生物統(tǒng)計(jì)學(xué)優(yōu)秀教案(9)

1、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)教案第九章兩因素及多因素方差分析教學(xué)時(shí)間：5學(xué)時(shí)教學(xué)方法：課堂板書(shū)講授教學(xué)目的：重點(diǎn)掌握固定模型、隨機(jī)模型兩因素方差分析的方法步驟 ,掌握混合模型 的方差分析,了解多因素的方差分析方法.講授難點(diǎn)：固定模型、隨機(jī)模型兩因素方差分析的方法步驟9.1 兩因素方差分析中的一些根本概念9.1.1 模型類(lèi)型交叉分組設(shè)計(jì)：A因素的a個(gè)水平和B因素的b個(gè)水平交叉配合,共構(gòu)成 ab 個(gè)組合,每一組合重復(fù)n次,全部實(shí)驗(yàn)共有abn次.固定模型：A B兩因素均為固定因素.隨機(jī)模型：A B兩因素均為隨機(jī)因素.混合模型：A B兩因素中,一個(gè)是固定因素,一個(gè)是隨機(jī)因素.9.1.2 主效應(yīng)和交互作用主效應(yīng)：由于因素

2、水平的改變所造成的因素效應(yīng)的改變.AiA?AiA2B11824B11828B23844B23022先看左邊的表.A因素的主效應(yīng)應(yīng)為 A水平的平均效應(yīng)減 A水平的平均效應(yīng),B 的主效應(yīng)類(lèi)似.A2B1 A2B2 A1B1 A1B224 4418 36 八A =- = - 二 62222A1B2 A2B2 A1B1 A2B138 44 18 24B =- = - = 202222當(dāng)AB + AB：A1B2+ AB時(shí),A、B間不存在交互作用.這里AB + AB = 62, A& + AB二 62,因此A、B間不存在交互作用.交互作用：假設(shè)一個(gè)因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同,那么它們

3、之間存在交互作用78 / 17 現(xiàn)在看右邊的表.A(在 B水平上)=ABAB = 2818=10A(在 B2水平上)a A2B2-AB2=2230= -8顯然A的效應(yīng)依B的水平不同而不同,故 A、B間存在交互作用.交互作用的大小為 AE (A1B1 + A2B2) (AB+AB)9.1.3 兩因素交叉分組實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的一般格式假設(shè)A因素有a水平,B因素有b水平,那么每一次重復(fù)包含ab次實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn) 重復(fù)n次,總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)為abn次.以x*表示A因素第i水平,B因素第j水平和 第k次重復(fù)的觀測(cè)值.一般格式見(jiàn)下表.因素B j =1,2,bBB2Bb總計(jì)A1X111X121X1 b1X112X122X1b

4、2.*.«*«x11nX12nX1bnX1.因素A2X211X221X2b1AX212X222X2b2.««X21nX22nX2bnX2.IIj2*AaXa11Xa21Xab1Xa12Xa22Xab2.«Xa1nXa2nXabnXa.總計(jì)X.1.X.2.X.b.X.79 / 17上表中的各種符號(hào)說(shuō)明如下:Xi A因素第i水平的所有觀察值的和,其平均數(shù)為Xi.X.j. B因素第j水平所有觀察值的和,其平均數(shù)為X.j.X ij . A因素第i水平和B因素的第j水平和所有觀察值的和,其平均數(shù)為X ij .X.所有觀察值的總和,其平均數(shù)為X.nX ij

5、 -X ijk ,k TabnX =1 xijk ,i =dj T k -1 xij xij n_ xX =abni = 1,2, ,aj = 1,2, ,b關(guān)于實(shí)驗(yàn)重復(fù)的正確理解：這里的“重復(fù)是指重復(fù)實(shí)驗(yàn),而不是重復(fù)觀測(cè).9.2 固定模型9.2.1線性統(tǒng)計(jì)模型i = 1,2, ,aXijk =二 i 一： j :：ij ijk j = 1,2, ,b k = 1,2, , n對(duì)于固定模型,處理效應(yīng)是各處理平均數(shù)距總平均數(shù)的離差,因此a、 i = 0 , i H交互作用的效應(yīng)也是固定的a、 ij =0, i 1b、j = 0 j=1b二 0 jT£冰是相互獨(dú)立且服從N0 , t2的隨

