平行四邊形經(jīng)典例題

1、圖13平行四邊形基礎(chǔ)知識平行四邊形平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形義有兩組對邊分別平行的四邊 形是平行四邊形。有一個角是直角 的平行四邊形是 矩形。有一組鄰邊相等的平 行四邊形是菱形。有一組鄰邊相等且 有一個角是直角的 平行四邊形。兩腰相等的梯形是等 腰梯形。性質(zhì)1、對邊平行且相等。2、對角相等，鄰角互補(bǔ)。3、對角線互相平分1、四個角都是直角。2、對角線相等。1、四條邊都相等。2、兩條對角線互相垂 直，并且每一條對角線 平分一組對角。具有平行四邊形、矩 形、菱形的所有特 征。1、兩腰相等兩底平行2、同一底上的兩角相 等3、兩條對角線相等判 1、定義：2、判定定理：(1)兩組對邊分別相等的四 邊

2、形是平行四邊形。(2)兩組對角分別相等的四 邊形是平行四邊形。(3) 一組對邊平行且相等的 四邊形是平行四邊形。(4)對角線互相平分的四邊 形是平行四邊形。1、定義：2、判定定理：(1)對角線相等 的平行四邊形是 矩形。(2)有三個角是 直角的四邊形是 矩形。1、定義：2、判定定理：(1) 一組鄰邊相等的 平行四邊形是菱形。(2)對角線互相垂直 的四邊形是菱形。1、先證明是矩形再 證明一組鄰邊相等。2、先證明是菱形再 證一個角是直角。1、定義：先判斷是梯 形在證明兩腰相等。2、同一底上的兩個角 相等的梯形是等腰梯 形。3、對角線相等的梯形 是等腰梯形。對稱性軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱

3、圖形1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三遍的一半。2、由矩形的性質(zhì)得到直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、例題例1、如圖1,平行四邊形 ABC麗,AEL BD CH BQ垂足分別為 E、F.求證：/ BAE=/ DCF.例2、如圖2,矩形ABC由，AC與BD交于。點，BEL AC于E, CFL BD于F. 求證：BE = CF.例3、已知：如圖3,在梯形 ABC由，AD/ BC AB= DC點E、F分別在 AB CD上，且BE= 2EA CF = 2FD.求證：/ BEC =/ CFB.例4、如圖6, E、F分別是 ABCD的AD B

4、C邊上的點，且 AE = CF.(1)求證：4AB降A(chǔ)CDF(2)若 即、N分別是BE. DF的中點，連結(jié) MR EN,試判斷四邊形 MFNEt怎樣的四邊 形，并證明你的結(jié)論.例5、如圖7 ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊 AD BC分別相交于點E, F.,求證：四邊形 AFCE是菱形.例6、如圖8,四邊形ABCD1平行四邊形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點.(1)如果,則4DE冬4BFA (請你填上一個能使結(jié)論成立的一個條件) (2)證明你的結(jié)論.例7、如圖9,已知在梯形 ABC由，AD/ BCAB = DC,對角線AC和BD相交于點O,E是BC邊上一個動點(點E不與B、C兩點重

5、合)，EF/ZBD交AC于點F, EG/ AC交BD于點C.(1)求證：四邊形 EFOG勺周長等于2OB;(2)請你將上述題目的條件“梯形 ABCD中，AD/BC AB = DC'改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結(jié)論，“四邊形備用圖(1)備用圖(2)EFOG勺周長等于2OB仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證、不必證明例8、有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農(nóng)戶種植(即將梯形的面積兩等分)，試設(shè)計兩種方案(平分方案畫在備用圖13(1)、(2)上)，并給予合理的解釋.四、練習(xí)一、選擇題1.下列命題正確的是（）（A）、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形

6、(B)（C）、兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形(D)、對角線相等的四邊形一定是矩形在兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形2.已知平行四邊形ABCDJ周長32, 5AB=3BC,則AC勺取值范圍為A. 6<AC<10; B. 6<AC<16; C. 10<AC<16 ;D. 4<AC<163.兩個全等的三角形（不等邊）可拼成不同的平形四邊形的個數(shù)是（4.（A） 1延長平形四邊形(B) 2(C) 3(D)4ABCD勺一邊 AB 到 E,使 BE= BD,連結(jié) DE交 BC于 F,若/ DAB= 120°，/ CFE= 135

