題組25隨機變量的分布列、期望與方差、正態(tài)分布

1、高考圈題（新課標全國卷-數(shù)學理）題組25隨機變量的分布列、期望與方差、正態(tài)分布一、考法解法命題特點分析結合事件的互斥性、對立性、獨立性以及古典概型，主要以解答題的方式考查離散型隨機變量分布列、期望和方差的求解及其實際應用解題方法薈萃本部分復習要從整體上，知識的相關關系上進行離散型隨機變量問題的核心是概率計算，而概率計算又以事件的獨立性、互斥性、對立性為核心，在解題中要充分分析事件之間的關系.1在解含有相互獨立事件的概率題時，首先把所求的隨機事件分拆成若干個互斥事件的和，其次將分拆后的每個事件分拆為若干個相互獨立事件的乘積，這兩個事情做好了，問題的思路就清晰了，接下來就是按照相關的概率值進行計算

2、的問題了，如果某些相互獨立事件符合獨立重復試驗概型，就把這部分歸結為用獨立重復試驗概型，用獨立重復試驗概型的概率計算公式解答2相當一類概率應用題都是由擲硬幣、擲骰子、摸球等概率模型賦予實際背景后得出來的，我們在解題時就要把實際問題再還原為我們常見的一些概率模型，這就要根據(jù)問題的具體情況去分析，對照常見的概率模型，把不影響問題本質(zhì)的因素去除，抓住問題的本質(zhì)3求解一般的隨機變量的期望和方差的基本方法是：先根據(jù)隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學期望和方差的公式計算二、真題剖析【題干】(2015新課標全國II卷)某公司為了解

3、用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）；（）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等

4、級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立. 根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求C的概率【解析】（I）兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下： A地區(qū) B地區(qū) 3 6 4 2 6 8 8 6 4 3 9 2 8 6 5 1 7 5 5 2 4 5 6 7 8 96 81 3 6 42 4 5 53 3 4 6 93 2 11 3通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散。（II）記表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等

5、級為滿意或非常滿意”； 表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”； 表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”； 表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”；則和獨立，與獨立，與互斥，P(C)=P()=P()+P()=P()P()+P()P()由所給數(shù)據(jù)得，發(fā)生的頻率分別為故P()=, P()=,P()=,P()=,P(C)=。（點評）本題第一問考查莖葉圖的使用方法及性質(zhì)，第二問考查互斥事件、相互獨立事件概率的求法，題目雖長，但難度不大，只要細心和耐心，得分很容易?！绢}干】(2014新課標全國卷) 從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結果得如下頻率分布

6、直方圖：()求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（）由頻率分布直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.(i)利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值為區(qū)間（187.8,212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結果，求.附：12.2.若，則=0.6826，=0.9544.【答案】200,150 0.6828 68.26【解析】 (命題意圖) 考查頻率分布直方圖,樣本估計總體,均值方差的計算,正態(tài)分布.(解題點撥) () 抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平

7、均數(shù)和樣本方差分別為 （）（）由()知，從而 （）由（）知，一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值為于區(qū)間（187.8,212.2）的概率為0.6826依題意知，所以 (點評)本題全面地考查了統(tǒng)計學在生產(chǎn)實踐中的應用，根據(jù)抽樣統(tǒng)計，進行樣本數(shù)據(jù)分析，進而通過樣本估計總體，并對總體進行預報，充分的反映了統(tǒng)計的思想，本題設計很巧妙，與正態(tài)分布、獨立重復試驗有機結合，是一道非常好的題?！绢}干】(2014全國大綱卷) 設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需要使用設備相互獨立。()求同一工作日至少3人需使用設備的概率；()X表示同一工作日需使用設備的人數(shù)，求X得

8、數(shù)學期望?！敬鸢浮?.31【解析】 (命題意圖) 考查相互獨立事件、互斥事件、對立事件概率的計算,離散型隨機變量及分布列(解題點撥) 記Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設備，i=0，1，2 .B表示事件：甲需使用設備，C表示事件：丁需使用設備，D表示事件：同一工作日至少3人需使用設備， （II）X的可能值得為0，1，2，3，4,其分布列為 數(shù)學期望為： (點評)本題考查相互獨立事件、互斥事件、對立事件的概念及相應概率的計算；以考生熟悉生活事件為背景，既全面考查考生對概率知識的理解和應用，又引導考生關心身邊的數(shù)學問題，形成自覺應用數(shù)學知識指導生活實踐的能力，增強實踐意識?！绢}干】(

9、2013新課標全國卷) 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以x（單位：t，）表示市場需求量.T（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.（）將T表示為x的函數(shù)（）根據(jù)直方圖估計利潤T，不少于57000元的概率；（）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若x）則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的利潤T的數(shù)學期

