曲線、曲面積分方法小結(jié)

1、曲線、曲面積分方法小結(jié)求曲線、曲面積分的方法與技巧.曲線積分的計算方法與技巧計算曲線積分一般采用的方法有：利用變量參數(shù)化將曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分、利用格林公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分、利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分、利用積分與路徑無關(guān)的條件通過改變積分路徑進(jìn)行計算、利用全微分公式通過求原函數(shù)進(jìn)行計算等方法.例一.計算曲線積分ydxxdy,其中L是圓 x2y2LO(0,0)到 A(2,0)的一段弧.此題以下采用多種方法進(jìn)行計算.24400.分析：解1是利用變量參數(shù)化將所求曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分進(jìn)行計算的,選用的參變量為 x 因所求的積分為第二類曲線積分,曲線是有方向的,在這種2x(

2、y0)上從原點xx,解 1:OA的方程為,-L 由 Oy2xx2,A,x 由 02,dy2Ldx./2xx2ydxxdyJ.2xLx(1x)2.2xxdxx2xx2x(1-x)dx0c22xx2x(1x)dx022xx定積分的下限.解2:在弧OA上取 B(1,1)點,02dxy2dy.,1y20,dx解法中應(yīng)注意參變量積分限的選定,應(yīng)選用對應(yīng)曲線起點的參數(shù)的起始值作為OB的方程y,1.1L由 OB,y由ydy.1y2y.BA 的方程y,1.1L 由 BA,y 由ydxxdy2(.110)0.分析：解2是選用參變量為y,利用變量參數(shù)化直接計算所求曲線積分的,分中參數(shù)的起始值作為定積分的下限.0,

3、dxsind,dy.1.c、(sinsin2)分析：解3和解4仍然是通過采用變量參數(shù)化直接計算的.02ydxxdysinL(1cos)cosd0coscos2d解 4:OA的極坐標(biāo)方程為 r2cos,因此參數(shù)方程為2xrcos2cos,dyrsin2sincos,L 由 OBA,由一 0,2dx4sincos2(cos2.2sin)d.02ydxxdy8sinL萬2cos24cos/2(cos2sin)d4023cos24cos4d14(322L2(y1/y2)dy,1y0I(2y2y.1y2)dy1y2202dy21y1y22dy01y2,1y2dy22Ldy2y?1y2y在方法類型上與解1

4、相同.不同的是以y為參數(shù)時,路徑L不能用一個方程表示,因此原曲線積分需分成兩局部進(jìn)行計算,在每一局部的計算中都需選用在該部解 3:OA的參數(shù)方程為 x1cos,ysin,L 由 OBA,由0.可見一條曲線的參數(shù)方程不是唯一的,采用不同的參數(shù),轉(zhuǎn)化所得的定積分是不同的,但都需用對應(yīng)曲線起點的參數(shù)的起始值作為定積分的下限.解 5:添加輔助線段 AO,利用格林公式求解.因中添加了輔助線段AO,使曲線 LAO 為正向封閉曲線.解6:由于PQy,Qx,xP一、.二 1,于是此積分與路徑無關(guān),yydxL(2,0)xdyydxxdyydxxdy0dx0.OA,分析：由于 P,Q 在閉區(qū)域 D 上應(yīng)具有一階連

5、續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在因此所求積分只與積分路徑的起點和終點有關(guān),因此可改變在 L 上的積分為在OA上積分,注意O點對應(yīng) L 的起點.一般選用與坐標(biāo)軸平行的折線段作為新的積分路徑,可使原積分得到簡化.解 7:由全微分公式 ydxxdyd(xy),(2,0)ydxxdy(0,0)d(xy)xy(2,0)0.(0,0)分析：此解根據(jù)被積表達(dá)式的特征,用湊全微分法直接求出.例二.計算曲線積分口(zy)dx(xz)dy(xy)dz,其中C是曲線Cv21y,從 z 軸正向往 z 軸負(fù)向看C的萬向是順時針的.yz2,解1:設(shè)表示平面 xyz2 上以曲線L為邊界的曲面,其中的正側(cè)與QPy,Qx,x0而口 ydxxdy

6、0dx0,AO故得ydxxdy；.0.LLAOAO分析：在利用格林公式口 P(x,y)dxQ(x,y)dy(P)dxdy 將所求曲LDxy線積分轉(zhuǎn)化為二重積分計算時,當(dāng)所求曲線積分的路徑非封閉曲線時,需添加輔助曲線,采用“補路封閉法進(jìn)行計算再減去補路上的積分,但 P,Q 必須在補路后的封閉曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).L是D的正向邊界曲線10,于是-ydxLAOxdy0dxdy,(zy)dx(xz)dy(xy)dzC2dxdy2dxdy2.Dxy形式求得出分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面dydzdzdxdxdy時首先應(yīng)驗證函數(shù) P,Q,R 在曲面連同邊界L上

