【全程復(fù)習(xí)方略】福建專用版高考數(shù)學(xué)分類題庫考點28空間的角2012年理人教版

1、考點28空間的角、填空題1. （2012 大綱版全國卷高考文科 T16）已知正方體 ABCD ABC1D1中，E、F分別為BB1,CG的中點，那么異面直線 AE與D1F所成角的余弦值為 .【解題指南】 采用兩種辦法，一是，常規(guī)求解，二是向量法.常規(guī)求解：連結(jié) DF , EF ,利用平行關(guān)系將異面直線AE與D1F所成角轉(zhuǎn)化為求直線 DF與D1F所成角；向量法：以DA,DC, DD1所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系【解析】方法一：連結(jié)DF , EF ,則ADFE為平行四邊形，則 AE / DF ,異面直線AE與D1F所成角為ZDFD1 設(shè)正方體的棱長為1.5 5-1 q則 cos DFD

2、14 4=35,5 5M X22方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長為1,則11A(1,0,0), E(1,1-), D(0,0,1), F(0,1 -)221 一 1AE =(0,1,2), DiF =(0,1/_f -33 3COS ： AE,D1F-4 =-5 54二、解答題2. (2012 四川高考文科 T 19)如圖，在三棱錐 PABC中，/APB = 900, ZPAB =600, AB = BC =CA，點P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上.(I)求直線PC與平面ABC所成的角的大??；(n)求二面角BAPC的大小.【解析】解法(I)連接OC.由已知，/OCP為直線PC與

3、平面ABC所成的角設(shè)AB的中點為 D,連接PR CD.因為AB=BC=CA斤以CDL AB.因為/APB =90ZPAB =60 ：所以APAD為等邊三角形，不妨設(shè) PA=2,則 OD=1 OP= 3, AB=4.所以 CD=2<3, OC=vOD2 +CD2 =d1 +12 = J13.在 RtOCP 中，tan ZOCP = 0P=43=39 .OC 1313(n)過D作DE_LAP于E,連接CE. 由已知可得，CDJ_平面PAB.據(jù)三垂線定理可知，CEL pa所以， /CED為二面角B-AP-C的平面角.一 ,CD 2 3由(I)知，DE川3 ,在 RtC,DE中，tan/CED=

4、-=2DE 3故二面角B-AP -C的大小為arctan2.解法二：(I)設(shè) AB的中點為D ,連接CD.因為O在AB上，且O為P在平面ABC上的射影，所以 PO，平面 ABC .所以 PO _L AB ,且 PO 1 CD.由 AB = BC = CA ,知 CD _L AB.設(shè) E 為 AC 中點，則 EO / /CD ,從而 OE _L PO,OE _L AB.-2 -如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB、OE、OP所在直線分別為 x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz.不妨設(shè)PA=241JAB =4,CD =2而,OA = OD =1, PO = Q.所以 O(0,0,0), A(-1,0,

5、0), C(1,2s/3,0), P(0,0,T3).所以CP=(1,2J3, J3),而OP=(0,0, J3)為平面ABC的一個法向量.設(shè)&為直線PC與平面ABC所成的角,0 0 3；16 .3故直線PC與平面ABC所成的角為arcsin 4(II )由(I )有，AP = (1,0,囪)，AC = (2,2 73,0).設(shè)平面APC的一個法向量為nMlxnyrzJ,J 14皿n _ AP,nAP =0,則 T=M1=n _ AC.nAC u0.(Xi，%,Zi) (1,0, 3) =0, (xC (2,2 ,3,0) =0.從而 x1'3Z_=0，2xi 2- 3y1 =

6、0.取 Xi =向，則 y1 =1,Z1 =1,所以 n = (-73,1,1).設(shè)二面角B -AP -C的平面角為P ,易知P為銳角.工十x3 人注心日、，T 皿而平面ABP的一個法向量為 m = (0,1,0),則cos1、3一 1 1故二面角B - AP -C的大小為arccos-53. (2012 四川高考理科 T 19)如圖，在三棱錐 PABC中，/APB = 90, /PAB =600, AB = BC =CA ,平面 PAB _L平面 ABC .（I）求直線PC與平面ABC所成角的大小;（n ）求二面角 B-AP-C的大小.【解析】方法一（I）設(shè) AB的中點為D,AD的中點為O,

