初中數(shù)學(xué)_巧添輔助線__解證幾何題

1、巧添輔助線 解證幾何題引出問題在幾何證明或計(jì)算問題中，經(jīng)常需要添加必要的輔助線，它的目的可以歸納為以下三點(diǎn): 一是通過添加輔助線，使圖形的性質(zhì)由隱蔽得以顯現(xiàn)，從而利用有關(guān)性質(zhì)去解題；二是通過添加輔助線， 使分散的條件得以集中，從而利用它們的相互關(guān)系解題；三是把新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的舊問題加以解 決。值得注意的是輔助線的添加目的與已知條件和所求結(jié)論有關(guān)。下面我們分別舉例加以說明。例題解析一、倍角問題例 1:如圖 1,在 ABC中，AB=AC,BDLAC于 D。求證：/ DBC=1 Z BAC.2分析：/ DBC / BAC所在的兩個三角形有公共角/C,可利用三角形內(nèi)角和來溝通/ DBC / B

2、AC/ C的關(guān)系。證法一：二.在 ABC中，AB=AC，/ABC=Z C=- (180 - /BA。=90 -1/BAG 22 . BD± AC于 D . BDC=90/ DBC=90 - / C=90 -(90/ BAC尸-/ BAC22即 / DBC= 1 / BAC2分析二：/ DBG / BAC分別在直角三角形和等腰三角形中，由所證的結(jié)論“/DBC= ?/BAC中含有角的倍、半關(guān)系，因此，可以做/A的平分線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，把 ？/ A放在直角三角形中求解；也可以把/DBCgBD翻折構(gòu)造2/ DBCt解。、一 一 一 . 一 . °證法二：如圖 2,作

3、A已BC于E,貝U/ EAC吆C=90 AB=AC / EAG=1 / BAC2 BD£ AC于 D_ ° / DBC廿 C=90 ./ EAC=/ DBC（同角的余角相等）rr ， 一 1， 一即 / DBCa / BAC2證法三：如圖 3,在AD上取一點(diǎn) E,使DE=CD連接BE BDL AC .BD是線段CE的垂直平分線BC=BE / BEC4 C_ ° ， _/ EBC=2/ DBC=180 -2 Z C AB=AC / ABC4 C_ ° ， _BAC=180 -2/C / EBC4 BAC/ DBC= 1 / BAC2說明：例1也可以取BC中

4、點(diǎn)為E,連接DE,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)求解。同學(xué)們不妨試一試。例2、如圖4,在 ABC中，/ A=2/ B求證：BC2=AC+AC?AB分析：由bC=aC+AC?AB= AC (AC+AB,啟發(fā)我們構(gòu)建兩個相似的三角形，且含有邊 BG AG AC+AB又由已知/ A=2/ B知, 構(gòu)建以AB為腰的等腰三角形。證明：延長 CA至ij D,使AD=AB貝U/ D=Z DBA / BAC是 ABD的一個外角 / BAC4 DBA+Z D=2/ D . / BAC=2Z ABC/ D=Z ABCACBCBCCDBC2=AC?CD AD=ABA.,.bC= AC (A

5、C+AB =AC+AC?AB中點(diǎn)問題例3.已知：如圖， ABC中，AB=AC在AB上取一點(diǎn) D,在AC的延長線上取一點(diǎn) E,連接DE交BC于點(diǎn)F,若F是DE的中點(diǎn)。求證：BD=CE分析：由于BD CE的形成與D、E兩點(diǎn)有關(guān)，但它們所在的三角形之間因?yàn)椴皇峭惾切?，所以關(guān)系不明顯，由于條件 F是DE的中點(diǎn)，如何利用這個中點(diǎn)條件，把不同類三角形轉(zhuǎn)化為同類三角形式問題的關(guān)鍵。由已知AB=AC聯(lián)系至IJ當(dāng)過D點(diǎn)或E點(diǎn)作平行線，就可以形成新的圖形關(guān)系一一構(gòu)成等腰三角形，也就是相當(dāng)于先把BD或CE移動一下位置，從而使問題得解。證明：證法一：過點(diǎn) D作DGI AC,交BC于點(diǎn)G （如上圖） / DGBh

