一線三角模型及例題

1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用相似三角形判定的復(fù)習(xí)：1,相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所截成的三角形與原三角形相似.2,相似三角形的判定定理：(1)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似.(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩個(gè)三角形相似.(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩個(gè)三角形相似.3,直角三角形相似的判定定理：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似.(2) 一直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩三角形 相似.相似三角形的性質(zhì)： 要點(diǎn)1:相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例要點(diǎn)2:相似三角形的性質(zhì)定理：相似

2、三角形的性質(zhì)定理 1:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形的性質(zhì)定理 2:相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比相似三角形的性質(zhì)定理 3:相似三角形的面積的比等于相似比的平方要點(diǎn)3:知識(shí)架構(gòu)圖1、如圖,銳角？ ABC的高CD和BE相交于點(diǎn)0,圖中相似三角形有多少對(duì)？請(qǐng)分別寫(xiě)出BC2、如圖,在銳角？ ABC中,/ ADE玄ACB圖中相似三角形有多少對(duì)？請(qǐng)分別寫(xiě)出B文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用3、如圖/ BACh BDC=90 , S在bc =化,S刈e =8 .問(wèn)：/ BEC的大小確定嗎？假設(shè)確定,求期度數(shù)；假設(shè)不確 定,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)(2)4、如圖,在 ABC中,/BAC

3、=90,AD是BC邊上的高,點(diǎn) E在線段DC上,EF_LAB, EG _L AC ,垂足分別為F, G .求證:EG CG=;AD CDFD DG .5、如圖,四邊形 ABCLfr, AC與 BD交于點(diǎn) E, AC!AB,BDCD. S? eb(=16, S?aeD=8.AD(1)求ID的值；BC(2)問(wèn)：/ BEC是不是定角？如果是,把它求出來(lái)；如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由5、如圖,在 ABC中,角ACB為直角,CDLAB于點(diǎn)D,又 AC日 BCF都是等邊三角形,連結(jié) DE DF;求證：DELDF文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用中考熱點(diǎn)：一線三等角型的相似三角形、問(wèn)題引入如圖,AABC中,NB=90 CD _L A

4、C ,過(guò)D作DE _L AB交BC延長(zhǎng)線與E.求證：. ABC . CED三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等邊三角形為背景,一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如下圖:文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用其他常見(jiàn)的一線三等角圖形(等腰三角形中底邊上一線三等角)(等腰梯形中底邊上一線三等角)(直角坐標(biāo)系中一線三等角)(矩形中一線三等角)等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同,當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長(zhǎng)線時(shí),形成變式 圖形,圖形雖然變化但是求證的方法不變.此規(guī)律需通過(guò)認(rèn)真做題,細(xì)細(xì)體會(huì).(1)等腰三角形中一線三等角例1、 如圖,在 ABOK A

5、B=AG=6,BG5,D是AB上一點(diǎn),BD=2, E是BC上一動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE并作/DEF =/B ,射線EF交線段AC于F.(1)求證： DB呼AECF(2)當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí),求線段 BE的長(zhǎng);(3)聯(lián)結(jié)DF,如果 DEF與DB回目似,求FC的長(zhǎng).講解：1、此題中,第一問(wèn)的結(jié)論是這類題共同的特性,只要等腰三角形底邊上有三等角,必有三角形相似；2、第二問(wèn)中根據(jù)相似求線段的長(zhǎng),也很常見(jiàn)；有時(shí)候會(huì)反過(guò)來(lái)問(wèn),線段的長(zhǎng)是多少是,三角線相似.變式練習(xí)1就是這類題型；3、第三問(wèn)中間的三角形與左右兩個(gè)形似時(shí)有兩種情況,一種是DF與底邊平行,一種是E為中點(diǎn);文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用4、在等腰三角形,將腰延長(zhǎng)會(huì)交于一

6、點(diǎn),也構(gòu)成等腰三角形,故而以上三點(diǎn),在等腰梯形中也適用.變式練習(xí)1 浦東新區(qū)22題BC、AC 上,BD = 3, E 為 AC 中如圖,等邊 ABC的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)D、F、E分別在邊 AB、點(diǎn),當(dāng) BPDA PCE相似時(shí),求BP的值.如圖6,A ABC中,AB = AC-忒E、F在邊BC上,滿足/2EAF =/C.求證：BF CE=AB ；變式練習(xí)3如圖,在三角形ABC中,AB=4, AC=2 / A =90,點(diǎn)D為腰AC中點(diǎn),點(diǎn) E在底邊 BC上,且 DE,BD,求 CED的面積.變式練習(xí)4/ ABC=90 , AD/ BC, P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在射線AB上,且滿足PQ =膽,當(dāng)AD