7、° , AB= 1 ,則 AC 的長為)(A) 1(B)(C)(D)5.若菱形abcdKA錘直平分BCF EAE= 1cm,則BD勺長是（）(A) 1cm(B) 2cm(C) 3cm(D) 4cm6.若順次連結(jié)一個四邊形各邊中點所得的圖形是矩形，那么這個四邊形的對角線（A）互相垂直（B）相等（C）互相平分 （D）互相垂直且相等7.如圖，等腰 AB計，D是BC邊上的一點，DE/ AC, DF/ AB, AB=5那么四邊形AFDE勺周長是(A) 5(B)(C) 15(D)1020FCDio:（第9題）（第7題）8.如圖，將邊長為（第8題）8cme勺正方形紙片ABC所疊，使點（第10題）哈

8、在BCii中點E處，點A落在點F處，折痕為MN則線段CN勺長是（）.(A) 3cm(B)4cm(C) 5cm9.如圖，在直角梯形 梯形的中位線的長是（ABC麗,AD/ BC（D） 6cmZB=9Cf , AC將梯形分成兩個三角形，其中 ACD是周長為18 cm的等邊三角形，則該(A)9 cm (B)12cm(c)9 cm (D)18 cm210.如圖，在周長為20cm勺DABCD3, A¥AD AG BD1交于點O, OE!B眩ADE,則ABE勺周長為（(A)4cm(B)6cm (C)8cm (D)10cm11.如圖2,四邊形ABC西矩形紙片.把紙片ABC所疊，使點B恰好落在CD邊的

9、中點E處，折痕為AF.若CD= 6則AF等于（）D(A)4百（B） 3點(C) 4 2(D) 812.如圖,已知四邊形 ABC沖，R P分另J是BG CDk的點，E、F分別是AR RP勺中點，當(dāng)點P在CD1從C向D移動而點 林動時，那么下列結(jié)論成立的是 （）A線段E用勺長逐漸增大AEC圖2AEPFG線段E用勺長不變13.在梯形ABC計,、線段E用勺長逐漸減小、線段EF勺長與點PBr C第12題圖ADAC5cmB. 7cmC.D. 6cm14.國家級歷史文化名城一一金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢.某廣場上一個形狀是平行四邊形的花壇（如圖）：如果有 AB / EF / DC,分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、

10、紫6種顏色的花.BC / GH / AD ，那么下列說法中錯誤的是（A.紅花、綠花種植面積一定相等C.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等.紫花、橙花種植面積一定相等.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等二、填空題1.如果四邊形四個內(nèi)角之比1: 2: 3: 4,則這四邊形為 形。 2.若正方形的對角線長為 2/2cm,則正方形的面積為。3 .若矩形一個內(nèi)角的平分線，把另一邊分為4cm,5cm兩部分，則這個矩形周長是4 .已知：平行四邊形ABC四周長是30cm,對角線AC, B目交于點O, 4AO的周長比 BOCJ周長長5cm ,則這個平行四邊形的各邊 長為。5 .已知：平行四邊形 ABCDK AELBC交CB的延

11、長線于點 E, AF±CD交CD的延長線于點 F, AB+ BO CA DA= 32cm, BC= 3 AB,/EAF= 2/C,則 BE長為,則/ C.6 .在平面直角坐標(biāo)系中， 點A、B、C的坐標(biāo)分別是A(-2, 5), B(-3, 1), C(1, 1),在第一象限內(nèi)找一點 D,使四邊形ABCD 是平行四邊形，那么點 D的坐標(biāo)是 .7 .已知：如圖8,正方形ABCDK 對角線ACF口 BEt目交于點Q E F分別是邊AR BC±的點，若AE= 4cm, DF= 3cm,且OEL OF,則EFD的長為DBPCAPB(2)EA96個這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖請寫出它的

12、內(nèi)角的度數(shù)或腰與底邊長度之間關(guān)系的一個正確結(jié)論*9*AC上的一個動點BC的中點N分別是邊10PM+PN的最小值是*11EDAADOEBCFBCF(12題)(13 題)COF=*13則圖中陰影部分的面積為*AAADDADOOECCBBCBEPFE的度數(shù)是10(1)中的等腰梯形(1)在四邊形ABC前矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O9 (1)是一個等腰梯形H分別是AB BD CD AC的中點，要使四邊形 EFGH到四邊形 A3B3C3D3, 依此類推，求四邊形 AnBnCnDn 的面積是在四邊形 ABCD中，P是對角線BD的中點，E,F CABCD勺兩條對角線分別長 6和8,點P是對角線 D

