山西省晉中市2020屆高三下學(xué)期一模(普通招生考試模擬)數(shù)學(xué)(理)試題

1、2020年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)（理科）（本試卷考試時間120分鐘，滿分150分）23參考公式:錐體的體積公式:1V Sh3（其中S為錐體的底面積，h為錐體的高）.、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .集合AA. 0,2)B. (1,C. 0,1) D. ( 2,1)2.若復(fù)數(shù)R,i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則 a的值為（A.B.C. 1D.3.r若|a |2,r|b|1,且r(ar4b）,則向量r ra,b的夾角為（A.30B.60C.120D.1504.若xy,則下列不等式恒成立的是1 b. tanx tany yC

2、.ln(xy) 01D. x3x 2- 0 , B x|y ®，則 0A I B5 .給定下列四個命題，其中真命題是（A.垂直于同一直線的兩條直線相互平行B.若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行C.垂直于同一平面的兩個平面相互平行D.若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直6 .已知拋物線的焦點在y軸上，頂點在坐標(biāo)原點 O,且經(jīng)過點P x0,2 ,若點P到該拋物線焦點的距離為3則|OP|等于（）A, 272B, 273C. 4 D, 27527.已知函數(shù) f(x) sin wx1 ,-(0)的最小正周期為，若將其圖象沿 x

3、軸向右平移a(a 0)個單位，所得圖象關(guān)于x 一對稱，則實數(shù)3a的最小值為(3A. B . - C.D.1.6mg/ mL ,8.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)規(guī)定:100mL血液中酒精含量達到 20,80)mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了若在停止喝酒后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，要想安全駕駛，那么他至少經(jīng)過(C. 6小時已知a為正整tan1 lgatan一, 則當(dāng)函數(shù)4f(x) asin 、3cos (0,)取得最大值時,2B.3C.4D.310.某同學(xué)10次測評成績的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，總體的中

4、位數(shù)為12,若要使該總體的方差最小，則4x 2y的值是(A. 1214C.161l.已知雙曲線2 c x C:ab2 一 . 一、一 21(a 0,b 0)與圓 O:x. 2b相交于A,B,C,D四點，如圖所示，點F是雙曲線C的左焦點，且|AF|3| CF |,則雙曲線C的離心率為A.夜 B.百 C, 2 D, 75212 .函數(shù)f(x)2x1, g(x) x2x4 ,右存在Xi,X2,L , Xn1,5),其中 nN 且 n- 2 ,使得f x1f x2Lfxn 1 g xngx1g x2 L g xn 1fxn ,貝1J n的最大值為()A. 8B. 9C.10D. 11二、填空題：本題共

5、 4小題，每小題 5分，共20分.13 .某籃球運動員罰籃命中率為 0.75,在一次罰籃訓(xùn)練中連續(xù)投籃50次，X表示投進的次數(shù)，則E(X) .14 .已知函數(shù) f (x)是奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時，f(x) loga(x 1)(a 0 且 a 1),且 f log0.5162,則a .15 .現(xiàn)有一副斜邊長為10的直角三角板，將它們斜邊 AB重合，若將其中一個三角板沿斜邊折起形成三棱錐A BCD ,如圖所示，已知 DAB , BAC ，則三棱錐A BCD的外接球的表面積為；該6416 .在VABC中，內(nèi)角A, B,C所對應(yīng)的邊分別為 a,b,c,且asin2B bsin A 0 ,若VABC的面

6、積S J3b ,則VABC面積的最小值為 .三、解答題：共 70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17 . (12分)2020年新年伊始，新型冠狀病毒來勢洶洶，疫情使得各地學(xué)生在寒假結(jié)束之后無法返校，教育部就此提出了線上教學(xué)和遠程教學(xué)，停課不停學(xué)的要求也得到了家長們的贊同.各地學(xué)校開展各式各樣的線上教學(xué)，100名學(xué)生某地學(xué)校為了加強學(xué)生愛國教育，擬開設(shè)國學(xué)課，為了了解學(xué)生喜歡國學(xué)是否與性別有關(guān)，該學(xué)校對進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表:喜歡國學(xué)不喜歡國學(xué)合計男生2050女生10合計100(1)請將