7、Y AB ,且點(diǎn)PC ABQ在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),求 ZQPC的大小.文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用A(2)等腰梯形中一線三等角例1、(長(zhǎng)寧區(qū)18題)如圖,等腰梯形 ABCD中,AD/BC, AD=J2, BC = 4J2 , / B = 45?,直角三 角板含45度角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng),一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,斜邊與CD交于點(diǎn)F .假設(shè) ABE為等腰三角 形,那么CF的長(zhǎng)等于例2、如圖,梯形 ABC由,AB/ DC ZB=90 , E為BC上一點(diǎn),心 ABa ECD(1)假設(shè) BC=8, AB=3, D(=4,求 BE的長(zhǎng)(2)假設(shè) BC= 473 , AB=3 DG4,求 BE的長(zhǎng).(3)假設(shè) B

8、C=6, AB=3, D(=4,求 BE的長(zhǎng).例 3、如圖,梯形ABCM,AB/CD / ABC=900 AB=8,CD=6 在AB上取動(dòng)點(diǎn) P,連結(jié)DP,PPQL DP,使得 PQ交射線BC與點(diǎn)E,設(shè)AP=x, BE=y.(1)當(dāng)BC=4時(shí),試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)BC在什么范圍時(shí),存在點(diǎn) P,使得PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C (直接寫(xiě)出結(jié)果)例4、(徐匯區(qū)25).如圖,在梯形 ABCD中,AD / BC , AB = CD = BC =6 , AD = 3 .點(diǎn) M 為邊 BC 的文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用中點(diǎn),以M為頂點(diǎn)作/EMF =NB ,射線ME交腰AB于點(diǎn)E ,射線MF交腰CD于點(diǎn)F ,聯(lián)結(jié)EF

9、.(1)求證： MEF BEM ; (2)假設(shè) BEM是以BM為腰的等腰三角形,求 EF的長(zhǎng);(3)假設(shè)EF 1CD ,求BE的長(zhǎng).例 4、(楊浦區(qū)根底考)四邊形 ABCD 中,AD / BC , NABC(0,90 ), AB = DC = 3, BC=5 .點(diǎn)P為射線BC上動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),點(diǎn)E在直線DC上,且ZAPE=a .記NPAB = N1,/EPC=N2, BP =x, CE =y .(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),寫(xiě)出并證實(shí) /1與/2的數(shù)量關(guān)系；(2)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),(1)中得到的關(guān)于 /1與/2的數(shù)量關(guān)系,是否改變？假設(shè)認(rèn)為不改變,請(qǐng)證實(shí)；假設(shè)認(rèn)為會(huì) 改變,請(qǐng)求出不同于(

10、1)的數(shù)量關(guān)系,并指出相應(yīng)的 x的取值范圍；(3)假設(shè)cos a =1,試用x的代數(shù)式表示 y .3(3)坐標(biāo)系中一線三等角4例1、(金山區(qū)24)如圖,住平面直角系中,直線 AB ： y = x+4(a #0)分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn),直 a線AE分別交x軸、y軸于E、A兩點(diǎn),D是x軸上的一點(diǎn),OA= OD ,過(guò)D作CD _L x軸交AE于C ,連接B C ,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)B在線段OD上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn) .點(diǎn)D重合)且AB_L BC時(shí)(1)求證：AABOs ABCD ; (2)求線段CD的長(zhǎng)(用a的代數(shù)式表示)；13(3)假設(shè)直線AE的萬(wàn)程是y = x + b ,求tan/BAC的值.16文案大全標(biāo)準(zhǔn)

11、實(shí)用1例2、如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線 丫=一*+2與*軸, 2軸分別交于A, B兩點(diǎn),以A B為邊在第二象限內(nèi)作,求點(diǎn)D的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系 XOY中,AAOB的位置如下圖,/AOB =90O,/A = 60,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為J3,1)如下圖:(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo);求函數(shù)解析式.(2) 假設(shè)拋物線y = ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、Q B三點(diǎn),2RM AO抻/ACB=90 , OA=4, OB=2點(diǎn)B在反比仞函數(shù) y =一圖像上,求過(guò)點(diǎn) A的雙曲線解析式.文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,四邊形O A B C是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,將邊

