分析研

5、究室機自學院安全斷裂分析研究室u 學習彈性力學的目的彈性力學的目的 理解和掌握彈性力學的基本理論、基本概念、基本理解和掌握彈性力學的基本理論、基本概念、基本方程、基本解法。方程、基本解法。 能夠閱讀彈性力學相關文獻，并應用已有解法為工能夠閱讀彈性力學相關文獻，并應用已有解法為工程服務。程服務。 能夠將所學的彈性力學知識應用于近似解法變分能夠將所學的彈性力學知識應用于近似解法變分法、差分法和有限單元法的理解。法、差分法和有限單元法的理解。 為進一步學習固體力學的其它分支學科打下基礎。為進一步學習固體力學的其它分支學科打下基礎。 機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室u 彈性力學的發(fā)

6、展史彈性力學的發(fā)展史自學機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室u 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個基本概念v 外力外力體積力：分布在物體體積內的力，如重力和慣性力體積力：分布在物體體積內的力，如重力和慣性力表面力：作用在物體表面的力，可以是分布力，也表面力：作用在物體表面的力，可以是分布力，也 可以是集中力可以是集中力PFXYZVQxyzo0limVQFV 0limSQFS PFSQxyzoXYZ機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室 物體在外力的作用下，伴隨變形而同時在物體內物體在外力的作用下，伴隨變形而同時在物體內產(chǎn)生抵抗變形的力，稱為內力。產(chǎn)生抵抗變形

7、的力，稱為內力。F F1 1F F2 2F F1 1 部分物體對部分物體對部分物體的作用力部分物體的作用力F F2 2 部分物體對部分物體對部分物體的作用力部分物體的作用力F F1 1 和和F F2 2 大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。v 內力、應力及應力張量內力、應力及應力張量截面單位面積上的內力稱為應力。截面單位面積上的內力稱為應力。機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室v 應力及應力張量（續(xù)）應力及應力張量（續(xù)）0limSQtS t 稱為作用在稱為作用在 P 點處以點處以 n 為外法線為外法線的截面上的應力向量。的截面上的應力向量。 應力向量應力向量 t 不僅依賴于

8、不僅依賴于 P 點的坐標，點的坐標，而且還依賴于截面的法線方向而且還依賴于截面的法線方向 n 。 在物體內的同一點在物體內的同一點 P，不同截面上的，不同截面上的應力向量是不同的。應力向量是不同的。 如果已知過某點三個相互垂直截面上如果已知過某點三個相互垂直截面上的三個應力向量，則過該點任何其他方向的三個應力向量，則過該點任何其他方向截面上的應力向量均可求出。即這三個相截面上的應力向量均可求出。即這三個相互垂直的應力向量完全確定了該點的應力互垂直的應力向量完全確定了該點的應力狀態(tài)。狀態(tài)。PFSQxyzoABmntn機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室PABCoxyzzzyzxy

9、yzyxabxxyxzzzyzxyyzyxxxyxz 正應力用正應力用 表示。為了表明這個正應力表示。為了表明這個正應力的作用面和作用方向，加上一個坐標角碼。的作用面和作用方向，加上一個坐標角碼。剪應力用剪應力用 表示，并加上兩個坐標角碼，前表示，并加上兩個坐標角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標軸，一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸。后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸。 如果某一個截面上的外法線是沿著坐標如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個截面上的應力分量就以沿軸的正方向，這個截面上的應力分量就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負

10、方向為負。坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個截面上的應力分量就以標軸的負方向，這個截面上的應力分量就以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。應力的表示及正負號的規(guī)定應力的表示及正負號的規(guī)定,PAdx PBdy PCdz正應力正應力 垂直于作用垂直于作用面的分量面的分量剪應力剪應力 在作用面內在作用面內的切向分量的切向分量機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室剪應力互等定理：剪應力互等定理： 作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面作用在兩個互