6、ACB, / DGFh FCE AB=AC/ B=Z ACB/ B=Z DGBBD=DGF 是 DE的中點(diǎn)DF=EF在 DFG 和 DEFC中，DFG= EFCDGF= FCEDF=EF.DF® EFCHFDG=CE BD=CE證法二：如圖，在 AC上取一點(diǎn)H,使CH=CE連接DH.F是DE的中點(diǎn).CF是 EDH的中位線DH/ BC / ADHW B, / AHDW BCA AB=AC/ B=Z BCA ./ ADHW AHDAD=AHAB-AD=AC-AH . BD=HCBD=CE說明：本題信息特征是“線段中點(diǎn)”。也可以過E作EM/ BC,交AB延長線于點(diǎn)G,仿照證法二求解。例4.

7、如圖，已知 AB/ CQ AE平分/ BAD且E是BC的中點(diǎn)求證：AD=AB+CD證法一：延長AE交DC延長線于F AB/ CD .1 / BAE=Z F, / B=Z ECFE是 BC的中點(diǎn)BE=CE在 ABEA CEF 中BAE= FB= ECFBE=CE .ABM CEFAB=CF. AE平分/ ABD .Z BAE4 DAE / DAEh FAD=DF DF=DC+CFCF=ABAD=AB+DC證法二：取AD中點(diǎn)F,連接EF . AB/ Cq E是BC的中點(diǎn)C二.EF是梯形ABCD勺中位線 .EF/ AB , EF= 1 (AB+CD2/ BAE=/ AEF AE平分/ BAD/ BA

8、E=/ FAE / AEF=/ FAEAF=EF AF=DF1EF=AF=FD= AD2 1 (AB+CD尸 -AD22AD=AB+CD三.角平分線問題例5.如圖（1）, OP是/ MON勺平分線，請你利用圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個全等三角形的方法，解答下列問題。（1） 如圖（2）,在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60° ,AD、CE分別是/ BAC / BCA的平分線， AR CE相交于點(diǎn)F,請你判斷并寫出EF與FD之間的數(shù)量關(guān)系。（2） 如圖（3）,在 ABC中，如果/ AC環(huán)是直角，而（1）中的其他條件不變，請問，你在（1） 中所得的結(jié)論

9、是否仍然成立若成立，請證明；若不成立，請說明理由。分析：本題屬于學(xué)習(xí)性題型。這類題型的特點(diǎn)是描述一種方法，要求學(xué)生按照指定的方法解題。指定 方法是角平分問題的“翻折法”得全等形。解：（1） EF=FD（2）答：（1）結(jié)論EF=FDm然成立理由：如圖（3）,在AC上截取AG=AE連接FG在 AEF和 AGF中，AE=AGEAF= FAGAF=AF . AEH AGFEF=GF, / EFA=/ GFA由/ B=60° , AD CE分別是/ BAMBCA的平分線可得/ FAG-+Z FCA=60/ EFA=/ GFAN DFC=60/ GFC=60在 CFG CFD 中GFC= DFC

10、CF=CFDCE= ACE. CF8 CFDFG=FD又因?yàn)镋F=GFEF=FD說明：學(xué)習(xí)性問題是新課程下的新型題，意在考查學(xué)生現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力和自學(xué)能力。拋開本題要求從角平分線的角度想，本題也可以利用角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊 的距離相等”達(dá)到求解的目的。解法二：（2）答（1）中的結(jié)論EF=FD仍然成立。理由：作 FGL AB于 G,FH，AC于 H,FM± BC于 M / EAD至 DAC FG=FH / ACE4 BCE FH=FG / B=60°/ DAC它 ACE=60 ./EFD=/AFC=180 - 60 ° =120°在四邊形B

