行列式典型例題

1、第二講 行列式綜合訓練第一部分例 計算行列式，其中對角線上元素都是a,未寫出的元素都是零.Dn解這道題可以用多種方法進行求解，充分應用了行列式的各種性質.方法方法方法方法利用性質，將行列式化為上三角行列式.1Dn=HI 1=(a-)an1 = aa仍然是利用性質，將行列式化為上三角行列式.rn 1Dn =C1Cn利用展開定理，將行列式化成對角行列式.Dnn n=a - a(1)nDn = a利用公式a0 0III 1n 1a 0卜+( 1)I4hIan 1ka 0n 1C1展開=a將最后一行逐行換到第HIn=a - a最后列展開= |A|B|.2行，共換了 n1)2n2次；將最后一列逐列換到第

2、 2列，也共換了n 2 次.Dn = ( 1)2(n 2)n n 2=a - a方法5利用公式例計算n階行列式:aiDna1Ia2a2 b2ananbibjbn 0)a1a2IIIan bn解采用升階（或加邊）法該行列式的各行含有共同的元素a1,a2,|H，an，可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列，適當選擇所增行（或列）的元素，使得下一步化簡后出現(xiàn)大量的零元素.j 2,| |,n 1色bilb01b1a1a2111anbi0b21IIIbn1aa2an1a1a2 Ian0a1 ba2an2 131I j I1000a p1a2 b2anl>110b2 1*0p141川n 11f

3、14iII *1p0paa；IIIpanbnp100Hlbn升階Dn這個題的特殊情形是a1a2anDna1Ia2an=xn 1(xnaji 1a1a2IIIan可作為公式記下來.例計算n階行列式:Dn解這道題有多種解法.方法1其中b 1方法2化為上三角行列式a2IIIan1a11 III1a1c1 J%b 1III 1ri r1a11a21aj j0 a2112,|,n11pj引卜114pa1an0annDn. ini 2 aia11 aiDn升階（或加邊）ai升階Dn1c1cj 1aj方法3遞推法.a1Dnriaja2Ia1Dn改寫為a12,3,|,na10a2IIIanIIIana2a2I

4、II 1IIIani 1 aianIII 1an按cn拆開1a11由于aia21 IO an1a11 11a111 a2 I1 1ri rna2RhP1+111II1i 1川,n 111 M 1a1a2 | 卄 an 11 a11a2按Cn展開anDn因此 Dn=anDn 1lba1a|an 1為遞推公式，而 D1anDn =anDn 1 a1a2 川 an 1 = a1a2 1anDn 1a1a2anan=a02 川 a.Dn2a1a2an 2an 1an=a02 川 anD1a1a2III1an=吋2川a.a11川1a2an2x例 2 .4 設 f(x)3x，證明存在(0,1),使 f (

5、)0.4x證 因為f (x)是關于0,1上連續(xù),(0,1)內可導，且111101f(0)1220, f(1)111133121的二次多項式多項式，在0 .由羅爾定理知，存在(0,1)，使 f ()例計算D =a2a4abb2b4c2c4cdd2d4解這不是范得蒙行列式,但可借助求解范得蒙行列式進行求解.其中方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧進行求解：從下向上，逐行操作.r4 a'r33 a211h an0baD0b(ba),2,22、0b (ba )11cadac(ca)d(da)2, 22、,2,22、c (ca )d (da )111bcdG展開=(b a)(c a)(d a)r3

6、拆開=(b a)(c a)(d111111bcd+ abcd 33 3,22.2bcdbcd2(b a) c2(c a) d2(d a)a)111E b2r2111r2 br1bcd0c bd bb33 cd30c(c2 b2)d(d2 b2)1=(c b)(db)c(cb)1d(d b)=(c b)(d b) d(d b) c(c b)111111由于bcd是范德蒙行列式，故bcd,22.2,22,2bcdbcd=(ca) (c b)(db)(db)(dc)b)(d c)c2c3q q1 a00baca方法2 D2.2222c4qabaca4,4444abacaD = (a b c d) (

7、b a)(c a)(d0da.22da.44da片展開=(b a)(c a)(d1a) b a(b2 a2)(b a)c ad a(c2 a2)(c a) (d2 a2)(da)qc3c1(ba)(c a)(d1a) b a2 2(b a )(b00c b d ba) xyq展開c b d b=(b a)(c a)(d a)x y，計算A41+A42 +其中Aj(j= 1,2, 3, 4)其中X2 2(c b)(a b'2 2 cac bc ab) , y2(d b)(ab2 c2 adbd ab)D = (a b cd) (ba)(ca)(da) (cb)(d b)(dc)=(a b