11、相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應力，是互等的（大小相等，正負號也相交線的剪應力，是互等的（大小相等，正負號也相同）。同）。證明：證明： a a、b b分別為前后兩個面分別為前后兩個面的中心。連線的中心。連線abab，并以之為矩，并以之為矩軸，列出力矩平衡方程，得到軸，列出力矩平衡方程，得到22022yzzydydzdzdxdydx同樣，可以列出另兩個力矩平衡方程。得出同樣，可以列出另兩個力矩平衡方程。得出,yzzyzxxzxyyxPABCoxyzzzyzxyyzyxabxxyxzzzyzxyyzyxxxyxz,PAdx PBdy PCdz機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究

12、室應力張量應力張量 是對稱的二階張量是對稱的二階張量xxyxzyxyyzzxzyz 過一點任意截面上的應力分量，完全由該點的應過一點任意截面上的應力分量，完全由該點的應力張量唯一地確定。即一點的應力狀態(tài)是用該點的應力張量唯一地確定。即一點的應力狀態(tài)是用該點的應力張量表示的。力張量表示的。機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室等效應力等效應力222222162ixyyzzxxyyzzx VonMises應力應力機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室xyzPABCOdxdydzv應變應變 正應變：線段每單位長度的伸縮，用正應變：線段每單位長度的伸縮，用 表表示。伸長為正

13、，縮短為負。示。伸長為正，縮短為負。 剪應變：線段之間直角的改變，用剪應變：線段之間直角的改變，用 表示表示。直角變小時為正，反之為負。直角變小時為正，反之為負。 如果如果 這這6 6個量在個量在P P點是點是已知的，則該點的變形可以完全確定。已知的，則該點的變形可以完全確定。v位移位移 物體內任意一點的位移，用它在物體內任意一點的位移，用它在 x、y、z 三三個坐標軸上的投影個坐標軸上的投影 u、v、w 來表示。以沿坐標來表示。以沿坐標軸正方向的為正，沿坐標軸負方向的為負。軸正方向的為正，沿坐標軸負方向的為負。,xyzxyyzzx 機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室u 彈性

14、力學問題的分類彈性力學問題的分類 桿件桿件 長度遠大于橫向尺寸的構件。幾何要素為橫截面與軸線。長度遠大于橫向尺寸的構件。幾何要素為橫截面與軸線。 板殼板殼 厚度方向的尺寸遠小于其它兩個方向尺寸的構件。厚度方向的尺寸遠小于其它兩個方向尺寸的構件。 塊體塊體 長、寬、高三個方向尺寸為同一量級的構件。長、寬、高三個方向尺寸為同一量級的構件。 1-2 1-2 彈性力學的基本方程彈性力學的基本方程機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室 空間問題的數(shù)學描述空間問題的數(shù)學描述 已知的幾何參數(shù)和載荷（表面力和體積力），一般都與三已知的幾何參數(shù)和載荷（表面力和體積力），一般都與三個坐標參數(shù)個坐標參

15、數(shù)x、y、z有關；有關； 15個未知函數(shù)個未知函數(shù) 6個應力分量：個應力分量： 6 6個應變分量個應變分量: : 3 3個位移分量：個位移分量：u、v、w， 一般都是三個坐標參數(shù)一般都是三個坐標參數(shù) x、y、z 的函數(shù)；的函數(shù)； 基本方程式是三維的，但若某一方向變化規(guī)律為已知時，基本方程式是三維的，但若某一方向變化規(guī)律為已知時，維數(shù)可相應減少。維數(shù)可相應減少。,xyzxyyxyzzyzxxz ,xyzxyyxyzzyzxxzu 各類問題的基本方程及基本未知量各類問題的基本方程及基本未知量 機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室 平面問題的數(shù)學描述平面問題的數(shù)學描述 已知的幾何參數(shù)

16、和載荷（表面力和體積力）只與兩個坐已知的幾何參數(shù)和載荷（表面力和體積力）只與兩個坐標，例如標，例如x、y有關，而與有關，而與z無關；無關； 15個未知函數(shù)中只存在有個未知函數(shù)中只存在有oxy平面內的分量，且只是平面內的分量，且只是x、y的函數(shù)，其余分量或不存在，或可以用的函數(shù)，其余分量或不存在，或可以用oxy平面內的分量表平面內的分量表示；示； 基本方程式是二維的?；痉匠淌绞嵌S的。機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室 如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某種特殊的外力，就可以把空間問題簡化為承受的是某種特殊的外力，就可