11、EFD中/ BEF吆 BDF=180 / BDF+/ FDC=180/ FDC =/ BEF在 EFGA DFM中FDC = BEFEGF= DMF=90 0FG=FMEF© DFMEF=DF四、線段的和差問題例6如圖，在 ABC中，AB=AC點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，PDLAB于D,PELAC于E,CMLAB于M,試探究線段PD PE、CM勺數(shù)量關(guān)系，并說明理由。分析：判斷三條線斷的關(guān)系，一般是指兩較短線段的和與較長線段的大小關(guān)系，通過測量猜想PD+PE=CM.分析：在 CM±截取MQ=PD得口 PQMDg證明CQ=PE答：PD+PE=CM證法一：在 CM±截取 MQ

12、=PD連接PQ. CML AB于 M, PD± AB于 D / CMBh PDB=90CM/ DP四邊形PQM為平行四邊形PQ/ AB / CQPW CMB=90 / QPCh B AB=AC ./ B=Z ECP / QPCW ECP PE! AC于 EDNCM,/ PEC=90在 PQC PEC 中PQC= PECQPC= ECPPC=PC .PQC PEC QC=PE MQ=PD MQ+QC=PD+PEPD+PE=CM分析2:延長DF到N使DN=CM連接CN,得平行四邊形再證明PN=PE證法2:延長 DF至ij N,使DN=CM連接CN同證法一得平行四邊形 DNCM及 PNe

13、PECPN=PEPD+PE=CM分析3:本題中含有 AB=ACM三條垂線段 PR DE CM且qQlQ.,所以可以用面積法求解。S PAB SpACSaBC證法三：連接 AP, PD± AB于 D,PEL AC于 E,CMI± AB于 M/ PQC= PEC / QPCh ECP PC=PCS'iABPSACPS,；iABC1 AB?PD21 AC? PE21.AB?CM2SABC1“AB?CM2 AB=AC且 Q QSPAB SPAC1c 1cAB ?PD AB? PE22i AB 0PD PE CM說明：當(dāng)題目中含有兩條以上垂線段時，可以考慮面積法求解。五、垂線

14、段問題例7在平行四邊形 ABCM, P是對角線BD上一點(diǎn)，且PE AB PF BC垂足分別是 曰F求證：AB PFBC PE分析：將比例式 abBCPF轉(zhuǎn)化為等積式AB? PE BC?PF，聯(lián)想到11AB?PE BC?PFPE22即PAB與 PBC的面積相等，從而用面積法達(dá)到證明的目的。證明：連接 AC與BD交于點(diǎn)O,連接PA PC在平行四邊形ABCM, AO=COSAOBSBOC同理,SAOPSAOBSCOPSAOPSBOCSCOPSPABS PBCPE AB,PF BC,S PAB12Ab?pe,s?bc1BC?PF21c i AB?PE BC?PF22AB?PE BC?PFAB PFBC

15、 PE例8求證：三角形三條邊上的中線相交于一點(diǎn)。分析：這是一個文字?jǐn)⑹龅拿}。要證明文字命題，需要根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)題意、結(jié)合圖形寫出已知、求證。已知： ABC中，AF、BD CE是其中線。求證：AF、BD CG相交于一點(diǎn)。分析：要證三線交于一點(diǎn)，只要證明第三條線經(jīng)過另兩條線的交點(diǎn)即可。證明:設(shè)BD CE相交于點(diǎn)G,連接AG并延長交BC于點(diǎn)F.A ad DCSabdSCBD, SAGDCGDSAGBSCGB同I 理，SCGBSAGCSAGBSAGC作 BM/L AF于 M,CNI± AF于 N則 S：AGB，S'lAGC1 八八-AG ?BM21-AG ?CN 211-

