考研學(xué)生級數(shù)部分

1、理工類說明：(1)只對數(shù)學(xué)一要求的在左上角加“”.(2)記號 08120 表示 -08 年數(shù)學(xué)一第 20 題.(3)例題中“ Ai 、Bi、 Ci ”分別表示“基本題、綜合題、應(yīng)用題”無窮級數(shù) ( 數(shù)學(xué)一 ) 考試要求 1.理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2.掌握幾何級數(shù)與p-級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3.掌握正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。4.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法。5.了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。6.了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7.理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級

2、數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8.了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)微分），會求一些冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。9.了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10.掌握 ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)m 的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。11.了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在 l , l ,上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在 0, l 上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)，余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和的表達(dá)式。（只對數(shù)一要求）- 內(nèi)容分為三大部分 數(shù)項(xiàng)級數(shù)；冪級數(shù)；傅

3、立葉級數(shù)。 考題常出類型 A.基本題 B.綜合題 本章特點(diǎn) 概念性強(qiáng)，分析、推理多，運(yùn)算量不算大。 內(nèi)容提要 一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)形如un u1 u2unn 1 主要問題 一是審斂問題；二是求和問題。1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散定義：n設(shè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)un 的部分和為 Snuku1u2unn 1k 1若 lim SnS 存在，則稱級數(shù)un 收斂 ,un=S；若 lim Sn 不存在，則稱un 發(fā)散。nn 1n 1nn 1注：用定義審斂的優(yōu)點(diǎn)是審斂的同時可得收斂和，一般用于幾何級數(shù)或兩差項(xiàng)的級數(shù)。 (un un 1) 收斂lim un 存在。n 1n-2.級數(shù)的性質(zhì)：(1)級數(shù)un 與Cun ( C0 )斂散性相同；n

4、1n 1(2)設(shè)兩級數(shù)un 和vn 則有下列結(jié)論：n 1n 1兩收和必收；一收一散和必散；兩散和不定( 但( unvn ) 必發(fā)散 ) 。n 1(3) 收斂級數(shù)任意添加括號后仍收斂。但逆命題不一定成立(即添加括號后收斂的級數(shù)原級數(shù)不一定收斂)。(4) 若級數(shù)un 收斂，則 lim un 0 。級數(shù)收斂的必要條件n1n作用 :可用來判別發(fā)散：若 lim un 0,則un發(fā)散；nn 1可用來求極限為零的極限 :nn 2 收斂，則 limnn 20 。n1 (n!)n(n!)(5)若級數(shù)un2 和 vn2都收斂，則級數(shù)unvn ,(un vn ) 2 ，un也都收斂。n 1n 1n 1n 1n 1

5、n注：增加減少或改變級數(shù)的有限項(xiàng)不影響其斂散性。 若un 收斂，則un 1 也收斂。n 1n 1 例題分析 A 1:00102 設(shè)級數(shù)un 收斂，則必收斂的級數(shù)為()。n 1(A)( 1) n un ; (B)un2 ; (C)(u2n 1u2n ) ;(D)(unun 1) 。n 1nn 1n 1n 1-A 2:0610906309 若級數(shù)an 收斂，則級數(shù) ()必收斂。n 1(A)an ；(B)( 1)n an ；(C)anan 1 ；(D)n 1n 1n 12an an 1 。n 1-A 3： 04310 設(shè)有以下命題： 若(u2n1 u2 n ) 收斂，則un 收斂；n1n 1 若un

6、 收斂，則un 100 收斂；n1n 1 若 lim un11, 則un 發(fā)散；nunn1若(unvn ) 收斂 ,則un 和vn 都收斂。n 1n 1n 1則以上命題中正確的是 () 。(A) ; (B) ; (C) ; (D) 。3.級數(shù)的審斂法(1)正項(xiàng)級數(shù)an( an 0)n 1an 1當(dāng)1時，收斂I.比值 (根值 )審斂法： 若 lim(或 limn an)，則級數(shù)an 當(dāng)1時，發(fā)散nannn 1當(dāng)1時，不定注:若 an 11 ( an0 ),則an 必發(fā)散。此時不必取極限。ann1-II. 比較審斂法 :設(shè)正項(xiàng)級數(shù)an 和bn ,且 anbn (當(dāng) n N 時 )，則n 1n 1若