17、以把空間問題簡化為近似的平面問題。近似的平面問題。 平面應力問題平面應力問題oyxzyt/2t/2幾何形狀特征：幾何形狀特征：物體在一個坐標方向物體在一個坐標方向（例如（例如 z）的幾何尺寸遠遠小于其他兩個）的幾何尺寸遠遠小于其他兩個坐標方向的幾何尺寸，如圖所示的薄板。坐標方向的幾何尺寸，如圖所示的薄板。載荷特征載荷特征：在薄板的兩個側表面上無表：在薄板的兩個側表面上無表面載荷，作用于邊緣的表面力平行于板面，面載荷，作用于邊緣的表面力平行于板面，且沿厚度不發(fā)生變化，或雖沿厚度變化但且沿厚度不發(fā)生變化，或雖沿厚度變化但對稱于板的中間平面，體積力亦平行于板對稱于板的中間平面，體積力亦平行于板面且沿

18、厚度不變。面且沿厚度不變。機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室平面應變問題平面應變問題幾何形狀特征幾何形狀特征：物體沿一個坐標軸（例如：物體沿一個坐標軸（例如z軸）方向的長度軸）方向的長度很長，且所有垂直于很長，且所有垂直于z軸的橫截面都相同，即為一等直柱體；軸的橫截面都相同，即為一等直柱體；位移約束條件或支承條件沿位移約束條件或支承條件沿z方向也相同。方向也相同。 載荷特征載荷特征：柱體側表面承受的表面力以及體積力均垂直于：柱體側表面承受的表面力以及體積力均垂直于z軸，且分布規(guī)律不隨軸，且分布規(guī)律不隨z變化。變化。o機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室 由于對

19、稱（任一橫截面都可以看作是對稱面），所有各由于對稱（任一橫截面都可以看作是對稱面），所有各點都只會沿點都只會沿x和和y方向移動，而不會有方向移動，而不會有z z方向的位移，即方向的位移，即 。 因為所有各點的位移矢量都平行于因為所有各點的位移矢量都平行于oxy面，所以稱之為平面面，所以稱之為平面位移問題，習慣上稱為平面應變問題。位移問題，習慣上稱為平面應變問題。0w 機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室 在彈性力學里分析問題，要從三個方面來考慮：在彈性力學里分析問題，要從三個方面來考慮： 靜力學方面靜力學方面、幾何學方面幾何學方面和和物理學方面物理學方面。 首先考慮平面問題的靜

20、力學方面，根據(jù)平衡條件來導首先考慮平面問題的靜力學方面，根據(jù)平衡條件來導出應力分量與體積力分量之間的關系式，也就是平面問題出應力分量與體積力分量之間的關系式，也就是平面問題的平衡微分方程。的平衡微分方程。一、平衡微分方程一、平衡微分方程機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室oxyABCDdxdyyyydyyxxxdxxxyyxxyxydxxyxyxdyyM。XY2323231123xxxxdxdxdxxxxu 連續(xù)性假設連續(xù)性假設u 小變形假設小變形假設略去二階以及二階以上的微量略去二階以及二階以上的微量xxdxx 假設假設AD面處的正應力為面處的正應力為x x，由于，由于BC面

21、相對于面相對于AD面面x坐標有坐標有dx的增量，應力也將有相應的增量，的增量，應力也將有相應的增量，BC面處面處的正應力可以用泰勒級數(shù)表示為的正應力可以用泰勒級數(shù)表示為機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室根據(jù)微元體處于平衡的條件，可以得到三個平衡微分方程。根據(jù)微元體處于平衡的條件，可以得到三個平衡微分方程。oxyABCDdxdyyyydyyxxxdxxxyyxxyxydxxyxyxdyyM。XY（一）作用于體心（一）作用于體心M M的合力矩為零，即的合力矩為零，即0zM 02222xyyxxyxyyxyxdxdxdydydx dydydy dxdxxy略去微量，整理，得出略去微