10、望.100 110 120 130 140 150 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 元 頻率/組距 【答案】見解析【解析】 (命題意圖) 本題涉及頻率與概率定義，均值分布列，數(shù)學期望及方差、分段函數(shù)等知識點.(解題點撥) （）當，當所以（）由上問知，利潤T不少于57000元，當且僅當由直方圖知需求量的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不小于57000元的概率的估計值為0.7（）依題意可知T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以 (點評)主要有4步演算：求函數(shù)的解析式；利潤T不少于57000元的概率；求分布列；求數(shù)學

11、期望.涉及化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等基本數(shù)學思想，能考查應用意識、抽象概括能力、運算能力.本題是概率統(tǒng)計應用題，體現(xiàn)新課改注重過程、實踐與能力的教學理念. 三、高考圈題【題干】口袋中裝有除顏色，編號不同外，其余完全相同的2個紅球，4個黑球現(xiàn)從中同時取出3個球（）求恰有一個黑球的概率；（）記取出紅球的個數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望【圈題理由】本題考查排列組合古典概型,離散型隨機變量機器分布列,超幾何分布.的可能取值為，再分別求出，即可.【答案】（） （）的分布列為: 的數(shù)學期望【解析】（）記“恰有一個黑球”為事件A，則 （）的可能取值為，則, 的分布列為 的數(shù)學期望 【題干】市二中隨機抽取部

12、分高一學生調(diào)查其上學路上所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中上學路上所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，（）求直方圖中的值；（）如果上學路上所需時間不少于小時的學生可申請在學校住宿，若招生名，請估計新生中有多少名學生可以申請住宿；（）從學校的高一學生中任選名學生，這名學生中上學路上所需時間少于分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望（以直方圖中的頻率作為概率）【圈題理由】結合頻率分布直方圖考查離散型隨機變量及其分布列.（）由題意，可由直方圖中各個小矩形的面積和為1求出x值;（）再求出小矩形的面積即上學所需時間不少于1小時組人數(shù)在樣本中的頻率，再乘以樣本容量即可得到此

13、組的人數(shù)即可;（）求出隨機變量X可取得值，利用古典概型概率公式求出隨機變量取各值時的概率，列出分布列，利用隨機變量的期望公式求出期望【答案】（）；（）有名學生可以申請住宿；（）【解析】（）由直方圖可得：所以 （）新生上學所需時間不少于小時的頻率為：， 因為，所以1200名新生中有名學生可以申請住宿 （）的可能取值為由直方圖可知，每位學生上學所需時間少于分鐘的概率為，, 所以的分布列為：01234（或）所以的數(shù)學期望為 【題干】為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取出14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素的含量（單位：毫克）。下表

14、是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號12345x169178166175180y7580777081（I）當產(chǎn)品中微量元素滿足時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（II）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學期望）?！救︻}理由】結合表格考查離散型隨機變量及其分布列在求離散隨機變量的期望時，一般先確定隨機變量的所有取值，再求各個取值的概率，得分布列，用公式求期望即可.【答案】（I）14； （II）【解析】（I）因為乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為，樣品中優(yōu)等品的頻率為 ，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為；（II）由題意知，的分布列為012其均

15、值為.四、分層訓練（10題）基礎過關（第15題）【題干】1已知某一隨機變量的概率分布列如下，且E()6.3，則a的值為().4a9P0.50.1bA5 B6 C7 D8【答案】 C【解析】由題意得0.50.1b1，得b0.4，由4×0.5a×0.19×b6.3，求得a的值為7.【題干】2設隨機變量服從正態(tài)分布N(，2)，函數(shù)f(x)x24x沒有零點的概率是，則()A1 B4 C2 D不能確定【答案】 B【解析】根據(jù)題意函數(shù)f(x)x24x沒有零點時，1640，即4，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當函數(shù)f(x)x24x沒有零點的概率是0.5時，4.【題干】3設隨機變量服

16、從正態(tài)分布，若，則實數(shù)等于( ) A B C5 D3【答案】 A【解析】由正態(tài)曲線的對稱性知, .【題干】4在15個村莊中有7個村莊交通不便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用表示這10個村莊中交通不便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是()AP(2) BP(2)CP(4) DP(4)【答案】 C【解析】由超幾何分布的概率計算公式得，故選C.【題干】5從1,2,3,4,5中選3個數(shù)，用表示這3個數(shù)中最大的一個，則E()()A3 B4.5C5 D6【答案】 B【解析】由題意知，只能取3,4,5.則P(3)0.1，P(4)0.3，P(5)0.6.故E()4.5.智能拓展（第610題）【題干】6甲乙兩人分別獨立參加某高校自主招生面試，若甲、乙能通過面試的概率都是，則面試結束后通過的人數(shù)X的數(shù)學期望是()A. B. C1 D. 【答案】 A【解析】 由二項分布期望計算公式可得【題干】7隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P(<X<)的值為()A. B.C. D.【答案】 D【解析】解析：由題意得，1，解得a.于是P(<X<)P(X1)P(X2)a，故選D.【題干】8盒中裝有7個零件，其中2個是使用過的，另外5個未經(jīng)使用從盒中隨機抽取2個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為