6、機(jī)變量固定模型方差分析的零假設(shè)為：01021,2, a0380 y 171,2, b9.2.2平方和與自由度的分解與單因素方差分析的根本思想一樣,把總平方和分解為構(gòu)成總平方和各個(gè)分量 平方和之和,將總自由度做相應(yīng)的分解,由此得到各分量的均方.根據(jù)均方的數(shù)學(xué) 期望,得出各個(gè)分量的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,從而確定各因素的顯著性.a b n£££ (Xijk - x J1 1 j 4 k 4a b n-XiX Xj X Xij XiXj X XijkXij 2i A jkXij2ababab n=bn£ (Xi - X 2 a anZ (X j - X 2 + n

7、3; £ (Xj , Xj , X j, + X )2 +£ £ £ (Xijkj 1i_1jSyjk二1上述各項(xiàng)分別為A因素、B因素、AB交互作用和誤差平方和,即:SS ASS BSS ABa 2bn % Xi - Xi =1ban - Xj - X 2 j =ia bn 二二 Xj - Xi - X j X. i =1j =1SS ea b n-' X ijki =1j =1 k =1- Xij 2自由度可做相應(yīng)的分解:df T = abn1 df adf ab = adf edf b ab n由此得出各因素的均方:MS aSS A a-1,

8、 MSBss bb 一 1MSABSS ab-1 b -1 'MSSSeab n - 19.2.3均方期望與統(tǒng)計(jì)量F確實(shí)定2 bn 2E MSa i=1 i,b2 an %E MS b =2b - 1 jTE MS abn、工aT b - 1 yj=1E MSe)=7281 / 17對(duì)上式E(M司、E(MS)和E(M耳中的第二項(xiàng),分別記為:1 a2 I22 2ia -1 i -12%p =a-1 b-1a bZ Z (ap i=1 j=12ij于是:E MS a = 2 bn 2 ,E MSban2 , E MS ab這時(shí),零假設(shè)還可以寫(xiě)為:用F作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,以對(duì)A因素的檢驗(yàn)為例:M

9、S AMS e二2 bn 2)的估計(jì)當(dāng)F >F時(shí)拒絕用.對(duì)B因素和AB交互作用的推斷類(lèi)似.變差來(lái)源平方和自由度F均方期望A因素SSa-1MSMS/MS(T +bn4"B因素SSb-1MSMS/MS22(T +an q bAB交互作用SSb (a-1)( b-1)MSbMSb/MS22(T +n 4 , bwtSSab(n-1)MS2 (T總和SSabn-1兩因素固定模型的方差分析表如下:9.2.4平方和的簡(jiǎn)易計(jì)算法為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,實(shí)際計(jì)算時(shí)各平方和是按以下各式計(jì)算的SSaabnSSt = ' ' "i T j =1 k =1a21 %2 XXi,bn

10、 i 1 abn2 xijk2XabnSSbanbzjw2x .abn2其中稱(chēng)為校正項(xiàng),用C表示.abn82 / 17-Z Z xi2 n i=ij=i ija b n 2SS e = ''' x ijki =1j =1 k =1不管從上式還是前面給出的誤差平方和的公式,都可以看出,平方和是通過(guò)重復(fù)問(wèn)平方和得到的.為了得到誤差平方和,必須設(shè)置重復(fù).由總平方和減去A因素、B因素和誤差平方和之后,所得剩余項(xiàng)即交互作用平方和.如果不設(shè)置重復(fù),無(wú)法得到 誤差平方和,其誤差平方和是用剩余項(xiàng)估計(jì)的.即使實(shí)驗(yàn)存在交互作用也無(wú)法獨(dú)立 獲得,這時(shí)的交互作用與誤差混雜.這一點(diǎn)在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)一

11、定要特別注意.交互平 方和：SS AB = SS TSS A - SSBSS ea bz zi =1 j =12xij -2x .abnSS a - SS B例 為了從三種不同原料和三種不同發(fā)酵溫度中,選出最適宜的條件,設(shè)計(jì) 了一個(gè)兩因素試驗(yàn),并得到以下結(jié)果.原料種類(lèi)123溫30 C41 49 23 2547 59 50 4043 35 53 5035 C11 13 25 2443 38 33 3655 38 47 44度40 C6 22 26 18822 18 1430 33 26 19在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中,溫度和原料都是固定因素,每一處理都有 4次重復(fù).將每一數(shù)據(jù)都 減去30,列成表9-1.301

12、35 23 20613721 1123335258 17 14644096 1174403 -4 -11-12144 146和 84 22838 7366利用Xj.列,列成表92度(B)30354018-47一 487759297630-58482304(A)6154-1211312769.j.15547-11884210222 .j.240252209 1392440158從表9-1中可以計(jì)算出:abn=19600abni=d j=1 k=12 Xijkabn7366- 196 = 7170.00SSeXi2k1 a-Zn u21x； = 736622838 = 165650ij4及由表9-

13、2中可以計(jì)算出: ,2- Xi .一abn121022 196 = 1554.17 3 4SSbLbX2j abn140158 196= 3150.58 3 4SSab = SStAAa SSb SSe=7170.00 1554.17 3150.58 1656.50 = 808.75列成方差分析表變差來(lái)源平方和自由度F原料A1554.172777.09*12.67溫度B3150.5821575.29*25.68AB808.754202.19*3.30誤差1656.502761.35總和7170.00359.2.5無(wú)重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)的兩因素方差分析如果根據(jù)一定的理由,可以判斷兩因素間確實(shí)不存在交互作用

14、,這時(shí)也可以不設(shè)重復(fù)n= 10無(wú)重復(fù)實(shí)驗(yàn)的方差分析,只需將前一節(jié)公式中所有的n都改為1, 即可完成計(jì)算.不同點(diǎn)只是計(jì)算更容易一些.這里不再詳述.9.3 隨機(jī)模型9.3.1 線性統(tǒng)計(jì)模型i = 1,2, ,aXijk i 一二"ij ijk j = 1,2, ,bk = 1,2, ,n：i ： NID 0, 7 2 ,對(duì)于隨機(jī)模型：j ： NID 0,.2 ,: ij : NID 0, 7 2, ijk : NID 0, 7 2因此,任何觀察值的方差var Xijk 二0 2H 02零假設(shè)為:01 ：=0,=0,9.3.2 均方期望與統(tǒng)計(jì)量F確實(shí)定85 / 17隨機(jī)模型中各平方和的計(jì)算

15、與固定模型一樣,這里不再重復(fù).但均方期望不同, 因此檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也不同.222E MS A二n,bn,222E MSb =二nan,EMSab=2n 2EMSe二2e從均方期望中可以看出,交互作用均方是用誤差均方檢驗(yàn)的, 假設(shè)MSb不顯著,說(shuō)明它也是誤差的估計(jì),應(yīng)與 MS合并,用合并后的均方對(duì)主效應(yīng)做檢驗(yàn).合并的方法是MS ' = SS AB *SSe假設(shè)交互作用顯著,那么可以直接用它檢驗(yàn)主效應(yīng).隨機(jī)模型的 e df AB df e方差分析表如下:隨機(jī)模型的方差分析表如下:變差來(lái)源平方和自由度F均方期望A因素SSa-1msMS/MSb222二nbnB因素SSb-1msMS/MSb_ 2_

16、 2_ 2n： an :AX BSSb(a-1)( b-1)MSbMSb/ms_ 2_ 2n誤差SSab( n-1)ms總和SSabn-1例為了研究/、同地塊中,施用不同數(shù)量的農(nóng)家肥對(duì)作物產(chǎn)量的影響,設(shè)計(jì)一個(gè)兩因素實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下:地塊 B二三施100Kg8.698.478.808.749.499.37月巴200Kg8.888.729.689.549.399.59量300Kg10.8210.8611.0010.9211.0711.01A400Kg11.1611.4210.9711.1311.0010.9086 / 17解：Xijk 9.5 , 列成表 9.1 :施肥量地塊xij 1Xij 2