22、量，整理，得出xyyx證明了剪應力互等定理。證明了剪應力互等定理。機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室（二）（二）x x方向的合力為零，即方向的合力為零，即0 xF 0yxxxxyxyxdx dydydy dxdxXdxdyxy整理后，得整理后，得0yxxXxy（三）（三）y y方向的合力為零，即方向的合力為零，即0yF 類似于上式，可得類似于上式，可得0 xyyYxy平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程00yxxxyyXxyYxy機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室x方向方向PA的正應變的正應變PABPABoxyudxuudxxvdyvvdyyvvdx

23、xuudyyBAyxxyxuudxdxudxuxdxxy方向方向PB的正應變的正應變yvvdydyvdyyvdyy 幾何方程表明了應變分量與位移分量之間的關系。幾何方程表明了應變分量與位移分量之間的關系。二、幾何方程二、幾何方程機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室 PA與與PB所夾直角的改變，即剪應變所夾直角的改變，即剪應變 由兩部分組成：由兩部分組成：x方向線素方向線素PA向向y方向的轉角，記為方向的轉角，記為 ，和，和 y方向線素方向線素PB向向x方向的轉角，記為方向的轉角，記為 ，即，即yxxy1yxyxvdxA AxtguP Adxx1uxyxvxxyuyxyyxvux

24、y由上圖可知，由上圖可知，xyyxyxxy在小變形下，在小變形下，所以，所以同理，同理，所以所以xyyx機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室綜合以上所列各式，得出平面問題的幾何方程式綜合以上所列各式，得出平面問題的幾何方程式xyyxxyuxvyvuxy 要保證物體的位移是連續(xù)的，則應變分量之間必須滿足一定要保證物體的位移是連續(xù)的，則應變分量之間必須滿足一定的條件，即變形協(xié)調方程，或相容方程。的條件，即變形協(xié)調方程，或相容方程。22222yxyxyxx y 機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室 應變分量與應力分量之間的關系，即物理方程，應變分量與應力分量之間的關系

25、，即物理方程，也稱為本構方程。也稱為本構方程。 在完全彈性的各向同性體內，在完全彈性的各向同性體內，應變分量與應力分量之間的關系應變分量與應力分量之間的關系由虎克定律導出由虎克定律導出111111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG E 是彈性模量，是彈性模量，G 是剪切彈是剪切彈性模量，性模量， 是側向收縮系數(shù)，又是側向收縮系數(shù)，又稱為泊松比。稱為泊松比。2 1EG三、物理方程三、物理方程機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室u 位移邊界條件位移邊界條件u 應力邊界條件應力邊界條件abSuA BCSxyo.M. 設平面彈性體在設平面彈性體在 Su Su

26、邊界上給定邊界上給定位移位移 和和 ，它們是邊界坐標的，它們是邊界坐標的已知函數(shù)。則在已知函數(shù)。則在 Su Su 邊界上，位移分邊界上，位移分量必須等于該點的給定位移，即量必須等于該點的給定位移，即,uu vvu v 設平面彈性體在設平面彈性體在 邊界邊界 上給定表面力分量上給定表面力分量 和和 ，它們是邊界坐標的已知函數(shù)。則在邊界它們是邊界坐標的已知函數(shù)。則在邊界 上，應力分量與給上，應力分量與給定表面力之間的關系，可由邊界上微元體的平衡條件得出。定表面力之間的關系，可由邊界上微元體的平衡條件得出。XSYS 1-3 1-3 邊界條件邊界條件機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室

27、xyoMXYNX_Y_dxdyxyxyyxdsABC 在物體的邊界上，取一微元三角形在物體的邊界上，取一微元三角形ABC，其斜邊，其斜邊BC與物體的邊界面重合。與物體的邊界面重合。N表示邊界的外法線方向，表示邊界的外法線方向，N的方向余弦為的方向余弦為cos = l，sin = m，則，則dx = mds,dy = lds由微元體平衡條件由微元體平衡條件 ，得，得0 xF .02xyxlds mdsXdsldsmdsX略去高階小量，整理后得略去高階小量，整理后得xyxlmX同理，由同理，由 ，得，得0yF xyylmY由由 略去高階小量后，得略去高階小量后，得0zMxyyx機自學院安全斷裂分析

