導(dǎo)數(shù)法證明正整數(shù)不等式

1、導(dǎo)數(shù)法證實(shí)正整數(shù)不等式利用構(gòu)造函數(shù)的,通過研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值等得到實(shí)數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的不等 式,通過對實(shí)數(shù)賦值使之與正整數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系,進(jìn)而證實(shí)正整數(shù)的不等式是不等式證實(shí)中的一個(gè)重要方面.這類問題有如下幾個(gè)根本類型.1.單變量的正整數(shù)不等式.【典例1】設(shè)函數(shù)f(x)=x即當(dāng)b 時(shí),函數(shù)f(x)在定義域1,上單調(diào)遞增. (II )分以下幾種情形討論：+b ln( x+1),其中bw.(I )當(dāng)b>2時(shí),判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；2(n)求函數(shù)f( x)的極值點(diǎn)；(m)證實(shí)對任意的正整數(shù)n,不等式(I)函數(shù) f (x)x2 bln(x,11ln( ( 1)空1)的定義域?yàn)?.、-

2、3 )都成乂 . n1,.f'(x)2x2x2 2x bx 1令 g(x)2x2 2x那么g(x)在1,上遞減,g (x)ming(,1當(dāng)b 1時(shí),22g(x) 2xg( x)min2x b1, c一b 0, 2, 0在 1,上恒成立.f (x)0,(1)由(I)知當(dāng)b1-,3時(shí)函數(shù)f(x)無極值點(diǎn).(2)f'(x)1.22(x -)2 ,xx 11,時(shí),(x)0,(3)x1此時(shí)1 2,1時(shí),20時(shí),1,時(shí),函數(shù)1一時(shí),2x1f (x)在f (x)f (x)在解 f (x)421,0,1,上無極值點(diǎn).0得兩個(gè)不同解為1'12b/21,x21,12b2 ' x2.

3、12b 彳丁 1,1.'12b2上有唯一的極小值點(diǎn)x21 .12b2.1 一,b 一時(shí),x1,x21,2f (x)在 1,Xi , X2,者B 大于 0 , f (x)在(Xi,X2)上小于 0 ,X2此時(shí)f (x)有一個(gè)極大值點(diǎn)X11.1 2b2和一個(gè)極小值點(diǎn)X2綜上可知,b 0時(shí),f(X)在 1,上有唯一的極小值點(diǎn) x21 .1 2b 21 1 2b2,一 1 -0 b 一時(shí),f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)x1 21 .1 2b2 ,1b 一時(shí),函數(shù)f (x)在 1,上無極值點(diǎn).2(III )只要證實(shí)了對 x (0,1,實(shí)數(shù)的不等式1 .1 2b2和一個(gè)極小值點(diǎn)23 一 ln(1 x) x

4、 x即可,構(gòu)造函數(shù)一23f(x) ln(x 1) x x,而且f(0) 0 ,因此我們只要證實(shí)這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(0,1單調(diào)遞增即可證實(shí)需要的不等式.當(dāng) b1 時(shí),f(x)x2n(n 1)ln(x 1).令 h(x)x3f (x)x3x2 ln( x1),那么h1(x)3,(X步在0, 上恒正,x 1h(x)在0,上單調(diào)遞增,當(dāng)x 0,時(shí),恒有h(x) h(0) 0.即當(dāng) x 0, 時(shí),有 x3 x2 ln(x 1) 0, ln(x 1) x2 x3,1111對任意正整數(shù)n,取x 1得ln('1)2 T n n n n【點(diǎn)評】使用導(dǎo)數(shù)方法證實(shí)正整數(shù)的不等式,首先要根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造在一個(gè)

5、實(shí)數(shù)區(qū)間上的函數(shù),這個(gè)區(qū)間要包含所要證實(shí)的不等式中離散的變量的所有取值.2【典例2】對任意正整數(shù)證實(shí)不等式0.1n n(n 1) 2 n n【分析】這個(gè)不等式中的一個(gè)根本量是n(n 1),為了更加簡化問題,我們把不等式進(jìn)1 n(n 1)f(x) ln X2 x一步變形為ln n(n 1)20 ,這樣我們可以構(gòu)造函數(shù)2 .1n(n 1),2我們只要證實(shí)函數(shù)即 f(x) 2ln x ,而且 Jn(n 1 1 , f(1) 0 ,x,2._1 x2 .,一一 f(x) 2ln x 在(1,)內(nèi)單調(diào)遞減即可到達(dá)解決問題的目的.x【證實(shí)】構(gòu)造函數(shù)f(x)2ln x 必,x 1,),21那么 f '