7、bn 收斂，則an 也收斂。 (大收則小收 ) 若an 發(fā)散，則bn 也發(fā)散。 (小散則大散 )n 1n 1n 1n 1-極限形式 : 若 lim anl 0 ,則n bn當(dāng) l0且 l時，級數(shù)an 與bn 同斂散。n 1n 1當(dāng) l0時，級數(shù)bn 收斂 ,則an 也收斂 ;n1n 1當(dāng) l時，級數(shù)bn 發(fā)散，則an 也發(fā)散。n 1n 1當(dāng) l1時，即 anbn ，則級數(shù)an 與bn 同斂散。n 1n 1-說明： 常取 bn12來判別an收斂；取 bn1 來判別an 發(fā)散。nn 1nn 1 lim n2anl 是級數(shù)an 收斂的充分而非必要的條件。nn 1 兩個正項(xiàng)級數(shù)，an 收斂，且 lim

8、 bn = k 存在，則級數(shù)anbn 收斂。n1nn1-幾個常用級數(shù)的斂散性：幾何級數(shù)aq n ( a0 )：當(dāng) | q |1時，發(fā)散；當(dāng) | q |1 時，收斂。n 1p-級數(shù)11：當(dāng) p 1時，收斂；當(dāng) p1時發(fā)散。p 、nlnpn 1 nn 2n特別地，調(diào)和級數(shù)111發(fā)散。 ( p1)13n2注：若正項(xiàng)級數(shù)an 收斂，則a2n 與a2n 1 均收斂。n 1n 1n 1(2)交錯級數(shù)(1) n 1 an ( an 0 )n 1萊布尼茲判別法 : 若 lim an0 且 aa1，則級數(shù)(1) n1an 收斂，且和 Sa 。nnnn11sin 2n1說明 :該判別法是級數(shù)收斂的充分而非必要條件

9、。如：級數(shù)( 1)n12收斂，但不是遞減數(shù)列。n4a1 1,a20, a34n 13-考察 an an1 常用三種方法：比值法 an1；差值法anan 10 ；an 1微分法 令 anf (n) ，若 f(x)0 ?f (x) ? f (n)f ( n1) ? aa。nn 1(3) 任意項(xiàng)級數(shù)un 絕對收斂 : 若級數(shù)un 收斂 ,則un 收斂 ,并稱un 絕對收斂。n1n 1n 1n 1條件收斂 : 若級數(shù)un 收斂 ,而un 發(fā)散 ,則稱級數(shù)un 條件收斂。n 1n1n 1說明:1） 當(dāng)un發(fā)散時 ,un 未必發(fā)散。n 1n 1un 11（或 lim nun1），則un必發(fā)散；或用比（根）

10、值法判斷un 發(fā)散，則un 必發(fā)散。但若 limnunnn 1n 1n 12） 若un 收斂，則un2 收斂。n 1n13） 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)an 收斂 ,若 lim bnk 存在，則級數(shù)( 1)n an bn 絕對收斂。n1nn 14） 若un 絕對收斂，則|un | un和| un| un均收斂。22n 1n 1n15）若un 條件收斂，則| un |un 和| un |un均發(fā)散。n 1n 12n 12-審斂的一般程序：un lim un a a0 判別所屬類型不是正項(xiàng)級數(shù)判別un 收斂un 收斂n1nn 1n 1 un0a0 ,則un 發(fā)散比值、比較n 1 例題分析 基本題：A 1：判別下列

11、級數(shù)的斂散性：(1)( 1)n 1 nln n1n 1n(2)93301(ln 3)n2nn 0(3)ln nln( n 1)n1(4)n1n5n2n 1A :04109 設(shè)an 為正項(xiàng)級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 ( )。2n 1(A) 若 lim nan0 ，則級數(shù)an 收斂；nn 1(B)若存在非零常數(shù)，使得 lim nanc ，則an 發(fā)散；nn 1(C)若級數(shù)an收斂，則 lim n2an0 ；n 1n(D)若級數(shù)an 發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得lim nanc 。n 1nA2:13304設(shè) an 為正項(xiàng)級數(shù)，則下列說法正確的是()。(A)若 anan 1 ,則( 1)n 1 an 收斂