28、研究室機自學院安全斷裂分析研究室所以，平面問題的應力邊界條件所以，平面問題的應力邊界條件xyxxyylmXlmY在在 上上S當邊界面垂直于坐標軸時，應力邊界條件將簡化：當邊界面垂直于坐標軸時，應力邊界條件將簡化： 邊界垂直于邊界垂直于x 軸，軸，l= 1, m= 0,xxyXY 邊界垂直于邊界垂直于y 軸，軸， l= 0 , m= 1,yyxYX 在在 上上S在在 上上S機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室u 混合邊界條件混合邊界條件 物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，另一部分具有已知表面力，因而具有應力邊界

29、條件。另一部分具有已知表面力，因而具有應力邊界條件。按照邊界情況，彈性力學問題一般分為三類：按照邊界情況，彈性力學問題一般分為三類： 位移邊界問題位移邊界問題：在邊界面上全部給定位移，即全部是：在邊界面上全部給定位移，即全部是 Su Su 邊界邊界 應力邊界問題應力邊界問題：在邊界面上全部給定表面力，即全部是：在邊界面上全部給定表面力，即全部是 邊界。這時，外力（包括體力和面力）應是平衡力系。邊界。這時，外力（包括體力和面力）應是平衡力系。 混合邊界問題：混合邊界問題：既有既有Su 邊界，又有邊界，又有 邊界。二者可以分邊界。二者可以分別在邊界表面不同的區(qū)域上，或同一區(qū)域不同的方向上。別在邊界

30、表面不同的區(qū)域上，或同一區(qū)域不同的方向上。SS機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室試列出下圖所示彈性體的邊界條件試列出下圖所示彈性體的邊界條件q1q2gyaOxy20 xx axyx aq 1000yyyxyq 000 xyxxxgy 00y by buvx=ax=0y=0y=bb機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室1-4 1-4 求解平面問題的基本方法求解平面問題的基本方法 在彈性力學里求解問題，有三種基本方法：在彈性力學里求解問題，有三種基本方法：按位移求解按位移求解，按應按應力求解力求解和和混合求解混合求解。 按位移求解按位移求解時，以位移分量為基本未知函

31、數(shù)，由一些只包含位時，以位移分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含位移分量的微分方程和邊界條件求出位移分量以后，再用幾何方程求移分量的微分方程和邊界條件求出位移分量以后，再用幾何方程求出應變分量，從而用物理方程求出應力分量。出應變分量，從而用物理方程求出應力分量。 按應力求解按應力求解時，以應力分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含應時，以應力分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含應力分量的微分方程和邊界條件求出應力分量以后，再用物理方程求力分量的微分方程和邊界條件求出應力分量以后，再用物理方程求出應變分量，從而用幾何方程求出位移分量。出應變分量，從而用幾何方程求出位移分量。 在在混合求解混合求解時，同時以某些

32、位移分量和應力分量為基本未知函時，同時以某些位移分量和應力分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含這些基本未知函數(shù)的微分方程和邊界條件求出這數(shù)，由一些只包含這些基本未知函數(shù)的微分方程和邊界條件求出這些基本未知函數(shù)以后，再用適當?shù)姆匠糖蟪銎渌奈粗瘮?shù)。些基本未知函數(shù)以后，再用適當?shù)姆匠糖蟪銎渌奈粗瘮?shù)。機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室彈性力學的一些普遍原理彈性力學的一些普遍原理l圣維南原理圣維南原理l疊加原理疊加原理 在線彈性和小變形條件下，同一物體上若干組外力分別作用下的疊加，等于這若干組外力同時作用于該物體上。l解的唯一性定律解的唯一性定律 利用應變能定律可以證明，受已知體力

