高考一輪復習考點規(guī)范練49直線與圓錐曲線

1、考點規(guī)范練49直線與圓錐曲線基礎鞏固組1.若過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,則這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條答案:C2.(2015武漢調研)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案:D解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,兩式作差并化簡變形得y1-y2x1-x2=-b2(x1+

2、x2)a2(y1+y2),而y1-y2x1-x2=0-(-1)3-1=12,x1+x2=2,y1+y2=-2,所以a2=2b2,又因為a2-b2=c2=9,于是a2=18,b2=9.故選D.3.(2015遼寧丹東二模)已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點為F,點E在C的準線上,且在x軸上方,線段EF的垂直平分線經(jīng)過C上一點M,且與C的準線交于點N-1,32,則|MF|=()A.5B.6C.10D.5或10答案:A解析:如圖,MN與C的準線交于點N-1,32,p=2.拋物線方程為y2=4x,得F(1,0).設E(-1,m)(m0),則EF中點為G0,m2,kEF=-m2.又N-1,32,kN

3、G=m-32,則-m2m-32=-1,解得m=4.kNG=12,則NG所在直線方程為y-32=12(x+1),即x-2y+4=0.聯(lián)立y2=4x,得M(4,4),|MF|=4+1=5.4.已知橢圓E的中心在坐標原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準線與E的兩個交點,則|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案:B解析:拋物線y2=8x的焦點坐標為(2,0),E的右焦點的坐標為(2,0).設橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(ab0),c=2.ca=12,a=4.b2=a2-c2=12,于是橢圓方程為x216+y212=1.拋物線的準線方程為x=-2,

4、將其代入橢圓方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.5.(2015遼寧錦州一模)已知拋物線y2=8x的焦點F到雙曲線C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)漸近線的距離為455,點P是拋物線y2=8x上的一動點,P到雙曲線C的上焦點F1(0,c)的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3,則該雙曲線的方程為()A.y22-x23=1B.y2-x24=1C.y24-x2=1D.y23-x22=1答案:C解析:拋物線y2=8x的焦點F(2,0),雙曲線C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的一條漸近線的方程為ax-by=0.拋物線y2=8x的焦點F到雙曲線C:y2a2-x2b2

5、=1(a0,b0)漸近線的距離為455,2aa2+b2=455.a=2b.P到雙曲線C的上焦點F1(0,c)的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3,|FF1|=3.c2+4=9.c=5.c2=a2+b2,a=2b,a=2,b=1.雙曲線的方程為y24-x2=1.6.已知動點P(x,y)在橢圓C:x225+y216=1上,F為橢圓C的右焦點,若點M滿足|MF|=1,且MPMF=0,則|PM|的最小值為()A.3B.3C.125D.1答案:A解析:由題意可得a=5,c=3.又MPMF=0,可知PMF是直角三角形,故|PM|2=|PF|2-|MF|2(a-c)2-1=(5-3)2-1=3.所以

6、|PM|min=3.7.(2015江蘇,12)在平面直角坐標系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點.若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實數(shù)c的最大值為.答案:22解析:直線x-y+1=0與雙曲線的漸近線y=x平行,且兩平行線間的距離為22.由圖形知,雙曲線右支上的動點P到直線x-y+1=0的距離的最小值無限趨近于22,要使距離d大于c恒成立,只需c 22即可,故c的最大值為22.8.(2015課標全國,理14)一個圓經(jīng)過橢圓x216+y24=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標準方程為.答案:x-322+y2=254解析:由條件知圓經(jīng)過橢圓的三個頂點分別

7、為(4,0),(0,2),(0,-2),設圓心為(a,0)(a0),所以(a-0)2+(0-2)2=4-a,解得a=32,故圓心為32,0,此時半徑r=4-32=52,因此該圓的標準方程是x-322+y2=254.9.(2015石家莊高三質檢二,理20)已知橢圓C1:x24b2+y2b2=1(b0),拋物線C2:x2=4(y-b).過點F(0,b+1)作x軸的平行線,與拋物線C2在第一象限的交點為G,且該拋物線在點G處的切線經(jīng)過坐標原點O.(1)求橢圓C1的方程;(2)設直線l:y=kx與橢圓C1相交于C,D兩點,其中點C在第一象限,點A在橢圓C1的右頂點,求四邊形ACFD面積的最大值及此時l

8、的方程.解:(1)由x2=4(y-b)得y=14x2+b,令y=b+1,得x=2,G點的坐標為(2,b+1),則y=12x,y|x=2=1.過點G的切線方程為y-(b+1)=x-2,即y=x+b-1.令y=0,得x=1-b=0,b=1.橢圓的方程為x24+y2=1.(2)依題意有k0,設C(xC,kxC),由x24+y2=1,y=kx,得(1+4k2)x2-4=0,xC=21+4k2,S四邊形ACFD=SCFD+SCDA=12|OF|2xC+12|OA|2kxC=2(1+k)xC=4(1+k)1+4k2=4(1+k)21+4k2.令t=1+k,k=t-1,t(1,+),1t(0,1),則(1+