6、;(x) 2 -12 1X X調(diào)遞減,所以f(x) f (1)一 .22x 1 x2x0,所以lnx2(x 1)22X1 X20 ,故函數(shù)f (x)在區(qū)間1,)內(nèi)單人 n(n 1),入0,令x V 2即證實(shí)了所要的不等式.【點(diǎn)評】此題中的不等式含有一個(gè)根本量,便于構(gòu)造函數(shù),構(gòu)造函數(shù)時(shí)要盡可能使得函數(shù)簡單、通過換元的方法就簡化了這個(gè)不等式,這樣函數(shù)的導(dǎo)數(shù)容易求出.此題中證實(shí)的不1-)在1, x尸 2 1 x1等式 lnx 0 ln x (xx22.疊加法證實(shí)正整數(shù)的一元不等式21.(本小題總分值14分)函數(shù)f (x)axbc(a 0)的圖象在點(diǎn)(1, f(1)處的 x切線方程為y x 1.(I

7、)用a表不出b, c;(II )假設(shè) f (x)In x在 1,上恒成立,求a的取值范圍;(III )證實(shí)：1ln( n(n1)1).解：(I)f'(x),那么有f(1)f'(1)a b 1,0,解得a 1,1 2a.(II )由(I)知,f(x)ax1 2a.令 g(x)f(x)In xaxxa 1T x2a ln x, x1,那么 g(1)0, g'(x) a_ 2ax x (a 1)a(x2 xa 1.1 a、 1)(x ) a2 xg(1) Q即 f (x)lnx,故f(x) Inx在1,上不恒成立.1 a 1,那么g (x) 0, g(x)是減函數(shù),所以g(x

8、) a11 a da 一時(shí),1.2 a0,假設(shè)x 1,那么g'(x) 0,g(x)是增函數(shù),所以g(x) g(1)即 f(x) In x,故當(dāng) x 1 時(shí),f(x) In x.一,一一 1綜上所述,所求a的取值范圍為 一2(II )分析】這種不等式不等式靠構(gòu)造單一的函數(shù)解決,必需通過構(gòu)造函數(shù)得到不等式后,通過疊加的方法解決.1 一,解法一：由(II )知：當(dāng)a 時(shí),有f(x) ln x(x 1)2且當(dāng)1 ,2,有 f(x)x 1 時(shí),1(x2U,有 ln k3(x1) x1k1)ln x(x 1). xln x.rr11即 ln(k 1) ln k (2 k),k將上述n個(gè)不等式依次相

9、加得ln(n1) 2(2-) n整理得ln(n解法二：用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊k 11-(1-)(1k 12k1,2,3,n.,2(n 1)1)2(n 1)1,不等式成立.(2)假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,就是、ln(k 1)2(k 1)那么11 _±_k k 1ln(k 1)2(k 1)由(II)知：當(dāng)1 ,2,有 f(x)1 萬時(shí),有 f (x) ln x(x11(x ) ln x(x 1).2x1).得:ln(kln(k1)122(k 1)1 kln(k這就是說,當(dāng)根據(jù)(1)和2)2(kln(k 2)2) k 12(k 2)n=k+1時(shí),不等式也成立.(2

10、),可知不等式對任何 n一* 一N都成立.【點(diǎn)評】通過疊加不等式是證實(shí)該類不等式的重要技巧, 般項(xiàng)進(jìn)行放縮的方法,此題的技巧是極高的.2._ 2_2ln 2 ln 32_22232III2_ 2ln n 2n n 12_n22(n 1)(n N, n【分析】變通不等式 x ln(1 x)為lnx x 1對xln(k 1)2(k 1)2) ln(k 1).這里使用的是對不等式中的一2).0成立.那么ln n22-n,ln2222n2 1nln32(n 1)321(22132(n 1)11 (- n2ln nn(1n 1122).)(1(n 1)磊)51(2-(113"4) n1n(n

11、1)-2,)2n n 12(n 1),結(jié)論成立.評】1.利用函數(shù)的單調(diào)性證實(shí)下面不等式,并通過函數(shù)圖象直觀檢驗(yàn)(1) sinx x, x (0, ) ; (2) x x2(3) ex1x, x0 ; (4) ln x x0 ；xe ,x 0.其中(3)、(4)是高考中在函數(shù)導(dǎo)數(shù)解做題、數(shù)列解做題中不等式的一個(gè)根源所在.不等式ex 1 x在x 1時(shí)等價(jià)于x ln(1 x).3.正整數(shù)的二元不等式 【典例4】證實(shí)：當(dāng)1 【分析】要證：(1 1mm)nn 0時(shí),(1 m)n (1 n)m.(1n)m 只需證 n ln(1 m) mln(1n),只需證:ln(1 m)mln(1 n)n設(shè) g(x)ln