16、AG ?BM AG?CN22BM CN在 BMFO ACNF 中BF MCF NBMFCNFBM CN. BM庭 CNFBF CF AF是BC邊上的中線又 AF時BC邊上的中線 AF與AF重合即AF經(jīng)過點(diǎn)D .AF、BD CE三線相交于點(diǎn) G因此三角形三邊上的中線相交于一點(diǎn)。六、梯形問題例9.以線段a=16,b=13為梯形的兩底，以 c=10為一腰，則另一腰長 d的取值范圍是分析：如圖，梯形 ABCD中，上底b=13,下底a=16,腰AD= c=10,過B作BE/ AD,得到平行四邊形 ABED 從而得 AD=BE=10,AB=DE=13所以 EC=DC-DE=16-13=3.所以另一腰d的取

17、值范圍是10-3vd<10+3答案：7vdv13例10.如圖，已知梯形 ABCM, AB/ DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD勺面積。分析：已知條件中給出兩條對角線的長，但對角線位置交錯，條件一時用不上。另外，求梯形面積只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的長，所以考慮平移腰。解：解法一：如圖，過 A作AF/ BD,交CD延長線于F"AB/ FC ,四形ABDF是平行四形FD ARAF BD 15FC AB DC not AE FC AEF AEC 90在直角三角形 AEF中，AE=12,AF=15EF V'AF2 AE2 V1152 1

18、22 9在直角三角形 AEC中，AE=12,AF=15EC VAC2 AE22 202 122 16AB DC FC EF EC 9 16 25c1 1S 梯形 ABCD 2(AB DC)?AE 2 25 12 150解法二：如圖，過 B作BF±DC于F ./ BFC=90 AE± DC于 EAED= AEC=90oAEC= BFC=90AE/BFAB/DCABFE是平行四形在直角三角形ABC中,AE 12,AC20EC Vac2 AE2 16在直角三角形BDF中，BF 12,BD 15DF VBD2 BF29AB DC DF CE 9 16 25SB形 ABCD1八八1-

19、(AB DC)?AE 25 12 15022BF AC 12, AB EF例11.如圖，在梯形 ABCD, AD/ BC,/B+/ C=90° ,M、N分別是 AD BC的中點(diǎn),試說明：1MN (BC AD) 2分析1: /B+/ C=90。，考慮延長兩腰，使它們相交于'_*玄 八、5構(gòu)成直角三角形。解法1:延長BA CD交于點(diǎn)G,連接GM GN"B C 90BGC 90»AM MD GM AMGAM AGM又 BN CN GN BNB BGN7 AD | BC GAM B AGM B、A G共線M N共線1 -1 -GM AD,GN BC22-1-MN

20、GN GM -(BC AD)CBGN分析2:考慮M N分別為AD. BC中點(diǎn)，可以過 M分別作AR DC的平行線，梯形 ABC四部構(gòu)成直角三角形，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形。解法2:作ME AB交BC于E,作MF/ DC交BC于F AD/ BC .四邊形ABEM DCFMTB是平行四邊形BE=AM,FC=DMam MD BE FC 曲(BN CN EN FN由 ME AB,MF DC MEF B, MFE h。,B C 90 MEF MFE 90EMF=90 ,又 EN=FN11-MN -EF (BC AD) 22模式歸納通過上面各例的分析、解證，發(fā)現(xiàn)添加適當(dāng)?shù)妮o助線能使解題思路暢通，解答

21、過程簡捷。但輔助線的添加靈活多變，好像比較難以把握。其實(shí)添什么樣的輔助線怎么添輔助線與已知條件的特征和所求問題的形成關(guān)系密切。下面分類歸納幾種常用的輔助線的添加方法。一、倍角問題研究/“ = 2/3或=1/”問題通稱為倍角問題。倍角問題分兩種情形：21 . / “與/ 3在兩個三角形中，常作/ ”的平分線，得/1 = 1然后證明/ 1 = / 3 ;或把/ 32翻折，得/ 2=2/3,然后證明/ 2=/ a （如圖一）2 .的a與/ 3在同一個三角形中，這樣的三角形常稱為倍角三角形。倍角三角形問題常用構(gòu)造等腰三角形的方法添加輔助線（如圖二）圖中點(diǎn)問題 已知條件中含有線段的中點(diǎn)信息稱為中點(diǎn)問題。