7、連結(jié)PO CO CD.由已知，APAD為等邊三角形.所以PO _L AD.又平面PAB _L平面ABC ,平面PAB。平面ABC=AD,所以PO _L平面ABC .所以/OCP為直線PC與平面ABC所成的角 不妨設(shè) AB=4,則 PD=2,CD =2>/3,OD =1,PO = 73.在 RtAOCD 中，CO = JOD2 +CD2 = Jl+12 =而.所以在 RtPOC中，tanNOCP=_PO=Wl=乂 故直線PC與平面ABC所成的角白大小為 arctan .13(II )過 D 作 DE _L AP 于 E ,連接 CE .由已知可得，CD_L平面PAB.根據(jù)三垂線定理可知，C

8、E PA所以，NCED為二面角B AP C的平面角.由（.I）易知，DE=J§,，CD 一在 RtCDE中，tan /CED =2DE故二面角B AP C的大小為arctan 2方法二（I）設(shè)AB的中點為D ,作PO _LA3于點O ,連結(jié)CD.因為平面PAB 1平面ABC ,平面PAB平面 ABC =AB,所以PO _L平面ABC . CO .1313所以PO _CD.由 AB = BC =CA，知 CD _L AB.設(shè)E為AC中點，則EO/CD ,從而 OE _ PO,OE _ AB.xyz如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB、OE、OP所在直線分別為 x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 O不

9、妨設(shè) PA=2,由已知可得 AB=4, CD =2j3,OA = OD=1,PO =，3.所以 O(0,0,0), A( -1,0,0), C(1,2 .3,0), P(0,0, , 3).所以CP =(_i, _273,Q)，而OP =(0,0,73)為平面abc的一個法向量設(shè)a為直線PC與平面ABC所成的角,則 sin 二：3 故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arcsin.4(II )由(I)有,AP = (1,0, 73), AC =(2,2 73,0).4設(shè)平面APC的一個法向量為口 =(為，火，乙)，J 一 4 n n - AP,n AP =0,(x1, y1,z1) (1,0

10、, 3) 0,n - AC.n AC =0.(x1，/,乙)(2,2 x 3,0) = 0.lx3z =0,從而 _,2x1 2.3y1 =0.取 x1 =6，則 y1 =1，4=1,所以 n = (6,1,1).設(shè)二面角B -AP -C的平面角為P ,易知P為銳角.T而面ABP的一個法向量為 m =(0,1,0),則故二面角B - AP -C的大小為arccos-54. (2012 大綱版全國卷高考理科 T18)如圖，在四棱錐 P _ ABCD中，底面ABCD為菱形，PA,底面 ABCD , AC =2國 PA = 2,E是PC上的一點，PE =2EC.(I)證明PC，平面BED ;(H)設(shè)

11、二面角APB-C為90；求PD與平面PBC所成角的大小【解析】（I） ; ABCD為菱形，二AC _L BD丁 PA _L底面 ABCD , a PA .L BD由三垂線定理得 PC _L BD ,設(shè) AC BD =O ,連結(jié) EO , AC =2.2, PA =2,.PC = 2 3 ,又 PE =2EC,2 23CE COCE二 ，二,3AC PC二 ACEO s &CAP ,CEO =/PAC =90PC - EO.又丫 BD EO =O , :. PC _L 平面 BED .(n)解法1：在平面PAB內(nèi)過點A作AG _L PB , G為垂足,因為二面角A PB C為90 ,所以

12、平面PAB 1平面PBC .又平面PAB n平面PBC =PB.,故AG _L平面PBC , AG _ BCBC與平面PAB的兩條交線 PA , AG都垂直，所以 BC _L平面PAB . 則有BC _ AB,所以底面ABCD是正方形.AD =2 , PD =./PAsin- AD2 -2 2,設(shè)D到平面PBC的距離為d .因為AD / BC ,且AD0平面PBC , BC u平面PBC , 故AD /平面PBC .A,D兩點到平面PBC的距離相等，即d=AG = J2.d 1設(shè)PD與平面PBC所成角為日，則sin 9 =二=.PD 2即PD與平面PBC所成角為2.解法2 ：過C點作CK _L AB ,垂足為K ,過K點作KH _L PB ,垂足為H ,連結(jié)CH丁 PA _L底面 ABCD , CK u 平面 ABCD , .PA _ CK , AB PA = A