12、；n 1(B)若(1)n 1 an 收斂 ,則 an an 1 ；n1(C)若an 收斂，則存在常數(shù) p 1使得 lim n p an 存在 ；n 1n(D)若存在常數(shù) p 1使得 lim n pan 存在， 則an 收斂。nn 1A:09104設(shè)有兩個數(shù)列 an ， bn , 若lim an 0，則 ()。2n(A) 當(dāng)bn 收斂時 ,anbn 收斂；n 1n 1(B)當(dāng)bn 發(fā)散時 ,anbn 發(fā)散；n 1n 1(C)當(dāng)bn收斂時，an2 bn2 收斂；n 1n 1(D)當(dāng)bn發(fā)散時，an2 bn2 發(fā)散。n 1n 1A 3： 11301設(shè) un 是數(shù)列，則下列命題正確的是（）。(A) 若

13、un 收斂，由u2n 1 u2 n 收斂；n1n 1(B) 若u2 n1u2n收斂，則un收斂；n 1n1(C)若un 收斂，則u2n 1u2 n收斂；n 1n 1(D) 若u2 n 1u2n收斂，則un 收斂。n 1n 13：05309設(shè)an0 ，n 1,2,，若an發(fā)散，( 1)n 1an收斂，則下列結(jié)論正確的是()。An 1n 1(A)a2n1 收斂，a2n 發(fā)散；n 1n1(B)a2n收斂，a2 n 1 發(fā)散；n 1n 1(C)(a2n1a2n ) 收斂 ;n 1(D)(a2 n 1a2n ) 收斂。n 1A 4： 12304已知級數(shù)( 1)nn sin 1 絕對收斂，級數(shù)( 1)n條

14、件收斂，則的范圍為（）。n 1nn 1 n2(A) 01 ；(B) 121；23(C) 1；2(D) 32 。2A 5：下列級數(shù)符合哪個選項(xiàng)：(A) 發(fā)散； (B) 條件收斂； (C)絕對收斂； (D)收斂性與有關(guān)，0 。(1)87102(1)n 1nn 1n2(2)90102sin n1n2nn 1(3)92102(1)n1 cosn 1n(4)9410294302若an2 收斂，則級數(shù)( 1) nan。n 1n 1n2(5)96102設(shè) an 0，且an 收斂，則級數(shù)(1)n n tana2 n ，( 0) 。n 1n 1n2(6)02102設(shè) un0( n1,2, )，且 limn1，則

15、級數(shù)(1)n 1 11。nunn 1unun1-A 6：討論下列級數(shù)的斂散性：(1)n2 sin2n ;n 1(2) ln 211;n 1n(3)90301(n1)! ；n 1nn 1-1nA 7:98108 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 an單調(diào)減少，且( 1) n 1 an 發(fā)散 ,試問是否收斂？并說明理由。n1n 1an 1-A 8:設(shè) ancnbn ， n 1,2,，并設(shè)級數(shù)an 和bn 均收斂，試證明級數(shù)cn 收斂。n 1n 1n 1-A9: 設(shè)bn 是收斂的正項(xiàng)級數(shù)，且級數(shù)( anan 1 ) 收斂，試討論級數(shù)anbn 的斂散性，說明理由。n1n 1n1綜合題：1設(shè) f ( x) 在點(diǎn)x 0的某一鄰

16、域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim f (x)0 ，證明級數(shù)1絕對收斂。B :94106x 0fxn 1n-B ：設(shè)定義在 0, 1 上的函數(shù)f ( x)在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)有界，證明：2(1) 級數(shù)11絕對收斂；ffn 1nn1(2) lim f1存在。n n2111，證明lim x存在。B:設(shè) xn12 nnn23n-B3:04118設(shè)有方程 xnnx 1 0 ，其中 n 為正整數(shù)，證明此方程存在唯一正實(shí)根，并證明當(dāng)1 時，級數(shù)xn 收斂。n 1-B4:99109設(shè) an4 tann xdx, (1) 求1 anan 2的值；0n 1 n(2)試證 :對任意的常數(shù)0 ，級數(shù)an 收斂

17、。n 1 n三、傅里葉 (Fourier )級數(shù)：1.周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)：a0nn稱為 f (x) 的以 2l 為周期的傅里葉級數(shù)。設(shè) f (x) 是在 l ,l 上以 2l 為周期的函數(shù)，級數(shù) S( x)(an cosx bn sinx)2 n 1ll1其中 anlllf (x) cos n xdx ， n 0,1,2,； bn1llf ( x)sin n xdx ， n 1,2,稱為 f ( x) 的以 2l 為周期的傅里葉系數(shù)。lll2(1)當(dāng) f ( x) 為偶函數(shù)時， anll0f (x)cos n xdx , n 0,1,2, ;bn 0 , n 1,2,lS( x)a0an c