9、k)21+4k2=151t2-81t+454,當且僅當t=54,k=14時,等號成立.S四邊形ACFD25,四邊形ACFD面積的最大值為25.此時l的方程為y=14x.、10.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為22,且右焦點F到直線l：x=-a2c的距離為3.(1)求橢圓的標準方程;(2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程.解:(1)由題意,得ca=22且c+a2c=3,解得a=2,c=1,則b=1,所以橢圓的標準方程為x22+y2=1.(2)當ABx軸時,AB=2,

10、又CP=3,不合題意.當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),將AB的方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,則x1,2=2k22(1+k2)1+2k2,C的坐標為2k21+2k2,-k1+2k2,且AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x2-x1)2=22(1+k2)1+2k2.若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與直線l：x=-a2c平行,不合題意.從而k0,故直線PC的方程為y+k1+2k2=-1kx-2k21+2k2,則P點的坐標為-2,5k2+2k(1+2k2),從而PC=2(3

11、k2+1)1+k2|k|(1+2k2).因為PC=2AB,所以2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2)=42(1+k2)1+2k2,解得k=1.此時直線AB方程為y=x-1或y=-x+1.能力提升組11.(2015四川,理10)設直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r0)相切于點M,且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:D解析:如圖所示,設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則y12=4x1,y22=4x2,兩式相減,得(y1+y2)(y1-y2)

12、=4(x1-x2).當l的斜率不存在,即x1=x2時,符合條件的直線l必有兩條.當l的斜率k存在,即x1x2時,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2y0.由CMAB,得kCM=y0x0-5=-y02,即x0=3.因為點M在拋物線內部,所以y024x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即0y0212.因為點M在圓上,所以(x0-5)2+y02=r2,即r2=y02+4.所以4r216,即2r0,b0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p0)交于點O,A,B.若OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為.答案:32解析:雙曲線的漸近線為y=bax.由y=bax,x2=2py,得

13、A2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得B-2bpa,2b2pa2.F0,p2為OAB的垂心,kAFkOB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.13.已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率e為22,且過點(2,2).(1)求橢圓的標準方程;(2)四邊形ABCD的四個頂點都在橢圓上,且對角線AC,BD過原點O,若kACkBD=-b2a2.求證:四邊形ABCD的面積為定值.答案:(1)解:由題意e=ca=22,4a2+2b2=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,故橢圓的標準方程為x28+y2

14、4=1.(2)證明:易知直線AB的斜率存在.設直線AB的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+m,x2+2y2=8,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)0,由根與系數(shù)的關系得x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.kACkBD=-b2a2=-12,y1y2x1x2=-12,y1y2=-12x1x2=-122m2-81+2k2=-m2-41+2k2.又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k22m2-81+2k2+km

15、-4km1+2k2+m2=m2-8k21+2k2,-m2-41+2k2=m2-8k21+2k2,-(m2-4)=m2-8k2,4k2+2=m2.設原點到直線AB的距離d=|m|1+122,則SAOB=12|AB|d=121+k2|x2-x1|m|1+k2=|m|2(x1+x2)2-4x1x2=|m|2-4km1+2k22-42m2-81+2k2=|m|28m2(1+2k2)2=22,S四邊形ABCD=4SAOB=82,即四邊形ABCD的面積為定值.14.(2015課標全國,理20)在直角坐標系xOy中,曲線C:y=x24與直線l:y=kx+a(a0)交于M,N兩點.(1)當k=0時,分別求C在

16、點M和N處的切線方程;(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有OPM=OPN?說明理由.解:(1)由題設可得M(2a,a),N(-2a,a),或M(-2a,a),N(2a,a).又y=x2,故y=x24在x=2a處的導數(shù)值為a,C在點(2a,a)處的切線方程為y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2a處的導數(shù)值為-a,C在點(-2a,a)處的切線方程為y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.故所求切線方程為ax-y-a=0和ax+y+a=0.(2)存在符合題意的點,證明如下:設P(0,b)為符合題意的點,M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜

17、率分別為k1,k2.將y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.從而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.當b=-a時,有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補,故OPM=OPN,所以點P(0,-a)符合題意.15.已知ABP的三個頂點都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,PF=3FM.(1)若|PF|=3,求點M的坐標;(2)求ABP面積的最大值.解:(1)由題意知焦點F(0,1),準線方程為y=-1.設P(x0,y0).由拋物線定義知|PF|=y0+1,得到y(tǒng)0=2,所以P(22,2)或P(-22,2).由PF=3FM,分別得M-223,23或M223,23.(2)設直線AB的方程為y=kx+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由y=kx+m,x2=4y,得x2-4kx-4m=0.于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB