向量的概念及運算知識點與例題講解

1、向量的概念及運算知識點與例題講解【基礎(chǔ)知識回顧】1 .向量的概念 向量既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：TT - 一-*TAB幾何表示法AB , a ;坐標表示法a =xi yj=（x, y）。向量的大小即向量的模（長度），記作| AB |即向量的大小，記作丨a |。向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小 零向量-_M長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行零向量 a = 0| a 1= 0。由于0的方向!是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有非零向量"這個條件。

2、（注意與0的區(qū)別） 單位向量模為1個單位長度的向量，向量 a0為單位向量二| a0 | = 1。 平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量， 稱為平行向量，記作a / b。由于向量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量 中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的 相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a二

3、b。大小相等，方向相同（xi, yj =（X2, y2）=Xi = X2yi “22. 向量的運算（i）向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設(shè) AB =a,BC =b，貝U a+b = AB BC = AC。規(guī)定:（1）0 a 二a 0 二a ；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律； 向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角 線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示 這些向量的和；差向量

4、是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：AB BCPQ QAR，但這時必須“首尾相連”。(2) 向量的減法 相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量記作一a,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a )=(-a)+a =0 ；(iii)若a、b是互為相反向量，則 a=-b,b = -a,a + b= 0。 向量減法向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a -b二a (-b)求兩個向量差的運算，叫做向量的減法

5、作圖法：a -b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量(a、b有共同起點)。(3) 實數(shù)與向量的積 實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作 入a，它的長度與方向規(guī)定如下：(I)a = a ；(n)當0時，入a的方向與a的方向相同；當.c 0時，入a的方向與a的方向相反；當，=0時，a = 0, 方向是任意的。 數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律3. 兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線二 有且只有一個實數(shù)，使得b = .a。4. 平面向量的基本定理如果q ,e2是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 1, 2使:a - e - 2e2其中不共線的向量 e

6、,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底5. 平面向量的坐標表示4 4(1)平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i , j作為基底一一_4444一由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=xi yj，由于a與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量a的坐標，記作a =(x,y)，其中x叫作a在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。規(guī)定：(1) 相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；(2) 向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)系。2)平面向量的坐標運算：若 ar*,% ,b h

7、X2,y2，則 a-b 二花-乂2,%-丫2 ； 若 A, B X2, y2，則 AB 二 X2 -xy2 - y1 ； 若 a=(x,y)，貝V a=( x, y)；彳1呻呻右 a=Xi,yi ,b hX2,y2 ，貝V a/b：= x2 x?% =0。【思考提示】數(shù)學教材是學習數(shù)學基礎(chǔ)知識、形成基本技能的“藍本”，能力是在知識傳授和學習過程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的。新課程試卷中平面向量的有些問題與課本的例習題相同或相似，雖然只是個別小題，但它對學習具有指導(dǎo)意義，教學中重視教材的使用應(yīng)有不可估量的作用。因此，學習階段要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個局部知識按照一定的觀點和方法組織成整體，形成知識體系。學

8、習本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理 向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離等。由于向量是一 新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進行綜合考查，是知識的交匯點（1）向量的加法與減法是互逆運算；（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件；（3） 向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況;（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)系 【課前小測】1設(shè)平面向量 a = 3

9、,5 ,b = -2,1，則 a -2b =（）A . (7,3 ) B. ( T,3) C. 10 D . -102已知向量a =X,1 , b h4,x且a/b則；的值為()A. 0B. 23已知點A ( 1, 0)、C. 4 或4D. 2 或24T 呻B (1, 3),向量a=(2k1,2 )，若AB丄a,則實數(shù)k的值為(A. 2 B. 1C. 1 D. 24已知向量a=I3,4，向量a與b方向相反，且 a, b -1，則實數(shù)二5.已知直角梯形 上&工的頂點坐標分別為2.：；,則實數(shù)的值是.【典例解析】 題型1平面向量的概念例1. （ 1 ）給出下列命題：II4* j 若 |a|