8、 c d) (ab)(ac)(ad)(bc)(b d)(cd)方法3用升階法.由于行列式中各列元素缺乏3次幕的元素,在D中添加3次幕的一行元素，再添加一列構成5階范得蒙行列式:11 111ab cdXD5 =2 a.22b cd22 X3 33.33ab cdX4 44_ 44ab cdX3D5按第5列展開得到的是 X的4次多項式，且X的系數(shù)為A45(1)4 5dD又利用計算范得蒙行列式白勺公式得D5 = (b a)(ca)(da)(Xa) (cb)(db)(X b)(d c)(Xc)(x d)=(b a)(ca)(da) (cb)(db)(dc) (Xa)(Xb)(Xc)(Xd)=(b a)

9、(ca)(da) (cb)(db)(dc)X4(a bcd)X3X3的系數(shù)為（ba)(ca)(da) (cb)(db) (dc) (abc d)由X3的系數(shù)相等彳導：D = (a b cd) (ib a)(ca)(da) (cb)(db)(dc)1135其中是| A|中元素a4j的代數(shù)余子式.解 直接求代數(shù)余子式的和工作量大.可將A41A42A43A44改寫為1 A411 A421A431 a44，故All +A12 +A43 +Aa111151313412311111116 0 20230 1 20 0 06 0 26 0 2(1)4102 3=1023A0 1 20 0 26例求解方程：f

10、(x)III(n1)解方法1f(x).i2，|l，n=(1)n 1x(x1)(xn 2)III(n 2)由題設知n 1f (x)( 1) x(x 1) (x n 2)0所以 x,0,x2 1,xn 1 n 2是原方程的解方法2由題設知,當x 0,1,2, n 2時,由于行列式中有兩列對應元素相同,行列式值為零,因此f (x)可寫成f(x) Ax(x 1)(x n 2)于是原方程f(x) Ax(x 1)(x n 2)0的解為:x10,X2 1,Xn 1 n 2例 計算元素為aj = | i - j |的n階行列式解方法1 由題設知，a11 =0,ai21 , |,a1nDnri r 1n,n 1

11、,” ,2CjCnj 1,|i|,n 1IlfIII0III其中第一步用的是從最后一行起，1)n12n2(n 1)逐行減前一行第二步用的每列加第n列.方法2 DnCjj 2,|l|,n=(2nIII n 1例計算行列式Da20d2a1d10Gbi0C20b2解方法1按第一列展開:Da2a1d10qbi0b2(a?b2 - d 2 C2)a1d11)n 12n2(n1)a1d1C1b1C20= a2b2a1d1C1b1-d2c2a1d1C1b1C1b1=(a2b2 - d 2 C2)方法2本題也可利用拉普拉斯展開定理進行計算，選定第2、3行，有:D ( 1)2 3 2 3a1 C1d1 d da

12、2 C22 P=(a1b1 d1c1) ( a2b2 d2c2)bn例計算D2n =a1b1c-d-，其中未寫出的元素都是0.dn解方法1利用公式A 0 = A BO B采用逐行操作，將最后一行逐行和上行進行對換，直到換到第2行（作2n 2次相鄰對換）；最后一列逐列和上列換，換到第2列（作2n 2次相鄰對換），得到anbn0Cn0D2n=( 1)22)dn 00an 10bn 1a1 QG d100cn 1dn 1D2 D2(n 1) =(andnbnCn) D2(n 1)=際.bnCn) (an 1d n 1bn 1Cn 1 ) D2(n 2)n=ndn 05)(a. Mn 1 g 心 |

13、4b2)=佝小匚 biCi)i 1方法2利用行列式展開定理進行求解.an 1bn 10片展開D2n = anCid1Cn 1d n 1dnbn(1)12n0 an 1a1biC1d1bn 1Cndn 10上面第1個行列式是D2n=andnD2n 2的形式,bnCn (而第1)2n12個行列式按第1D2n 21列展開,所以1a1a1 a0a0000計算D5011 aa0.0011 aa00011 a方法1采用遞推的方法進行求解.1a00001 aa00C1c IIC5D5011 aa00011 aaa0011 a1aa00a000C1展開11 aa05 11 aa00+ ( a)( 1)011

14、aa11 aa00011 a011 aabe)i例解1D5(a)(D4D43 a ,D31)5 1(aidi1a)( 1)44 a ,bnCn) D2(n= ndnD3D2a)(1)3 1D2a2D5方法2采用降階的方法進行求解.ri (1 a)r2D5(1a2) r3H (1 a a2 a(1例證明Dn證方法r1(1a2a4)rsanDn= Xa3)an 1遞推法D n1 +由于 D1 = x + a 1 , D2an按第(-1)xa2a5)III列展開,1 ana11)51(a1于是41) =1n=xaxIIIan1Xan1+ a n方法2其中fDn = x第2列的q XC2D n 1+

15、a=x n 1Dix倍，第DnanC| x2C3an按C展開其中fan方法3C1anan1XxC2 x2C31)n2n=x( X D n 2+an 1)+ a n=x Dnnn 1x + a n =x2+a n 1x+an 1a1XIIIan1X an3列的xxanxan 1IIIa1x倍,，第n列的xn1倍分別加到第列上III xn1Cnan 12x anan 2IIIan 1按rn展開an 1an 2aian 21)ana2=(1)nan 1x |na1x利用性質，將行列式化為上三角行列式.IIIa1a1f( 1)nX 1n 1C2C31C1x1x方法4Dn|llcn1_cn 1 x按cn