12、BC折疊,使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn) D處.折疊線 CE且CE=5,5,一3 tan / EDA =一,求直線C E與x軸父點(diǎn)的坐標(biāo);4OBL OA且OB= 20A點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一1, 2).求過(guò)點(diǎn)A、O B的拋物線的表達(dá)式;AD=6,點(diǎn)P是射線DA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將三角板C ,另一直角邊交射線 BA于點(diǎn)E .例6、(長(zhǎng)寧區(qū)24題).如圖,在矩形 ABCD中,AB =4,的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)P,三角板兩直角中的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)判斷 EAP與 PDC一定相似嗎？請(qǐng)證實(shí)你的結(jié)論；(2)設(shè)PD =x , AE = y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出它的定義域；(3)是否存在這樣的點(diǎn) P,是 EAP周長(zhǎng)等于

13、PDC周長(zhǎng)的2倍？假設(shè)存在,請(qǐng)求出 PD的長(zhǎng)度；假設(shè)不存在, 請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用“一線三等角專題練習(xí)、知識(shí)梳理:1、如圖1,AB= AC, / B= / ADE那么一定存在的相似三角形有AB= AC, / B= / EDF2、如圖2,那么一定存在的相似三角形有3、在等腰 ABC中,月長(zhǎng)10厘米,底邊長(zhǎng)16厘米,點(diǎn)P在底邊上以0.5厘米/秒的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí),點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 秒.二、經(jīng)典例題解析1、如圖,在A ABC3, AB=AC=4, BC= 6, / B= /ADE點(diǎn)D、E分別在 BC AC上(點(diǎn) D與R C不重合),設(shè)BD= x ,

14、 AE= y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及 x的取值范圍.2、如圖：在直角梯形 ABCD43, AD/ BC, / B = 90 , DHL BC于 H, AB = 6 , BC = 16 , DC = 10 ,線段 BC上有一動(dòng)點(diǎn)E (不與點(diǎn)C重合),過(guò)點(diǎn)E作EFL DC交線段DC于點(diǎn)F.(1)求CH的長(zhǎng)；(2)設(shè)BE = x , EF = y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；(3)當(dāng)以E、F、C為頂點(diǎn)的三角形與 ABE相似時(shí),求BE的長(zhǎng).文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用C3、如圖,在 RtABC中,/ ACB=90o , AB=10, AG6,點(diǎn)E、F分別是邊 AC BC上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn) E作ED A

15、B于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)F作FGL AB于點(diǎn)G DG的長(zhǎng)始終為2.(1)當(dāng)A33時(shí),求DE的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)E、F在邊AC BC上移動(dòng)時(shí),設(shè) AD=x, FG = y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；(3)在點(diǎn)E、F移動(dòng)過(guò)程中, AEDfCEFt歸否相似,假設(shè)能,求AD的長(zhǎng)；假設(shè)不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)S.DmF4、在梯形 ABC珅,AD/ BC A* BC且BC=6 , AB=DG4,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).(1)如圖3, P為BC上的一點(diǎn),且 BP=2.求證： BEMACPD(2)如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)(點(diǎn) P與點(diǎn)R C不重合),且滿足/ EPf=ZC, PF交直線CD于點(diǎn)F,同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M

16、那么當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí),設(shè) BP=x, DF=y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；9c SEP時(shí),求BP的長(zhǎng).5、(2021閘北22題)(此題總分值10分,第(1)小題總分值3分,第(2)小題總分值7分)如圖七,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABO等腰才!形,CB/ OA文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用OA=7, AB=4, / COA=60,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn) P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連結(jié)CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連結(jié)PD.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);P的坐標(biāo).5cosB=_, D是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn) E、F分在邊 AR AC上,且/ EDFW B,連6、如圖,在 ABC中,AB=AC

17、=8接EF.(1)如果BE=4,求CF的長(zhǎng)；(2)如果EF/ BC,求EF的長(zhǎng).7、(徐匯2021年25題)如圖,AABC中,AB = AC=10, BC =12,點(diǎn)D在邊BC上,且BD = 4,以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作/EDF =/B,分別交邊 AB于點(diǎn)E,交射線CA于點(diǎn)F .(1)當(dāng)AE =6時(shí),求AF的長(zhǎng)；(2)當(dāng)以點(diǎn)C為圓心CF長(zhǎng)為半彳的.C和以點(diǎn)A為圓心AE長(zhǎng)為半彳的.A相切時(shí),求BE的長(zhǎng)；(3)當(dāng)以邊AC為直徑的.O與線段DE相切時(shí),求BE的長(zhǎng).知識(shí)總結(jié):補(bǔ)充：關(guān)于“一線三等角圖形的提煉及變式:文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用當(dāng)a為銳角時(shí):總結(jié):在教學(xué)中要突出重點(diǎn)、深化學(xué)生對(duì)于“一線三等角模型的理解；把握難