10、=|b|,則 a = b ；T T 若A, B, C, D是不共線的四點，貝U AB二DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； 若 a=b, b = c，貝U a = c；III a = b的充要條件是|a|=| b|且a/b ； 若a/b , b/c，貝U aC ；其中正確的序號是 。F-FFT- 9-（2）設(shè)a0為單位向量，（1）若a為平面內(nèi)的某個向量，貝U a=|a| a。； （2）若a與a 0平行，則a=|a| a。；（3）若a與a°平行且| a |=1,則a = a0。上述命題中，假命題個數(shù)是（）解析：（1 不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同;正確； A

11、DC , |"AB|=|DC| 且 AB/DC ,又A, B, C, D是不共線的四點,四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形,則,Ab/Dc 且| AB|=|DC|,T T因此，AB = DC。II 正確； a=b, a, b的長度相等且方向相同；j 4 j -I又b = c , b , c的長度相等且方向相同， a, c的長度相等且方向相同，故a=c。IIIIII4 i44444 不正確；當a/b且方向相反時，即使|a |=|b |,也不能得到a = b，故|a|=|b 且 a/b不是a=b的充要條 件，而是必要不充分條件；II 不正確；考慮b =0這種

12、特殊情況；綜上所述，正確命題的序號是。點評：本例主要復(fù)習向量的基本概念。向量的基本概念較多，因而容易遺忘。為此，復(fù)習時一方面要構(gòu)建良 好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想。（2）向量是既有大小又有方向的量，a與| a |ao模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若a與ao平行，則a與ao方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時 a =- | a |ao，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。點評：向量的概念較多，且容易混淆，故在學習中要分清，理解各概念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向 量、同向向量等概念。題型2:平面向量的運算法則例2如圖所示，在平行

13、四邊形 ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（C ）A. AB =DC B. AD AB =AC C. AB - AD = BD D. AD CB =0變式1如圖所示，D是厶ABC的邊AB上的中點，則向量等于（A） 1 B. - BC BAC. BCBAD22 1 A. - BC BA 21 BC BA22下列各命題中，真命題的個數(shù)為（D ）若 |a|=|b|,則 a=b 或 a=-b；若AB =DC，貝U A、B、C、D是一個平行四邊形的四個頂點; 若 a=b,b=c，貝U a=c; 若 a/ b,b / c,則 a/ c.A.4B.3C.2D.13在四邊形ABCD中，AB=a+2b, BC =-

14、4a-b, CD =-5a-3b，其中a, b不共線，則四邊形 ABCD為(A)A.梯形B.平行四邊形C.菱形D.矩形 4在 ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點，G為BE上一點，且 GB=2GE，設(shè)AB =a，AC =b，試用a、 b 表示 AD , AG ，5設(shè)P是厶ABC所在平面內(nèi)的一點，BC，BA=2BP，貝U ( B)A. PA PB =0 B. PC PA =0C. PB PC =0D. PA PB PC =06已知向量 a=(1,J3) , b=(2,0)，則|a+b|=【答案】2 【解析】由b =(-1, J3),.F_32.。已知平面向量 a=(x,1) , b=( x

15、,x2),則向量a + b ()A平行于X軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于y軸D.平行于第二、四象限的角平分線答案 C解析( 0, 1 x2，由x2=0及向量的性質(zhì)可知,C正確.題型3：平面向量的坐標及運算例 5.已知 ABC 中，A(2, 1), B(3,2) , C( 3,1),BC 邊上的高為 AD，求 AD。解析：設(shè)D(x,y)，則 AD =(x _2, y + 1), BD = (x_3,y _2 ),記=(_b, -3 )/ AD _BC,BDZx-"y"。得 3(x3)+6(y 2)=0 所以 AD = -1,2。例6已知點A(4,0),B(44)