7、上述列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡國學(xué)與性別有關(guān)系?6人成立國學(xué)宣傳組,X ,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)針對問卷調(diào)查的100名學(xué)生，學(xué)校決定從喜歡國學(xué)的人中按分層抽樣的方法隨機抽取并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長，設(shè)這兩人中女生人數(shù)為K2n(ad bc)2(a b)(c d)(ac)(b d)18.( 12分)已知三棱錐PABC中，VABC為等腰直角三角形，BAC 90 , PB 平面ABC，且PB AB,(2)求銳二面角 P AE F的余弦值.參考數(shù)據(jù):P K2- k00.150.100.050.0250.0100.0050.001kO2.0

8、722.7063.8415.0246.6357.87910.82819. (12分)(1)求數(shù)列an的通項公式及前n項和Sn ；設(shè)bn(1)nSn,求 bn 前 n 項和 Tn .已知等差數(shù)列an前n項和為Sn , a5 9 , S5 25 .22x y .,._20.(12分)設(shè)橢圓e：f 、 1(a b 0)長軸長為4,右焦點F到左頂點的距離為3.a b(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)過原點 O的直線交橢圓于A,B兩點(A, B不在坐標(biāo)軸上)，連接 AF并延長交橢圓于點C ,若 uuur uuu uuirOD OA OC ,求四邊形ABCD面積的最大值.21. (12分)已知函數(shù) f(x)a

9、lnx a 1(1)求f(x)在點(1,f(1)處的切線方程；(2) (i)若xf(x), x 1恒成立，求a的取值范圍；f(2)f(3) f(n) n 13(i)當(dāng) a 1 時，證明 .23n 2 2n 2 4(二)選考題：共 10分.請考生在第 22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22 .【選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】(10分)x 2cos ,在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(參數(shù)).以原點。為極點，x軸正半軸為極軸y 2 2sin建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為一.26(1)求曲線 G的普通方程和 C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程

10、為4cos ，點A是曲線C2與Ci的交點，點B是曲線C3與C2的交點，且AB均異于極點O,求| AB|的值.23 .【選修45:不等式選講】(10分)已知關(guān)于x的函數(shù)f(x) | x 1| |x a |.(1)若存在x使得不等式f(x), 3a 1成立，求實數(shù)a的取值范圍；1 _,一(2)若f(x), |x 3|的解集包含一,2 ，求a的取值范圍.22020年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)(理科)答案題號123456789101112答案CDBDDBBCCABCB x|y2因為集合A x|x%A2ax|x 2 或 x 1I B 0,1）.故本題正確答案為ERA X|C.x 1答案：C12.解

11、析：一2aii(1ai)(2i)(2i)(2i)(1 2a)i5由題意知2 a51 2a0,解得a0,2.故選D.答案：D3 .解析：根據(jù)題意,r由于向量|a| 2r|b|r r 且a (ar4b)r(ar4b)2ar r 4abr r 故 cos a,br ra b-rr-|a| |b|故可知向量a,b的夾角為故選B.答案：B4.解析：若A錯誤；若Xtan x tan y ,所以 b 錯誤；對于由于對數(shù)函數(shù)y ln x在（0,）上單調(diào)遞增Qx當(dāng)0 x y 1時，ln(xy)ln1 0c選項中的不等式不恒成立；若x1x3在（）上單調(diào)遞增，所以1x31y3,所以D對.故選D.答案:5 .解析：正