16、展開=an按rn展開Dnan 1an1(annan 1an-2IIIknann x+電 +a 1 +x)xan iXHina1x1)nx0III00x1III0020100/八 2 n 10x00an 11kI*441+ +( 1)a21k*1Hb H11P0t0III1xp1P0t0III01III001x100x(1)n+ ( 1)2n(a1x)III=(-1) n(-1)n 1a n +(-1 )2 (- 1 )1x+ (-1)2n1 (-1)a2xn 2(-1) 2n( a1+x) x n1anan 1XIIInax1 xn計算n階“三對角”行列式Dn0 III方法1遞推法.按5展開D

17、n()Dn)Dn即有遞推關系式n =(Dn遞推得到DnDn而D1(D2 =a+由遞推公式得方法2Dn =IIIDnDnDnDna+Dn 1Dn把Dn按第1列拆成(n 1)DnDn(n3)(Dn(Dn階行列式DnDn(D22)2)=2(DnDn 3)D1)代入上式得1)B(n 1)()田寸少寸III0 1II 001000h144.1iII 004P0f00 11!4000 11+上式右端第一個行列式等于aDn 1，而第二個行列式caq 1于是得遞推公式DnnDn 1已與()方法3在方法中得遞推公式Dn =(又因為當D2=(D3i 2，|l|，n式相同.)Dn 1)2=(Dn)3-2III=3

18、n)(2)=于是猜想Dn1-,下面用數(shù)學歸納法證明.當n=1時，等式成立，假設當 n k時成立.當n=k+1是，由遞推公式得Dk 1=()DkDk1=(所以對于n N，等式都成立.第二部分這一部分的題是與矩陣、 向量、特征值等后續(xù)內容有關的題，感覺困難的同學可以放到相關內容學習后再看.但應注意考研題中關于行列式內容的出題，往往與后續(xù)內容聯(lián)系較多.A例 設A為3X3矩陣,| A| = 2,把A按行分塊為 AA2 ,其中Ai(i1,2,3)是AA3A 2A的第i行，則行列式 2A AiA32 A1A32A1A3A2A22A2=2A2=2AAAA1A解2 | A| 4例判斷題(1)若A，B是可乘矩陣

19、，則 lABIAIB若A，B均為n階方陣，則|A B |A |B錯誤，因為A，B不一定是方陣，即不一定有對應的行列式.錯誤，例如取A例 證明：奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式為零AtA, |A| |AT I I A| ( 1)n |A|k1111k11丄r，且秩R(A) 3,則k11k1111kI A|(n為奇數(shù)).所以|A| = 0.(數(shù)四，01, 3分)設矩陣Ak 111k 3 k 3 k 3 k 31 k 111$ |r41k1111 k 111k1111k111k由于A111111111k11=(k 3)0k 10011k100k 10111k000k 1(k3)3(k 3)(k 1)由 R(

20、A) 3,知 A =0，而 k 1 時，R(A) 1,故必有 k 3.例若A, B , C均為3階可逆方陣，A2，計算 2C 1(AtB 1)2C .2C 1(AtB 1)2C =23C 1AtB 1=23 訥 |A2=2例設3階方陣A, B滿足方程 A2B AE，試求矩陣B以及行列式 B解由A2B A BE，得（A2E)B，即由于(AE)(AE)B18(AE)1(AE)1(AE)(A E) 11/2所以 |B| 1/2 .例設A為3階方陣，A =2,求（2a）3A的值.解 方法1化為關于A的形式進行計算.利用公式(A)1 1a1 , A1:,An1有*A* *=2A ' 3A=2廠

21、3A IA=A 3A1 1 *(2a)3a*3*32=2A| = ( 2)3|a| =( 2)3|A = 32方法2化為關于A1的形式計算.利用公式（A）A 1, A*AA1,（數(shù)四,2A B若1,98,3A* = 2A 1 3A A 13丄=323分）設A, B均為n階方陣，A =2,= 2n|A*|B =2n|An1 = 2n2n1 冋2都是4維列向量，且B =-3，求?2n 14階行列式m，計算4階行列式解如果行列式的列向量組為3,2,的值.n，則此行列式可表示為用行列式的性質，有3>2>2A B 1的值.，利計算行列式| A| ,|B|,12n 1n x10 I1124(n 1)xn10p2 III1p14+t1|iB p112 x II n 1n00 1x2 11 n 1n00 III，其中004II0n|A| =12n 1n x1 p121(n 1) x*n44f1JxII14 n1 x2 1i n 1n12n 1n x12IIIn 1n(n 1)x20P101II x1xp1cn Cj0h04-IIIx0111L1j1j 1,|,n 1k440x0xPtI i 110x00x0 I0x1IIx0III00i鐘1iri這是逆對角的上三角行列式，所以又| B |