22、這類問題常用三種方法添加輔助線(1) 延長中線至倍（或者倍長中線），如圖一。若圖形中沒有明顯的三角形的中線，也可以構(gòu)造中線后，再倍長中線，如圖(2) 構(gòu)造中位線，如圖三(3) 構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線，如圖四。圖三圖四三、角平分線問題已知條件中含有角平分線信息稱為角平分線問題。常用的輔助線有兩種：1 .以角平分線所在直線為對稱軸，構(gòu)造全等三角形，如圖一、二所示。2 .由角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊做垂線，構(gòu)造全等三角形，如圖二所示。四、線段的和差問題已知條件或所求問題中含有a+b=c或a=c-b,稱為線段的和差問題，常用的輔助線有兩種：1 .短延長：若 AB=a,則延長AB至ij M,使BM=b

23、然后證明 AM=C2 .長截短：若AB=c,則在線段AB上截取AM=a然后證明MB=b五、垂線段問題已知條件或所求問題中含有兩條或者兩條以上的垂線段時，而所研究的問題關(guān)系又不明顯時，可以借助于可求圖形的面積轉(zhuǎn)化。常用的面積關(guān)系有:1 .同（等）底的兩個三角形的面積與其高的關(guān)系;2 .同（等）高的兩個三角形的面積與其底的關(guān)系。六、梯形問題梯形可以看作是一個組合圖形，組成它的基本圖形是三角形、平行四邊形、矩形等。因此，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形、矩形等問題求解，其基本思想為：轉(zhuǎn)化梯形問題三角形或者平行四邊形問題分割、拼接在轉(zhuǎn)化、分割、拼接時常用的輔助線：1. 平移

24、一腰。即從梯形一個頂點(diǎn)作另一個腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（如圖一）。研究有關(guān)腰的問題時常用平移一腰。2. 過頂點(diǎn)作高。即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個矩形和兩個直角三角形（如圖二）。研究有關(guān)底或高的問題時常過頂點(diǎn)作高。3. 平移一條對角線。即從梯形的一個頂點(diǎn)作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形（如圖三）。研究有關(guān)對角線問題時常用平移對角線。這種添加輔助線的方法，可以將梯形兩條對角線及兩底的和集中在一個三角形內(nèi)，使梯形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題。此三角形的面積等于梯形的面積。4. 延長兩腰交于一點(diǎn)。把梯形問題轉(zhuǎn)化為兩個相似的三角形問題（

25、圖四）；5. 過底的中點(diǎn)作兩腰的平行線。當(dāng)已知中有底的中點(diǎn)時，常過中點(diǎn)做兩腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成兩個平行四邊形和一個三角形（圖五）；6. 過一腰中點(diǎn)作直線與兩底相交。當(dāng)已知中有一腰的中點(diǎn)時，常連接梯形一頂點(diǎn)和此中點(diǎn)，并延長交另一底于一點(diǎn)，將梯形問題轉(zhuǎn)化為一對全等三角形和一個含有梯形兩底之和的三角形。此三角形的面積等于梯形的面積（圖六）；7. 作梯形中位線。當(dāng)已知中有一腰的中點(diǎn)時， 常取另一腰的中點(diǎn)， 作梯形的中位線，（圖七），利用梯形中位線性質(zhì)解題。/ /圖一A * / / L圖四/ 圖七拓展延伸1.已知：如圖， ABC中，圖二圖三圖五圖六D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CA延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)連接FD交AB于E,若 AE=AF求證：BE=CFA延長 ED至ij G使DG=DE®接CG.BD CDBDE CDGDE DG 忸DE &CDGBED G,BE . AE AF