13、C B矩形1clD1的面積為4，順次連結(jié)各邊中點得到四邊形A2B2C p2,再順次連結(jié)四邊形 A2B2C p 2四邊中點得M NB第10題圖D F-i12、如圖所示，OM!形ABCDJ對角線交點，DFF分/ AD&A什E, BCF F, / BDF=15F分別是AB, CD的中點，AD BC, PEF8.O的直線分別交AD和BC于點e、f, AB 2, BC 3,在平行四邊形 ABC而B+/ D,則/ A=17、一個平行四邊形的周長為70cm,兩邊的差是10cm,則平行四邊形各邊長為 cm,18、已知菱形的一條對角線長為12cm,面積為30cni,則這個菱形的另一條對角線長為 cm,1

14、9、菱形ABC由，/ A= 60°,對角線BD長為7cm,則此菱形周長 cm20、如果一個正方形的對角線長為J2 ,那么它的面積。21、如圖2矩形ABCD勺兩條對角線相交于 O,/AOB= 60°,AB = 8,則矩形對角線的長。22、如圖 3,等腰梯形 ABC由，AD/ BC, AB/ DE, BC= 8, AB= 6, AD= 5貝UCDE長長。21、正方形的對稱軸有 條22、如圖4, BD是DABCD勺對角線，點E、F在BD上，要使四邊形 AECF是平行四邊形，還需增加的一個條件是23、要從一張長為40cm,寬為20cm的矩形紙片中，剪出長為 18cm,寬為12cm的

15、矩形紙片，最多能剪出張。三、解答題1.如圖，在四邊形 ABC由，/ A=60°，/B=/ D=90° ,BC=2,CD=3,求 AB的長。D2 .如圖，在等腰梯形 ABCD中,AD/ BC,AB=CD=2/ BAD=120 ,3 .將平行四邊形紙片ABC或如圖方式折疊，使點 C與A重合，(1)求證： AB9AAD F;(2)連接CF,判斷四邊形AECF1什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論對角線AC平分/ BCD為春月梯形ABCD勺用長。B點D落到D'處，折痕為EF.4.已知：如圖，在梯形 ABC麗,AD/ BC, /ADB=60、BD=1Q BE： ED=4： 1、求梯形

16、BeCAB=CD對角線AC BD相交于點E, ABCD勺腰長.AD5.如圖，菱形ABCD E, F分別是BC /BAE= 18° 求/ CEF的度數(shù)。BCCD上的點，/ B= / EAF= 60° ,ABEDF6 .已知：如圖，在 ABC中，ABAC ADIBC垂足為點 D, AN是ABC7卜角/ CAM勺平分線，C曰AN垂足為點 E,(1)求證：四邊形 ADC由矩形；(2)當(dāng) ABC蔭足什么條件時，四邊形 ADCE1一個正方形？并給出證明.7 .如圖，四邊形 ABC而，一組對邊 AB=DC=4另一組對邊AA BQ對角線BD與邊DC互相垂直，MN、H分別是ADBGBD的中點

17、，且/ ABD=30求：(1) MH的長(2) MN的長。8 .如圖所示，在 ABC中，/ BAC=90 ,AD，B,BE平分/ ABC,EF/ BC,那么AE=CF馬？證明你的結(jié)論9 .如圖，ABCD1正方形，CE/ BD, BE= BD, BE交 DC于點 F, 求證：(1) / BEC= 30°(2) DE= DF10 .如圖，在正方形 ABC由，P為對角線BD上一點,PELBC垂足為 E, PF±CD垂足為 F,求證：EF= AP11.如圖，四邊形ABCD勺對角線 AG BD交于點P,過點P作直線交 AD于點E,交BC于點F。若PE=PF且AP+AE=CP+CF(1

18、)求證：PA=PC;(2)若 AD=12,AB=15,/DAB=60，求四邊形 ABCD勺面積.11 .如圖所示，已知在 DABC邛，E, F分別是AD, BC的中點,12 .已知：如圖， E為DABCD DC邊的延長線上的一點，且 CE= DQ連結(jié)AE分別交BGBD于點F、G,連結(jié)AC交BD于Q連結(jié)OE求證：AB= 2OF.13 .如圖，在矩形ABCDP, AD=8cm AB=6cm點設(shè)有一動點EH 1cm/ s的速度由點A向點電動，同時點 8b也有一動點F以2cm/ s 的速度由點C向點而動，設(shè)運(yùn)動的時間為x (s),四邊形EBFD勺面積為y (cmi),求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取

19、值范圍。21,如圖16,已知四邊形 ABC虛平行四邊形，/ BCD勺平分線 CF交邊AB于F, / ADC勺平分線 D©邊AB于G(1)線段AF與GB相等嗎？(2)請你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個條件，使得EFG為等腰直角三角形，并說明理由22,如圖17,已知DABC珅，E為AD的中點，CE的延長線交BA的延長線于點 E(1)試說明線段 CD與FA相等的理由；(2)若使/ F=Z BCF DABCD的邊長之間還需再添加一個什么條件？請你補(bǔ)上這個條件，并說明你的理 由(不要再增添輔助線).23, (08上海市)如圖，已知平行四邊形 ABCD中，對角線 AC, BD交于點O, E是BD延