12、方體同一頂點的三條棱兩兩垂直，所以A錯誤；若一個平面內(nèi)的兩條直線平行，兩平面可以相交,C錯誤.所以答案選D.B錯誤；正方體的前面和側(cè)面都垂直于底面，這兩個平面不平行, 答案：D6.解析：由拋物線定義知， ； 2 3,所以p 2,拋物線方程為x2 4y ,因為點P x0,2在此拋物線上,所以x2 8,于是|OP | 7x2 4 2日故選B.答案：B7 .解析：由函數(shù)f (x)sin2112x-cos2x的周期為一222一、 1 八1,故 f (x) cos2x ,將2其圖象向右平移a個單位可得12 cos2(x a)的圖象，根據(jù)共圖象關(guān)于x 一對稱，可得322a k所以實數(shù)a的最小值為一.故選3

13、B.答案：B8.解析:1.6100 160mg，則160(10.3)n 20 ,即 0.7n0.49 - 231一 ,20.75故選C.答案：C9 .解析：由條件知一，則由 4tan()1,得 tan(tan tan1 tan tan(1 lga)lg1 (1 lg a)lg即(1 lga)lg a110(舍去)，則f (x)sin3 cos2sin0,所以答案：C10.解析：因為中位數(shù)為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為:要使方差最小，所以當(dāng)且僅當(dāng)x 1.4答案：A3 3一，即2時,函數(shù)f(x)取得最大值，故選C.x12,所以21(2 2 3 4102(10 x 11.4)2y 1.4時取等號，即10(104.

14、11.解析：設(shè)雙曲線的右焦點為F2,根據(jù)對稱性知線上，所以|AF | AF2101919 2021) 11.4,211.4)2(x221.4)2(y 1.4)2-22x y 2.820.72,2時，總體方差最小，此時4x 2yAFCF2是平行四邊形，所以有2a ,因為 | AF | 3| CF |,所以 | AF | AF?AF2|CF |,又點A在雙曲3| CF | |CF | 2|CF | 2a ,即|CF | a ,而在三角形 OFC中,|FC | a, |OC | b, |OF| c ,所以三角形 OFC為直角三角形，且OCF 90 .在三角形AFC中,|AF| 3a,|CF| a,|

15、AC|2bACF902所以9a4b2,2 一 2即2a b ,所以雙曲線的離心率B.答案：B12.解析：令h(x)g(x)f(x)4x5,則f x1f x2xn 1g xig x2xn 1f xng xnxng xfg x2f x2g xnxn 1h xnh x1h x2h xn 1 ，因為xiL,xn1,5),所以 h(x)1,10),即1,h xn10所以n1, h x1h x2Lh xn 11),xnh x2L h xn1 知，集合1,10)I n 1,10(n 1)因為且rr2,所以,10(n 1)-10,所以1, n1 10,即 2,所以n的最大值為10.故選C.答案：C13.解析：

16、由于X滿足二項分布，故E(X) 50 0.75 37.5.答案：37.514.解析：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x 0時，f(x) loga(x 1) (a 0且a 1),且 f 10go.5162,因為 log0.5 164 0 , log2164 0,且函數(shù)f(x)是奇函數(shù),f logo.5 162所以 f（4） f log216 flog0.516即 lOga（4 1）2, a23,因為a 0且a 1,所以aV3.答案：、,315.解析：因為ADBACB 90 ,AB 10 ,所以AD 5如，BD 5, AC BC因為 ADBACB90 ,所以三棱錐A BCD的外接球的直徑為AB,所以球的半

17、徑R5,故球的表面積為100 .當(dāng)點C到平面ABD距離最大時三棱錐ABCD的體積最大，此時平面ABC平面ABD,且點C到平面ABD的距離d 5,所以Va bcdVCABD1s d3 SABD d3 2 5,3125、36答案：100125二316解析：由asin2 Bbsin A2asin B cosBbsin A弦定理得2sin Asin BcosB sin Bsin A所以cosBS 1acsinB2 ac J3b,所以 42ac 4b ,由余弦定理得 b22122accosB a c ac3ac , （ac）3ac,所以 ac ,48,當(dāng)月16僅當(dāng)a c時等號成立，故 S ac12、3,

