代數(shù)式求值的十種常用方法

1、代數(shù)式求值的十種常用方法代數(shù)式求值問題是歷年中考試題中一種極為常見的題型，它除了按常規(guī)直接代入求值外，還要根據(jù)其形式多樣，思路多變的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ê图记?，本文結(jié)合近幾年各地市的中考試題，介紹十種常用的求值方法，以供參考。一、利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)若已知條件是幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式，則可利用“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都應(yīng)為零”來確定字母的值，再代入求值。目前，經(jīng)常出現(xiàn)的非負(fù)數(shù)有|a|,才，仁等。2例1若7TW 和18b 3|互為相反數(shù)，則 127=。ab解：由題意知，小3a |8b 3| 0，則1 3a 0且8b 3 0，解得a -， b - °382因?yàn)閍b - 3 ,所

2、以工 27 82 27 37，故填37。3 8 8ab練習(xí)：（2010年深圳市）若 a 2 2 1b 3| 0,則a b 2007的值是（）A. 0B. 1C. 1D. 2007提示：a 2，b 3,選C。二、化簡代入法然后再代入求值，這是代數(shù)式求值中最?；喆敕ㄊ侵赶劝阉蟮拇鷶?shù)式進(jìn)行化簡, 見、最基本的方法。例2先化簡，再求值：a2b 2ab2 b3解：原式 a2 2ab b2 a2 b2 a2當(dāng)a L b1時(shí),2原式 2ab2 -11。2練習(xí)：（2009年河北省）已知a 3, b1b a b a b，其中 a ，b 1 °22ab b2 a2 b2 2ab °2 ,

3、求-史的值。aba2 2ab b2提示：原式 1 Qa b當(dāng)a 3，b 2時(shí)，原式二1。三、整體代入法當(dāng)單個(gè)字母的值不能或不用求出時(shí)，可把已知條件作為一個(gè)整體，代入到待求的代數(shù)式中去求值的一種方法。通過整體代入，實(shí)現(xiàn)降次、歸零、約分的目的，以便快速求得其值。例3(2010年已知1 1 4，則 a 3ab ba b2a 2b 7ab1 4，即 a b 4ab ° ba 3ab ba b3ab解：由1 a所以原式2a 2b 7ab 2 a b 7ab4ab 3ab ab1 08ab 7ab ab故填1。練習(xí)：代數(shù)式3x2 4x 6的值為9,則x2 4x 6的值為3D. 9A. 7B. 1

4、8C. 12提示：x2 4x 1 ,選A。3四、賦值求值法賦值求值法是指代數(shù)式中的字母的取值由答題者自己確定，然后求出所提供的代數(shù)式的例4請將式子x2 11x 1原式有意義的x的值代入求值。值的一種方法。這是一種開放型題目，答案不唯一，在賦值時(shí)，要注意取值范圍。,化簡后，再從0, 1, 2三個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)你喜歡且使 x 1解：原式依題意，只要xx 2 °1就行，當(dāng)x0時(shí)，原式x2 2或當(dāng)x 2時(shí)，原式x 2 4 °練習(xí)：先將式子1 1 x2 1化簡，然后請你自選一個(gè)理想的x值求出原式的值。xx2提示：原式 上。只要x 0和x 1的任意實(shí)數(shù)均可求得其值。 x 1五、倒數(shù)法倒數(shù)

5、法是指將已知條件或待求的代數(shù)式作倒數(shù)變形，從而求出代數(shù)式的值的一種方法。例5若的值為1 ,則 -J的值為2y2 3y 74 4y2 6y 1A. 1B. -121解：由 1 ,取倒數(shù)得,2y2 3y 7 4c 2 c r2y3y-7 4 ,即 2y2 3y 1。2所以 4y2 6y 1 2 2y2 3y 1D. 152 111,則可得一一一4y 6y練習(xí)：已知x 1 x4,則2x-4 c2x 5x的值是21x2x3 13 ,填。1342提示：x5x1 x2x六、參數(shù)法若已知條件以比值的形式出現(xiàn)，則可利用比例的性質(zhì)設(shè)比值為一個(gè)參數(shù)，或利用一個(gè)字 母來表示另一個(gè)字母。22例6如果a 2,則a ab

6、 b的值是22.2ba bC.D. 2解：由ab所以原式A. 4B. 12 得，a 2b。a2 ab b2 2b 2 2bb b22 r -22 ria b2bb3b23_ o5b25故選Co練習(xí)：若a 3,則_a_b的值是 b 3 bD.A. 1B. 2C. 13 3提示：設(shè)a 4k，b 3k，選A。七、配方法若已知條件含有完全平方式，則可通過配方，把條件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)平方和的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來確定字母的值，從而求得結(jié)果。例7 已知 a2 b2 2a 4b 5 0，求 2a2 4b 3的值。解：由 a2 b2 2a 4b 5 0，得a2 2a1 b24b 4 0，即a 12 b2 2 0

7、，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a1 0，b 20，解得a 1，b 2。所以原式 2a24b 321 2 4 2 3 7。練習(xí)：若 a2b 3c12，且 a2 b2 c2 ab bcca，則ab2 c3= °提示：a b c 2，填14。八、平方法在直接求值比較困難時(shí)，有時(shí)也可先求出其平方值，再求平方值的平方根 （即以退為進(jìn)的策略），但要注意最后結(jié)果的符號。11例8已知x y 7且xy 12,則當(dāng)x y時(shí)，一一的值等于。x y解：因?yàn)?x y 7,xy 12,222所以12 x y2 2x y xy x y2_2,一，x y2 4xy 72 4 121Z 77ox2y2122144一，_ , 11

8、又因?yàn)閤 y ,所以一一0,x y , 111所以1 -2，故填1。x y 122練習(xí)：已知x 1 3,則x 2的值是xx提不：| x | J x 4 J5，xx九、特殊值法有些試題, 情況進(jìn)行分析，用常規(guī)方法直接求解比較困難, 或選擇某些特殊值進(jìn)行計(jì)算，填5若根據(jù)答案中所提供的信息， 選擇某些特殊把一般形式變?yōu)樘厥庑问竭M(jìn)行判斷，這時(shí)常常會使題目變得十分簡單。例9若偵x3a。解：由五x3a。；若令X1,則 a。a1axaxa22 a?x2a2x所以a。2a22aa3.2 1 ,2 1 3 1故填1。a3xa3x3知，若令xa3a。a2a1 a3 a。a2 2a1a3 2的值為j則 a。 a1a

9、2a3a2a1a3練習(xí)：已知實(shí)數(shù) a, b滿足a b 1,那么 11 的值為a2 1 b2 1A. 1B. 1C. 142提示：可令a 1 , b 1 （a、b、c的取值不惟一），選Co十、利用根與系數(shù)的關(guān)系33.21.21D. 2如果代數(shù)式可以看作某兩個(gè)“字母”的輪換對稱式，而這兩個(gè)“字母”又可能看作某個(gè) 元二次方程的根，可以先用根與系數(shù)的關(guān)系求得其和、積式，再整體代入求值。例1。（2。7年德陽市）閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax2 bx c 。的兩根為x1, x2 ,則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1 X2 b，x1X2 根據(jù)該材料填空：已知x1,aax° xx2是方程x2 6x 3。的兩實(shí)數(shù)根，則 的值為。x1 x2解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1 x 2所以x2x16, x x 2322x1 x1x2x 2 x1x22 cc 2x1 x22x1x262 3x#210。故填1。練習(xí)：（2。9年云南?。┮阎獂1、x 2是一元二次方程x 2 x x x一一*