卡爾曼濾波器大泄密

1、授之以漁： 卡爾曼濾波器 .大瀉蜜 .原創(chuàng)作者：highgear（一）一片綠油油的草地上有一條曲折的小徑，通向一棵大樹。一個要求被提出：從起點沿著小徑走到樹下。“很簡單。” A說，于是他絲毫不差地沿著小徑走到了樹下?，F(xiàn)在，難度被增加了：蒙上眼?！耙膊浑y，我當過特種兵?！?B說，于是他歪歪扭扭地走到了樹 . 旁?！鞍?，好久不練，生疏了。”“看我的，我有 DIY 的 GPS！” C說，于是他像個醉漢似地走到了樹. 旁?！鞍Γ@個 GPS 軟件沒做好，漂移太大?！薄拔襾碓囋??！?旁邊一人拿過 GPS,  蒙上眼，居然沿著小徑走到了樹下?！斑@么厲害！你是什么人?”“卡爾曼 ! ”“

2、卡爾曼？！你是卡爾曼？”眾人大吃一驚?！拔沂钦f這個 GPS 卡而慢?！保ǘ┻@段時間研究了一下卡爾曼濾波器，有一些心得，寫出來與大家分享?？柭鼮V波器與我以前講過的FIR, IIR 濾波器完全不一樣，與其說屬于濾波器，不如說是屬于最優(yōu)控制的范疇。下面的內(nèi)容涉及相當多的控制理論知識，對于在這方面不足的同學(xué)可能有些吃力。不過不要緊，大家關(guān)注結(jié)果，會應(yīng)用就夠了,  那些晦澀的理論和推導(dǎo)可以忽略。我也會用圖片讓大家更直觀的理解卡爾曼濾波器。（三）首先回顧一下傳統(tǒng)數(shù)字濾波器。對于一個線性時不變系統(tǒng)，施加一個輸入 u(t) ，我們可以得到一個輸出 y(t) . 如果輸入是一個沖擊，則輸

3、出y(t) 被稱作沖擊響應(yīng)，用 h(t) 來表示，是系統(tǒng)的內(nèi)核。對于任意 u(t), 輸出 y(t) 可以通過 u(t) 與沖擊響應(yīng) h(t) 的卷積得到，這是 FIR 濾波器的基本原理。我們還可以通過系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)換為差分方程，或是通過 laplace 傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換到差分方程，最后得到一個遞推公式，這種形式的濾波器就是IIR 濾波器。以前講過，一個系統(tǒng)可以用時域的微分方程來建立，然后可以用 laplace 的傳遞函數(shù)來處理，把解微分方程變?yōu)槎囗検匠朔?，可以簡單的求解。還有另外一種處理形式就是狀態(tài)空間，以矩陣形式來處理微分方程或微分方程組，利用矩陣變換求解，類同齊次方程組的矩陣形式。例如微分方

4、程:              y +3y + 2y = u讓      X1 = y,       X2 = y = X1,   則上式變?yōu)椋?#160;            X2 = -3 X2   2 X1  - u       

5、     X1 =      X2矩陣形式為：下載 (3.04 KB)2011-12-7 21:35通用形式為：            X = A*X + B*u            Y = C*X.可以看到，可以很輕易的微分方程或微分方程組轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間形式，而狀態(tài)空間與laplace 傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換，事實上矩陣A 的特征值就是s傳遞函數(shù)的極點。系統(tǒng)的傳

6、遞函數(shù)（陣）可以通過矩陣變換得到：               Y(s) = C * (s * I - A) -1 * B同理，連續(xù)域的微分方程對應(yīng)了離散域的差分方程，s 對應(yīng)了z,   離散域狀態(tài)空間相應(yīng)的變?yōu)椋?#160;             X(k) = A*X(k-1) + B(u-1)          

7、    Y(k) = C*X(k)（四）我們現(xiàn)在來看看蒙眼走小徑的走法問題。假設(shè)A 走過的路徑是真真正的路徑，為Za; B是用自己的大腦作為預(yù)測估計器，走出了一個預(yù)測路徑，為 Zb; C 用測量器，走出了一條測量路徑，為Zc。用圖片來說明：下載 (10.92 KB)2011-12-7 21:47“系統(tǒng)真實輸出”是 A 走過的路徑： Za = C * X；“測量輸出”是Zb.   Zb = Za + V，這里 V 是噪聲，即GPS 的漂移；“預(yù)測估計輸出”是 Zc = C * X,X是預(yù)測的狀態(tài)。T 是采樣延時?，F(xiàn)在，蒙上眼的情況下有兩種選擇，G

8、PS 或大腦預(yù)測估計器。如果GPS很準而預(yù)測不準，那么可以選擇GPS；如果預(yù)測準確而GPS不準，那么選擇預(yù)測估計器， 等等， 沒有反饋的預(yù)測估計器會因為累積誤差而導(dǎo)致越來越不準。如果兩個都不準，該如何取舍？如何把兩者結(jié)合在一起呢？ 我們可以設(shè)置一個信心指數(shù) K，K 在 0 與1之間，來說明對測量值還是預(yù)測值的信任程度：        Z = K * Zb + (1 K) * Zc  = Zc + K*(Zb Zc)           

9、(1)可以看出， 當 K = 1 和 0 時，分別選擇了GPS 或預(yù)測估計器. 現(xiàn)在，可以把誤差 Zb -Zc 作為反饋誤差，來修正 預(yù)測估計器的結(jié)果。新的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：下載 (13.48 KB)2011-12-7 21:47這個框圖，就是卡爾曼濾波器的基本構(gòu)造。學(xué)過現(xiàn)代控制理論的同學(xué)都這個圖應(yīng)該很熟悉，與狀態(tài)變量估計控制的圖形差不多，只是其中的 K = 1 而且沒有噪聲項和系統(tǒng)反饋而已。而我們下面的任務(wù)，就是如何確定這個K 值。.以下略去三百字的方差，與協(xié)方差的介紹.  自己看吧： /wiki/%E5%8D%8F%E6%96%