18、點(diǎn)：“一線三等角模型變式;通過(guò)問(wèn)題建構(gòu),關(guān)注課堂再生資源的挖掘,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于幾何綜合習(xí)題的有效分解具體的1 .在教學(xué)中通過(guò)“回憶舊知環(huán)節(jié)的師生互動(dòng)過(guò)程讓95盼生掌握解函數(shù)型綜合題需要的必備知識(shí)儲(chǔ)藏.2 .在教學(xué)中通過(guò)一個(gè)“一線三等角模型綜合題的有效分析引導(dǎo)過(guò)程,讓95%勺學(xué)生樹(shù)立幾何型綜合題的解決的信心,讓75%勺學(xué)生能夠順利解決前兩小題,培養(yǎng)更多的學(xué)生具備解決最后壓軸點(diǎn)一小題的水平.3.在教學(xué)中通過(guò)有效分解策略的實(shí)施,打破他們對(duì)綜合題的畏懼心理,讓同學(xué)們加深對(duì)于題目條件的使用：條件用完,即使題目沒(méi)有求解完畢,也得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù),提升問(wèn)題解決的水平,在這個(gè)師生共同探討的過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生嘗試著增強(qiáng)解

19、后反思與培養(yǎng)他們欣賞試題的水平.【課后作業(yè)】1、如圖,正方形 ABC曲邊長(zhǎng)為4, P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn).將一把三角尺的直角頂點(diǎn)與 P重合,一條直角邊 始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一條直角邊所在直線與射線AD相交于點(diǎn)E.設(shè)CP=x DE=y.(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí),求證： BPS APED(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí),求 y與x的函數(shù)解析式及自變量 x的取值范圍；(3)當(dāng)DE=1時(shí),求CP的長(zhǎng).文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用2、如圖,在矩形 ABCD中,E為AD的中點(diǎn),EF _LEC交AB于點(diǎn)F ,聯(lián)結(jié)FC(ABAE).(1) 4AEF與4EFC是否相似？假設(shè)相似,證實(shí)你的結(jié)論；假設(shè)不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)設(shè)

20、AB =k ,是否存在這樣的k值,使得AEFBFC ?假設(shè)存在,證實(shí)你的結(jié)論并求出k的值；假設(shè)不BC存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(第12題)3、等腰 ABC AB=AC=8, / BAC=120 , P為BC的中點(diǎn),小慧拿著含 30角的透明三角板,使 30角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P,三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn).(1)如圖a,當(dāng)三角板的兩邊分別交 AR AC于點(diǎn)E、F時(shí).求證：BP卜 ACFP;(2)操作：將三角板繞點(diǎn) P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時(shí),三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊 AC于點(diǎn)E、F.探究1: BPE與 CFP還相似嗎？(只需寫(xiě)出結(jié)論)探究2 :連結(jié) EF, BPE與 PFE是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由;設(shè)EF=m EPF的面

21、積為S,試用m的代數(shù)式表示 S.Pa4、如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCDK點(diǎn)E在邊BC上(與端點(diǎn)不重合),點(diǎn)F在射線DC.(1)假設(shè)AF=AE并設(shè)CE=x, 4AEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域;(2)當(dāng)CE的長(zhǎng)度為何值時(shí), AE林口 EC耕目似？一41 一 一一.(3)假設(shè)CE =一,延長(zhǎng)FE與直線AB交于點(diǎn)G,當(dāng)CF的長(zhǎng)度為何值時(shí), EAO等腰三角形？4文案大全5、如圖,在 ABC, AGBC=2,/C=900,點(diǎn)D為腰BC中點(diǎn),點(diǎn)E在底邊AB上,且DEI AD那么BE的長(zhǎng)為.6、如圖,？ ABC中,/ ACB=90 , / A=60, AC=2CD AB,垂足為D.任意彳EDF=60,點(diǎn)E、F 分別在