20、長線上的點，且 ACE是等邊三角形.(1)求證：四邊形 ABCD是菱形；(2)若 AED 2 EAD,求證：四邊形 ABCD是正方形.24,已知：如圖19,四邊形ABCD1菱形，E是BD延長線上一點，F(xiàn)是DB延長線上一點，且 DE= BF請你 以F為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只須證明一組線段相等即可).(1)連結(jié); (2)猜想：=; (3)證明：25,如圖20,已知正方形 ABCD勺對角線 AC BDf交于點 Q E是AC上一點，連結(jié) EB,過點A作AML BE 垂足為M Ag BDT點F.試說明OE= OF;(2)如圖21,若

21、點E在AC的延長線上，AML BE于點M交DB的延長線于點F,其它條件不變，則結(jié)論“ OE =OF還成立嗎？如果成立，請給出說明理由；如果不成立，請說明理由,動，設(shè)13.如圖在直角梯形 ABCD中,AD/ BC, / B=90° AD=24cm,AB=8cm,BC=26cmtJ點 P 從 A 開始沿 AD邊向 D 以 1cm/s 的速度運(yùn)動點Q從C開始沿CB向B以3cm/s的速度運(yùn)動，P,Q分別從點A,C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運(yùn)動 運(yùn)動的時間t,t分別為彳61值時，四邊形PQCDJ平行四邊形，等腰梯形？14已知：如圖，在直角梯形 ABCD, / B= 90o

22、,AD/ BC, AA 24cm, BC= 26cm,動點P從A點開始沿 AD邊 向D以1cm/秒的速度運(yùn)動，動點 Q從C點開始沿CB邊向B以3cm/秒的速度運(yùn)動，P、Q分別從A C同時出發(fā)， 當(dāng)其一點到端點時，另一點也隨之停止運(yùn)動， 設(shè)運(yùn)動時間為t秒，t分別為何值時，四邊形PQCD1平行四邊形？ 等腰梯形？(2)分成四個全等的圖形(在圖二中畫出示意圖)；(3)你還能利用所得的 4個全等的圖形拼成一個平行四邊形嗎？若能，rHH l(圖甲)(雷乙)16 .如圖是 王大爺?shù)囊粔K四邊形菜地，在 A處有一口井，王大爺要想從 成面積相等的兩部分.請你為王大爺設(shè)計一條引水渠的方案，畫出圖形 解：作圖步驟：

23、BC17 .(1) 如圖 25-1 ,在四邊形 ABCD中,AB= AR / B= / D= 90° ,BE+ FD;(2)如圖 25-2 在四邊形 ABCD中,AB= AR / B+/ D= 180° , E、畫出大致的示意圖。圖1圖工A處引一條筆直的水渠，且這條筆直的水渠將四邊形菜地分 ，并簡要寫出作圖的主要步驟.八一、，11E、F分別是邊 BG CD上的點，且/ EAFe / BAD.求證:EF =2八一、，11.F分別是邊 BG CD上的點，且/ EAF- /BAD, (1)中的結(jié)論2.在4ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF,沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的

24、 AEF和四邊形EBCE以拼接成平行四邊形EBCP接切線與拼圖過程如圖所示，依照上述方法，安要求完成下列操作設(shè)計，并畫出圖形說明。(1)在 ABC中，增加條件,沿著一刀剪切后可以拼成矩形。(2)在 ABC中，增加條件,沿著一刀剪切后可以拼i成菱形。(3)在 ABC中，增加條件,沿著一刀剪切后可以拼Fi成正方(4)在AABC(AAA。中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，畫出切線與E /PG) 拼圖示意圖。15如圖把一個正方形割去四分之一，將余下的部分分成 照示例，請你將一個正三角形割去四分之一后余下的部分。LIB- J/J91L -BC(A)3個全等的圖形(圖甲)；將余下的部分分成 4個全等的圖形(圖已)仿 (1)分成3個全等的圖形(在圖一中畫出示意圖)；是否仍然成立？不用證明.(3) 如圖25-3在四邊形ABCD中，AB= AD,/B+/ADC= 180° , E、F分別是邊 BG CD延長線上的點，且/不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.EAF=1 / BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若218.將邊長oa=8 OC=1O勺矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點。為原點，頂點O A分別在x軸和y軸