33、作用的彈性體，其表面或者面力已知，或者位移已知，或者一部分面力已知而另外一部分位移已知，則彈性體在平衡時，體內各點的應力分量與應變分量是唯一的，對于后兩種情況，位移分量也是唯一的。 把物體一小部分上的面力變換成分布不同但靜力等效的面力，只影響近處的應力分布，而不影響遠處的應力。該原理又稱為局部性原理。換言之，若一小部分邊界作用有平衡力系（即主矢量和主矩為零），則此平衡力系只在近處產(chǎn)生顯著應力，而對遠處的影響可以忽略不計。機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室表表2 2 平面問題基本方程平面問題基本方程名名 稱稱基本方程表達式基本方程表達式基本方程基本方程平衡微分方程平衡微分方程幾

34、何方程幾何方程物理方程物理方程平面應力問題平面應力問題平面應變問題平面應變問題基本未知量基本未知量00 xyxyxyXxyYxy,xyxyuvvuxyxy111xxyyyxxyxyEEG11111111xxyyyxxyxyEEG, ,xyxyxyxyu v 1112,1-1-xyyxEEGG注：注：機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室表表3 3 平面問題的三類邊界條件平面問題的三類邊界條件位移邊界條件位移邊界條件應力邊界條件應力邊界條件混合邊界條件混合邊界條件在邊界在邊界 上上在邊界在邊界 上上 或或 ，在邊界，在邊界 上上 或或 在邊界在邊界 上上uuvv xxyxyylmX

35、lmYuu vv xxylmXxyylmYuSuSSS機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室彈性力學的主要解法彈性力學的主要解法l解析法解析法 應用數(shù)學分析方法求解微分方程，得出精確的函數(shù)解。l變分法（能量法）變分法（能量法） 根據(jù)能量極值原理，導出變分方程，求解。得出近似解答。l差分法差分法 將微分方程和邊界條件化為差分方程（代數(shù)方程）進行求解。l有限單元法有限單元法 將連續(xù)體變換為離散體結構，再將變分原理應用于離散化結構，將微分方程化為線性代數(shù)方程組，用計算機求解。機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室l 位移法按位移求解位移法按位移求解在平面應力問題中，物理方

36、程是在平面應力問題中，物理方程是112 1xxyyyxxyxyEEE求得應力分量求得應力分量22112 1xxyyyxxyxyEEE位移法，應力法直接解題法位移法，應力法直接解題法機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室將幾何方程將幾何方程 代入，得代入，得xyyxxyuxvyvuxy22112 1xyxyEuvxyEvuyxEvuxy再將上式代入平衡微分方程再將上式代入平衡微分方程00yxxxyyXxyYxy222222222222110122110122EuuvXxyx yEvvuYyxx y 簡化后，得到用位移表示的平衡微分方程簡化后，得到用位移表示的平衡微分方程機自學院安全

37、斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室代入應力邊界條件代入應力邊界條件xyxxyylmXlmY22112112EuvuvlmXxyyxEvuvumlYyxxy簡化后，得到用位移表示的應力邊界條件簡化后，得到用位移表示的應力邊界條件 對于平面應變問題，須在上面的各個方程中將對于平面應變問題，須在上面的各個方程中將 E E 換換為為 ，將，將 21E1換為換為機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室如圖所示懸掛板，在如圖所示懸掛板，在o o點固定，下端自由，材料點固定，下端自由，材料比重為比重為 ，試求該板的應力分量和位移分量。，試求該板的應力分量和位移分量。hhxyoL一維問題一維

38、問題v=0, u=u(x), v=0, u=u(x), 泊松比泊松比0 0 g g220d uEgdx22guxAxBE 0( )0()0 xxx Lu0,gLBAE22,2xguLxxg LxE代入用位移表示的平衡微分方程代入用位移表示的平衡微分方程解出解出利用邊界條件利用邊界條件得出得出所以所以機自學院安全斷裂分析研究室機自學院安全斷裂分析研究室 將平面問題幾何方程中將平面問題幾何方程中 x x對對 y y的二階導數(shù)和的二階導數(shù)和 y y對對x x的的 二階導數(shù)相加，得到二階導數(shù)相加，得到l 應力法按應力求解應力法按應力求解223322222yxuvuvyxx yy xx yyx 22222yxyxyxx y 變形協(xié)調方程或相容方程變形協(xié)調方程或相容方程 對于平面應力問題，將物理方程代入變形協(xié)調