7、具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且L的正向與的側(cè)符合右手規(guī)那么.在計算空間曲線積分時,此法也是常用的.解3:將積分曲線用參數(shù)方程表示,將此曲線積分化為定積分.設(shè)L的正向一致,即是下側(cè)曲面,在xoy面上的投影區(qū)域 Dxy：x2y21.由斯托克斯公式dydzdzdxdxdy解 2:利用兩類曲面積分間的聯(lián)系,所求曲線積分了可用斯托克斯公式的另(zy)dxC(xz)dy(xy)dzcoscoscosdS(002cos)dS,z2 的法向量向下,故取故取n(1,1,1,cos2dS2.1(1)21dxdyy21積分計算的.在利用斯托克斯公式.PdxQdyRdz 計算Lxcos,ysin,貝 Uz2xy2cossi

8、n,從20.(zy)dxC(xz)dy(xy)dz02(2cos)(sin)(2cos2sin)cos(cossin)(sincos)d22(sincos)2coscos2d2sin1cos2d2.22222z)ds,其中為曲線xyzR,xyz0.積分與弧的方向無關(guān),故有2,1222zds(xy3由曲線是球面 x2y2z2R2上的大圓周曲線,其長為2R.故(x2y2)ds-R22R4R3.3322_4_3：(x2y22z)ds-R3.解 2:利用在上,x2y2z2R2,分析：以上解1解2利用對稱性,簡化了計算.在第一類曲線積分的計算當(dāng)積分變量在曲線方程中具有輪換對稱性即變量輪換位置,曲線方程不

9、2例四.求ydxxdy,其中L為橢圓曲線-y21 上在上半平面內(nèi)從Lx2y29A(2,0)B(4,0)的弧例三.計算-x2y2解1:由于當(dāng)積分變量x,y,z輪換位置時,曲線方程不變,而且第一類曲線z2)ds一一 ds.2,2,xdsyds由于關(guān)于原點對稱,由被積函數(shù)為奇函數(shù),得zds0.于是原式(x2y2z2z22z)dsR2ds2.zds2zdsR2再由對稱性可得z2ds一2R3同解1,于是R2上式 R22R3432R20R3.3變 時,采用此法進(jìn)行計算常常是有效的.中,解：添加輔助線l為 x2y22的順時針方向的上半圓周以及有向線段AC,DB,其中是足夠小的正數(shù),使曲線 x2y22包含在橢

10、圓曲線y21內(nèi).由于(x2ydxxdyydxxdy222Lxylxy分析：利用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的,但必須要考慮被積函數(shù)和所考慮的區(qū)域是不是滿足格林公式的條件.由于此題中在0,0點附近PQJ 無定義,于是采用在橢圓內(nèi)部0,0附近挖去一個小xyxy圓,使被積函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)域上滿足格林公式條件.這種采用挖去一個小圓的由格林公式,有LAClDB0.設(shè) ysin,xcos,有ydxxdy2.2sin再由絲一ACxy0,號邛 0.于是DBxy方法是常用的,當(dāng)然在內(nèi)部挖去一個小橢圓也是可行的同時在用格林公式時,也必須注意邊界曲線取正向.例五.求八分之一的球面 x2y2z2R2,x0,y0

11、,z0 的邊界曲線的重心,設(shè)曲線的密度 1.解：設(shè)邊界曲線L在三個坐標(biāo)面內(nèi)的弧段分別為LI,L2,L3,那么L的質(zhì)量為設(shè)邊界曲線L的重心為x,y,z),那么工xds工mLmL1xds0dsL2xddsdsLLc2R33-42R.22_2R2R4Rm3R3R2,一,一一一 4R 由對稱性可知 xyz 一.3分析：這是一個第一類曲線積分的應(yīng)用題.在計算上要注意將曲線L分成三個局部：L1:y0,0 xR,zR2x2,L2:z0,0 xR,yJR2x2,L3：x0,0yR,zJR2y2.另一方面由曲線關(guān)于坐標(biāo)系的對稱性,利用可xyz 簡化計算.二.曲面積分的計算方法與技巧計算曲面積分一般采用的方法有：

12、利用“一投,二代,三換的法那么,將第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分、利用“一投,二代,三定號的法那么將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分,利用高斯公式將閉曲面上的積分轉(zhuǎn)化為該曲面所圍區(qū)域上的三重積分等.例六.計算曲面積分zdS,其中為錐面zjxy2在柱體 x2y22x 內(nèi)的局部.解：在 xOy 平面上的投影區(qū)域為D:x2y22x,-xdsmLi2)2dxxdx2x2RR2x2m曲面的方程為(r,)：20r2cos,因此x2y2dxdy22cosr2dr-334cosd329因此zdSz,x2y2,(x,y)D.x2y21(zx)2(zy)2dxdyD、2x2y2dxdy.D對區(qū)域D作極坐標(biāo)變換xrc

13、os,r那么該變換將區(qū)域ysin,D變成r,坐標(biāo)系中的區(qū)分析：以上解是按“一投,二代,三換的法那么,將所給的第一類曲面積分化為二重積分計算的.“一投是指將積分曲面投向使投影面積不為零的坐標(biāo)面.“二代是指將的方程先化為投影面上兩個變量的顯函數(shù),再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式.“三換是指將dS換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表dSJi()2(-y)2dzdx,或 dS11(y)2(x)2dxdz.上解中的投影區(qū)域.xz.xz1()2(-z)2dxdy,由于投影區(qū)域是圓域,xy故變換成極坐標(biāo)計算.為何值時,球面在定球面內(nèi)部的那局部的面積最大?R2(4a2R2)4a2R2a一2a設(shè)含在定球面內(nèi)部的上那局