12、(1 x)-,(x 0), x(1 x)ln(1 x)在(0,那么g/(x)單調(diào)遞減.x- ln(1 x)1 x2xx ln(1 x)2°x (1 x)x (1 x)ln(1 x) 0,即g(x)是減函數(shù),而 g(m) g(n),故原不等式成立.4.非正整數(shù)的二元不等式m n1 .設(shè)m, n R,且m n ,求證：2顯然要證實(shí)的不等式中含有一個(gè)根本的ln m ln n【分析】構(gòu)造函數(shù),使用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證實(shí).量m,以這個(gè)量為自變量把不等式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的不等式,再構(gòu)造函數(shù).由于交 n換m, n不影響不等式的結(jié)構(gòu),故可以設(shè) m n.m 1原不等式等價(jià)于不等式n一mlnn1-,即

13、lnm n2(m 1) nm-n.,即 ln mn一 1 n設(shè) h(x) lnx 2(x 1),可以證實(shí)這個(gè)函數(shù)在x 1(1,)上是單調(diào)增函數(shù),又m 1 nm .一1 , n所以h(m) nh(1) 0,所以 ln m n2(m 1)nm 10成立,所以 m nln m ln nn2.函數(shù)f (x) (bx c)ln x在1,x 一處取得極值,且在 x 1處的切線的斜率為1. e(I)求b,c的值及f(x)的單調(diào)減區(qū)間;(n)設(shè) p>0, q>0, g(x) f (x) x2,求證：5g(3p 2q)3g( p) 2g(q).5一-121.解：(I) f (x) bln x (bx

14、 c)-x.1、一 . .1 bf (-) 0, 1- bln - (- c) e 0,即 b b e c 0, c 0 3分ee ef (x) b In x b ,又 f (1) 1,.二 bln1 b 1 , b 1綜上可知b 1,c 04 分f (x) xln x ,定義域?yàn)?x>0, f (x) In x 1,r1 1由f(x)0得Ovxv1,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,)ee(n)先證 5f (3p 2q) 3f (p) 2f (q) 5即證 5 3P $ 2q ln 3P $ 2q 3p ln p 2qln q7 分2t 5t一 ln33 2t即證：3pln 3P 2q 2q

15、ln5q5p3p 2q人 q一 . 3 2t令 h(t)ln" ZLln盤533 2t令t , , - p >0, q >0 ,.二 t >0,即證 ln -一 3 2t 22t那么 h(t) ln -t ln(5t) ln(3 2t)5335222t522t2213 2t h (t) ln(5t) ln(32t) - - ln3 2t 5 33 5t 33 3 2t 3 5t .一,3 2t 當(dāng) 3 2t >5t,即 0v tv 1 時(shí),ln>0,即 h(t)>05th(t)在(0, 1)上遞增,h(t)vh(1)=0,一 .一一 一 .3 2t

16、 一 .當(dāng) 3 2t5t,即 t>1 時(shí),ln =<0,即 h (t) <05th(t)在(1, +8)上遞減,h(t)vh(1) = 0, 當(dāng) 3 2t = 5t,即 t = 1 時(shí),h(t) = h(1) = 0綜合知h(t) 0即ln 32 紅ln - 533 2t即 5f(3p產(chǎn))3f(p) 2f(q) 5又 5()2 (3p2 2q2)0555 (3)2 3p2 2q25綜上可得 5g(3p 2q) 3g(p) 2g(q)522、(此題總分值12分)函數(shù)f(x)1 ln x(I )假設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,a -1)2(其中a 0)上存在極值,求實(shí)數(shù) a的取值范圍;(n)

17、如果當(dāng)x 1時(shí),不等式f(x)n(in)求證 ln kk 1ln(k 1)上恒成立,求實(shí)數(shù)x 1n 1*(n N )n 1k的取值范圍;解：(I )由于f (x)當(dāng) 0 x 1 時(shí),f (x)1 ln xx0 ;當(dāng)x1時(shí),所以f(x)在(0, 1)上單調(diào)遞增；在所以函數(shù)f (x)在x 1處取得極大值.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a 1)(其中(1,)上單調(diào)遞減,0)上存在極值,a所以aa 1.(n)不等式f (x),即為(x 1)(1lnx)k,記 g(x)(x 1)(1 In x)所以g (x)(x 1)(1 In x) x (x 1)(1 In x)ln x-2 x1令 h(x) x ln

18、 x,那么 h (x) 1 - xh(x) 0.h(x)在1,故 g(x)在1,)上單調(diào)遞增,)上也單調(diào)遞增,h(x)ming(x)mih(1) 1m g(1)(m)由(n)知:f(x) x-恒成立,即lnx10,2 , x 1從而g (x)所以k 2令 x n(n 1),那么lnn(n 1) 1 2 n(nln(3 4) 123-4,ln n(n 1) 1所以1)n(n 1)ln(12)疊加得:nlnk 1k ln(k 1) n12(1 滔)2, ln(23)3.(對數(shù)函數(shù)+一次函數(shù)型)(本小題總分值14分)設(shè)函數(shù)f (x)=ln xpx1(l)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);(n)當(dāng)p>0時(shí),假設(shè)對任意的x>