10、B9%E5%B7%AE.以下略去 五百字的kalman Filter Gain K 的推導(dǎo)。自己看吧： /wiki/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2關(guān)于卡爾曼濾波器的推導(dǎo)過程，枯燥晦澀，我就略過，直接關(guān)注結(jié)果。（五）計算過程：卡爾曼濾波是一種遞歸的估計，即只要獲知上一時刻狀態(tài)的估計值以及當前狀態(tài)的觀測值就可以計算出當前狀態(tài)的估計值，因此不需要記錄觀測或者估計的歷史信息?？柭鼮V波器的遞歸過程：1)   估計時刻k 的狀態(tài)：      

11、    X(k) = A*X(k-1) + B*u(k)     這里,   u(k) 是系統(tǒng)輸入2)   計算誤差相關(guān)矩陣P, 度量估計值的精確程度：          P(k) = A*P(k-1)*A+ Q      這里,   Q = E Wj2 是系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差陣，即系統(tǒng)框圖中的Wj的協(xié)方差陣, Q 應(yīng)該是不斷變化的，為了簡化，當作一個常數(shù)矩陣。3)  &

12、#160;計算卡爾曼增益, 以下略去 (k),  即 P = P(k), X = X(k)：             K = P *C * (C * P * C + R) -1        這里 R = E Vj2 , 是測量噪聲的協(xié)方差(陣),  即系統(tǒng)框圖中的 Vj 的協(xié)方差, 為了簡化，也當作一個常數(shù)矩陣。由于我們的系統(tǒng)一般是單輸入單輸出，所以 R是一個 1x1的矩陣，即一個常數(shù)，上面的公式可以簡化為:   

13、          K = P *C / (C * P * C + R) 4)     狀態(tài)變量反饋的誤差量：             e = Z(k) C*X(k)         這里的 Z(k) 是帶噪聲的測量量5)    更新誤差相關(guān)矩陣P          P = P

14、K * C * P6)   更新狀態(tài)變量：            X =X + K*e = X + K* (Z(k) C*X(k)7)   最后的輸出：            Y = C*X現(xiàn)在的問題就是如何實現(xiàn)卡爾曼濾波， A, B, C, Q, R 這些矩陣或量如何確定？（六）仿真實例下面用仿真實例來觀察卡爾曼濾波器的效果。假設(shè)我們的系統(tǒng)是一個加熱系統(tǒng)，熱時間常數(shù)為 60 秒，100度時達到熱

15、平衡。忽略系統(tǒng)的延遲，那么當系統(tǒng)加電后，溫度由 0 開始上升。這個上升過程大家應(yīng)該很熟悉，這是一個指數(shù)函數(shù)：        y(t) = 100 * (1 e-t/60)其 laplace 傳遞函數(shù)為:               y(s) = 100 / (60 * s - 1)我們?nèi)藶榈募尤肓穗S機噪聲來模擬測量噪聲下載 (3.95 KB)2011-12-7 22:37我們假定并不知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，現(xiàn)在只是簡單的, 隨便地構(gòu)造了一個

16、預(yù)測系統(tǒng)。A = 1, 0; 0, 1B = 1; 0C = 1, 0這是一個二階系統(tǒng)，其輸出是一條直線，與實際的系統(tǒng)相去甚遠：下載 (4.11 KB)2011-12-8 21:37測量噪聲的協(xié)方差 R = 40，此為猜測值; 系統(tǒng)噪聲 Q = 2，也是猜測值，預(yù)測模型越不準，Q 值應(yīng)越大?？柭鼮V波器的結(jié)果，紅色為濾波器輸出：下載 (5.36 KB)2011-12-8 21:37可以看到，盡管我們使用了一個粗劣的預(yù)測估計器，Kalman 濾波器還是相當?shù)钠?，基本上消除了噪? 如果我們有一個相當精確的模型，結(jié)果會怎么樣呢？精確模型的建立要建立一個精確的預(yù)測估計模型，我們還是要利用方差。如果

17、一個估計的曲線與實際曲線完全重合時，他們的方差為 0. 方差越小，擬合度越高， 最小二乘法的原理便是如此。具體推導(dǎo)過程還是省略，直接給出 matlab 的擬合程序，這是一個非常非常有用的程序。如果數(shù)學(xué)模型很精確， 能不能直接數(shù)學(xué)模型的輸出作為濾波器的結(jié)果呢？不能，因為沒有反饋，數(shù)學(xué)模型的輸出會因為沒有反饋的校正造成誤差不斷累積，失之毫厘，謬之千里。下面是用最小二乘法獲得系統(tǒng)的模型并做為預(yù)測估計器，設(shè)定為 3 階系統(tǒng)， 得出的數(shù)學(xué)模型相當準確，所以Q值可以取一個小值，這里 Q= 0.02, 現(xiàn)在看看卡爾曼濾波器的結(jié)果：下載 (4.77 KB)2011-12-8 21:37效果非常好，卡爾曼濾波器的輸出與實際系統(tǒng)的輸出 (即無噪聲的系統(tǒng)輸出) 幾乎重合，這是精確的預(yù)測估計模型帶來的好處。現(xiàn)在比較兩個例子中 卡爾曼增益的不同下載 (4.14 KB)2011-12-8 21:37最小二乘法獲得系統(tǒng)的模