18、所以VABC面積的最小值為126.答案:12.317.解：（1）補充完整的列聯(lián)表如下:喜歡國學(xué)不喜歡國學(xué)合計男生203050女生401050合計60401002計算得K2的觀測值為k （ 16.67 10.828,60 40 50 50所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡國學(xué)與性別有關(guān)系.1什，從而需抽取男生 2人，女生410p(Xo)C21p(x1'C28 p(x2)P(X0)Cf行P(X1)互行P(X2)C426C； 1525(2)喜歡國學(xué)的共 60人，按分層抽樣抽取 6人，則每人被抽到的概率均為 人，故X的所有可能取值為 0, 1, 2.故X的分布列為:X012P

19、182151551824數(shù)學(xué)期望E(X) 012-151553_ 1一18 .解：(1)設(shè) AB的中點為 G ,連接 DG,CG ,則 DG/PB , DG - PB ,-11又 EC/PB 且 EC PB, 2EC / /DG 且 EC DG ,四邊形DGCE為平行四邊形，DE /GC ,又 DE 平面 ABC , GC 平面 ABC ,DE / 平面 ABC .(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz,令A(yù)B PB 4,則 A(0,0,0) , E(0,4,2) , F(2,2,0) , B(4,0,0) , P(4,0,4) , D(2,0,2),uuui PFuur(2,2, 4) ,

20、EFumr(2, 2, 2), AF(2,2,0),uuur uuu uur uuurPF EF0, PF AF0,uur uuu uuruurPFEF , PFAF .Q AF I EF F ,PF 平面AEF ,uuu平面AFF的一個法向量為PF ( 2,2, 4).r設(shè)平面PAE的一個法向量為 n (x, y,z),r uur 則由n AEr uurn AP2y z 0, x z 0,令 x 2 ,則 z 2 , y 1,rn (2,1,2),r uuu cos n, PFuuir PF uuu|n|PF|"6"由圖知二面角P AE F為銳角,AE F的余弦值為二面角

21、P19 .解：(1)由$5 5a3 25得a3 5 .又因為 a5 9 ,所以 d 2,n(1 2n 1)2所以 an 2n 1, Sn- n .2 bn( 1)nn2.當(dāng) n 為偶數(shù)時：Tnb1b2b3b4Lbn1bn,22242221234 L (n 1) n(2 1) (2 1) (4 3) (4 3) L n (n 1) n (n 1)1 2 3 L (n 1) nn(n 1)當(dāng)n為奇數(shù)時:Tnb1b2b3b4Lbn 2bn 1bn(n 2)2(n 1)2(2 1) (21) (4 3)(4 3) L(n1)(n 2) (n 1) (n 2)(n 2) (n 1)n(n 1)2n n(

22、n 1)綜上傳Tn ( 1) 一2一a 2,20 .解：（1）由題意可得a c(2)F（1,0）,設(shè)直線聯(lián)立x2 X4my2 y31,得 3m2 41,2,1X1, y1X2,y2因為Sabcd3SAOC3設(shè) tm2 1AC的方程為x2y 6my 9|OF I y118t23t2 1my 10.6m3rnr y1y293m2 4y23Vy1 J4y1y218 . m2 13m2 4183t1,）上單調(diào)遞減,ABCD的面積取得最大值所以當(dāng)t 1 ,即m 0時，四邊形a alnx a 121 .解：(1) f (x) 2x1 alnx(x0),f(1) a 1, f 1,所以f (x)在點(1,f(1)處的切線方程為:y (a1)(i)xf (x) aln x a 1, x 1,所以aln令 h(x)aln x x a ,則 h (x)- x.a x.1 (xx0),當(dāng)0時,h(x) x0,所以a0滿足;當(dāng)0時,h(x), 0,h(x)在(0,)上單調(diào)遞減,因為0時,h(x)0不滿足;當(dāng)a0時,x (0,a)時,h(x) 0, h(x)單調(diào)遞增;x (a,)時,