18、osn x 稱為 f (x) 的余弦級數(shù)。2 n 1l(2) 當(dāng) f (x) 為奇函數(shù)時 ,an 0 ,n0,1,2, ;bn2 lnxdx ， n1,2,0f ( x)sinllS( x)bn sin nx稱為 f ( x) 的正弦級數(shù)。n 1l-2. 狄利克雷收斂定理：設(shè) f ( x) 在區(qū)間 l ,l 上滿足：連續(xù)或僅有有限個第一類間斷點(diǎn)；單調(diào)或可劃分成有限個單調(diào)區(qū)間。則 f (x) 的以 2l 為周期的傅里葉級數(shù)f ( x ),x 為連續(xù)點(diǎn)a0( a n cosnb n sinn1 f ( x0)f ( x0),x 為間斷點(diǎn)S( x )xlx )2 n1l21 f ( l0 )f (

19、l0 ),xl2在區(qū)間 l ,l 之外，此級數(shù)的和函數(shù) S( x) 為以 2l為周期的周期函數(shù)。-3. 非周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)：設(shè) f ( x) 是 0, l 上的非周期函數(shù)，可將它延拓成l , l 上以 2l 為周期的函數(shù)。f ( x),0偶延拓： 令 F (x)lf ( x),f ( x),0奇延拓： 令 F (x)f (x),xl，則成為余弦級數(shù)S( x)x 0x l，則成為正弦級數(shù)S( x)lx0f ( x),x為連續(xù)點(diǎn)a0an cosnx =f (00),x0f (l0),xl2ln 11 f ( x0)f (x 0), x為間斷點(diǎn)2bn sin nf ( x),x為連續(xù)點(diǎn)x = 0

20、,x0, ln 1l21 f (x 0) f (x 0), x為間斷點(diǎn)例題分析 192101設(shè)f ( x)1,x0，則以為周期的傅里葉級數(shù)在 x處收斂于 。A :x21, 0x-x,0x1a0A 2:99101設(shè) f ( x)2 ， S( x)an cosn x ，x，22x, 21x12n11f (x) cosnxdx ， ( n)，則 S5 =()。其中 an 20,1,2,02(A)1 ；(B)1 ；(C)3 ；(D)3 。2244-A 3：設(shè) f (x)x2 ，0x1，而 S( x)n 1bn sin nx ，x，11bn2 f ( x)sin n xdx ，則 S=。02403101

21、設(shè)2an cosnx(x)，則 _。（ 4 分）A :xn051x 1為周期的傅里葉級數(shù)，并求1的和。（8分）A : 91105將 f ( x)2| x | ()展開成以 2n 1 n2695104將 f ( x)x1(0 x2)展開成周期為 4 的余弦級數(shù)。（6分）答案：f ( x)4( 1)n1n xA :2n2cos, x 0,2n 12A 7:08119 將 f ( x)1x2 ( 0x)展開成余弦級數(shù)，并求級數(shù)( 1) n 1的和。（11 分）n 1n22(1)n12答案：cos, 0, ，和4nx xf (x) 13n212n 1二、冪級數(shù)形如an (x x0 )na 0a 1 x

22、 x 0nan x x 0n 0當(dāng) x00 時，an xna0a1xan xnn0注：對于an ( xx0 )n ，只需令 y xx0 便可得到an yn 。n 0n 0-此處題共分五類：1求收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域。2求收斂域及和函數(shù)。3求和函數(shù)，并求和（或只求和） 。4展成冪級數(shù)，或者加上求和。5綜合題：與方程，定積分等應(yīng)用聯(lián)系起來。-1. 收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域討論an xna0a1xan xnn0收斂半徑：存在常數(shù) R0 , 使得當(dāng) | x |R 時，級數(shù)an xn 收斂，當(dāng) | x |R 時，級數(shù)an xn 發(fā)散，此時稱 R 為級數(shù) an xnn 0n 0n 0的收斂半徑。 (阿貝爾定理 )求法: 對冪級數(shù)an xn，liman 1，則收斂半徑 R1 。n0nan注：當(dāng) R 0時，an xn 僅在 x0 收斂；當(dāng) R時,an xn 在 ( ,) 收斂。n 0n0 只含偶數(shù)項(xiàng)或只含奇數(shù)項(xiàng)的缺項(xiàng)冪級數(shù)不能用此方法。收斂區(qū)間： 開區(qū)間 (R, R) 稱為級數(shù)an xn 的收斂區(qū)間。n 0收斂域： 級數(shù)an xn的收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