14、部球面i在 xOy 面上的投影區(qū)域為 D,那么a,R2x2y2,(x,y)D.那么1的面積為示的曲面面積元素：1()2(z)2dxdy,或xy在 xOy 平面上,因此用代換dS例七.設(shè)半徑為R的球面的球心在定球面 x2y2a2(a0)上,問R解：不妨設(shè)的球心為(0,0,a),那么的方程為/2-2(za)R,與定球面的交線為22xy22xy(z2a,a)2R2(4a2R2)4a2,且這局部球面的方程為dS11(Zx)2(Zy)2dxdyR2R2.4a22a02aR2aR2rdr一一 R 二二百百R(R2r2)R4a2R22a0dxdyr222DRxy2aR以下只需求函數(shù) S(R)2R34學(xué),在0

15、,2a上的最大值.2a2.3R24a4a由令 S(R)2(2R)0,得唯一駐點 R 一,且 S()40.由問2a33題的實際意義知 S(R)在 R 色處取得最大值.即 R時,1的面積最大,為 33322a27分析：此題是第一類曲面積分的應(yīng)用題,在計算中關(guān)鍵是利用了球面的對稱性,和確定了含在定球面內(nèi)部的上那局部球面1在*0 丫面上的投影區(qū)域De在此根底上,按上題分析中的“一投,二代,三換的法那么即可解得結(jié)果.例八.計算曲面積分(2xz)dydzzdxdy,其中S為有向曲面Szx2y2(0z1),其法向量與 z 軸正向的夾角為銳角.解1:設(shè) Dyz,Dxy分別表示S在 yoz 平面,xoy 平面上

16、的投影區(qū)域,那么,(2xz)dydzzdxdyS(2.zy2z)(dydz)(2zy2z)dydzDyzDyz22(xy)dxdyDxy.222、4.zydydz(xy)dxdy.DyzDxy其中.zy2dydz1dy.zy2dz1y-DyzDxy(2xz)dydzzdxdy4412o0(1y)3dysint,、；、；zy2dydzDyz42cos4tdt30(x2y2)dxdyrdr已指定的坐標(biāo)面.“二代是指將的方程先化為投影面上兩個變量的顯函數(shù),再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式.“三定號是指依曲面的定側(cè)向量,決定二重積分前的“+,“-符號,當(dāng)?shù)亩▊?cè)向量指向坐標(biāo)面的上右,前方時,重積分前面取“+,

17、反之取dydzdzdxdxdy解2:利用 dS一一化組合型為單一型.于是原式(2xz)(2x)zdxdyS第二類曲面積分,假設(shè)是組合型,也可利用公式dS 皿cosdzdxcos%,先化組合型為統(tǒng)一的單一型,再按 cos投,二代,三定號法那么將單一型化為為二重積分求得.解 3:以表示法向量指向 z 軸負(fù)向的有向平面 z1x21),D 為Si在xoy平面上的投影區(qū)域,那么(2xz)dydzzdxdy(dxdy)S1D設(shè)表示由S和s所圍成的空間區(qū)域,那么由高斯公式得二二(2xz)dydzzdxdySS1(21)dv11所以coscoscos(2xz)dydzzdxdyS(2xScosz)coszdx

18、dy.因S的法向量與 z 軸正向的夾角為銳角,取 n2x,2y,1,故有互 2x,cos4x2x2y212x(x222y)(xy2)dxdy.由于2x(x2y2)dxdyx2y210,所以4x2(x2x2y212y)dxdy24-Jr,16240八 1PQR分析：利用同斯公式 oPdydzQdzdxRdxdy(一一)dxdydz,xyz可將曲面積分化為三重積分求得.但必需滿足 P,Q,R 在閉區(qū)域上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),是邊界曲面的外側(cè).此題中的曲面S不是封閉曲面,故添加了使 S&為封閉曲面,并使 S&的側(cè)符合高斯公式對邊界曲面的要求.例九：計算曲面積分Ix(8y1)dydz2(

19、1y2)dzdx4yzdxdy,其中是由曲線 zy1,1y3,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與y軸正向的x0夾角恒大于一.2一、Lx2z22,一二一一一r一 E解：設(shè)1:,表小 y3 上與y軸正向同側(cè)的曲面,由和1所圍y3立體記為.由高斯公式得,c八,八,2、,0 x(8y1)dydz2(1y)dzdx4yzdxdydxdydz1因此 Idxdydzx(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy.1由于在xOz面上的投影區(qū)域為 D:x2z22.注意到1在乂.2面,yOz 面上的投影不構(gòu)成區(qū)域,且在1上 y3,從而：x2z21y3,(x,y)D,I(2x2z2)dxdz16dxdz18dxdz(x2z2)dxdzDDDD36234