16、,C(2,6),試用向量方法求直線 AC和OB ( O為坐標原點)交 解析：設(shè) P(x, y)，則 OP 二(x, y), AP = (x 一4, y)因為P是AC與OB的交點，所以P在直線AC上，也在直線 OB上。 ,T T T ITT即得 OP/OB, AP/AC，由點 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC = ( 一2,6), OB = (4, 4)。"6(x _4) +2y =0得方程組4x_4y =0，解之得X 一 3。ly =3故直線AC與OB的交點P的坐標為(3,3)。題型4:平面向量的性質(zhì)例7平面內(nèi)給定三個向量a h3,2 ,b - -1,2 ,Ch4,1

17、，回答下列問題:(1)(2)求滿足a =mb nc的實數(shù)m,n ；若a kc / 2b -a，求實數(shù)k；(3)若 d 滿足(d c )/ (a' +b )，且 d cc = v'5，求 d。解析:(1 )由題意得(3,2 )=m(1,2)+ n(4,1)，所以丿，得5m9。8 n =9(2)=3 4k,2 k ,2b - a 二-5,2 ,2 3 4k 1-5 2 k =0,. k = -16 ；13(3) d -c x -4,y -1 ,a b = 2,4由題意得4(x-4 )-2(y-1 )= 0 曰 ,2*2 ，得*Jx _4 f +(y _1 f =5r_x = 3 或

18、 y = t例 &已知 a =(1,0), b =(2,1).(1) 求 | a 3b | ；(2) 當k為何實數(shù)時，k a - b與a 3b平行，平行時它們是同向還是反向?解析：(1)因為 a =(1,0),b =(2,1).所以 a 3b 二(7,3)P的坐標。則 |a 3建|» 72 358(2) k a - b =(k -2,-1), a 3b =(7,3)_ 一 _ 一i因為k a - b與a 3b平行，所以3(k - 2) 7 = 0即得k二3_-7此時 k a -b =(k -2, -1) = (,-1), a 3b =(7,3)，貝U a 3b =-3(ka

19、-b)，即此時向量 a 3b 與3ka -b方向相反。點評：上面兩個例子重點解析了平面向量的性質(zhì)在坐標運算中的體現(xiàn)，重點掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計算方法。題型5:共線向量定理及平面向量基本定理那么A. k =1且c與d同向C. k = -1且c與d同向答案 D解析本題主要考查向量的共線(平行)例 9. (2009北京卷文)已知向量 a =(1,0),b =(0,1), c =ka b(k R),d=a-b，如果 c/d()B. k = 1且c與d反向D. k = -1且c與d反向、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算考查 ah1,0 , bh0,1，若 k=1，貝U c=a b

20、h1,1 , d=ab=1,_1 ,顯然，a與b不平行，排除A、B.若 k = -1，則 c=-ab二 -1,1 , d=-a b二- -1,1 ,即c/d且c與d反向，排除C,故選D.點評：熟練運用向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算法則進行運算；兩個向量平行的坐標表示； 運用向量的坐標表示，使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機的結(jié)合。題型6:平面向量綜合問題例10. (2009上海卷文)已知 ABC的角A、B、C所對的邊分別是 a、b、c,設(shè)向量m = (a,b),Tn =(si n B,si nA), p=(b-2,a-2).(1) 若mn,求證： ABC為等腰三角形；TH(2)

21、若m丄p，邊長c = 2，角C = ，求 ABC的面積.3uv v證明：(1) Qm n,. a si nA=bs in B,ab即ab ，其中r是三角形ABC外接圓半徑，a=b= ABC為等腰三角形2R2Ruv v解(2)由題意可知 m p = 0,即a(b -2) b(a -2) = 0a b =ab由余弦定理可知，4 二 a2 b2 -ab = (a b)2 -3ab即(ab)2 _3ab 一4 =0定共線的三點是ab = 4(舍去 ab = -1)1S abs inC =21 / .4 sin233【隨堂鞏固】1 （2009湖南卷）對于非0向量時a,b, "a/b ”的正確是()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2 （ 05年山東卷）已知向量 S，且EA.A、 B、 D B. A、 B、C. B、C、D D. A、C、D且PG則匚z3（ 04年浙江卷文）已知向量4 （ 05年廣東卷）已知向量因 ，