17、xj2 xj2、X.j一X ijkk =1一-0.81-1.03-1.843.38561.7170100二-0.70-0.76-1.462.13161.0676三-0.10-0.13-0.040.01960.0170一-0.62-0.78-1.401.96000.9928200二0.180.040.220.04840.0340三-0.110.09-0.020.00040.0202一1.321.362.687.18243.5920300二1.501.422.928.52044.2664三1.571.513.089.48644.7450一1.661.923.5812.81646.4420400二1

18、.471.633.109.61004.8178三1.501.402.908.41004.210013.6263.577232.9218利用Xj列,列成表9.22地塊KXi一二三施100-1.84-1.46-0.14-3.4411.8336月巴200-1.400.22-0.02-1.201.4400量3002.682.923.088.6875.34244003.583.102.909.5891.7764x j3.024.785.8213.62180.39242Xj9.120422.848433.872465.841287 / 17竺收二 7.7294由表9.1計(jì)算出abn 432 a b n S

19、Sr二二二 xi2k - C = 32.9218- 7.7294= 25.1924i 1 jk abnSS = w Aei=1 j=d k=d2 xijk1 a b 2一 '%.n i=1j=i63.5772= 329218-1.13322由表9.2計(jì)算出SSabnSSbabazi =1bzj=1x2 cix2 - CjAA180.39247.7294 = 22.33603 265.84127.7294 = 0.50084 2- SSA - SSB - SSe = 1.2224ee變差來(lái)源平方和自由度F施肥量A22.336037.445336.63*地塊B0.500820.25041.

20、23AB1.222460.20372.16誤差1.1332120.0944總和25.192423二 SST方差分析表9.4 混合模型AB* a = 0.019.4.1線性統(tǒng)計(jì)模型一個(gè)因素是固定的如A,另一因素是隨機(jī)的如B,該模型稱(chēng)為混合模型.xijk 二二 i ： j : ： ijijk88 / 171,2, ,a1,2, ,b1,2, ,n其中,：NID(0,八2),(B).： NID(0,(Ta i是固定效應(yīng),B j是隨機(jī)效應(yīng),a B ij是隨機(jī)效應(yīng)9.4.2均方期望與統(tǒng)計(jì)量F確實(shí)定各均方期望如下：E MSE MS2<1an 二E MSAB 二二P2P2abn 2E MS相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)

21、計(jì)量為:MS aFaaMS abMS bMS ABAB混合模型的方差分析表為:平方和自由度FA因素SSAa- 1MSMS aMS ab二2 nc ： bn 2B因素SSb- 1MSMS bMS e二2 an二 2ABSSb(a-1)( b-1)MSbMSab MSe22二n c誤差SSab( n-1)MS二2總和SSabn-19.5 兩個(gè)以上因素的方差分析9.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律平方和的分解,可根據(jù)兩因素方差分析平方和分解方法,推展出來(lái).如一個(gè)三因素固定模型實(shí)驗(yàn),線性統(tǒng)計(jì)模型為:89 / 17i = 1,2, ,a-j = 1,2, ,bXijki - 1- i j k : ：

22、ij : ik : jk : ： ijk ijkik =1,2, ,cJ = 1,2, ,n各因素的平方和如下：SStijklabcnssbcnabcnssacnj=1abcnssabnk =1abcnssABcnj =1ijabcnss- ssssx .ACbni =1k =1abcnssssssx .BCanj=1k =1abcnssssssijklijki =1k =1l =1j=1k =1剩余項(xiàng)為三因素交互作用SSAB戶SS SS SS-SS SSb SSc S$c ss自由度的分解：主效應(yīng)自由度是其水平數(shù)減1交互作用自由度是相關(guān)因素自由度的乘積誤差自由度各因素水平數(shù)乘以重復(fù)數(shù)減 1.

23、由三因素平方和與自由度的分解的規(guī)律,可以很容易得到更多因素時(shí)的平方和與自90 / 17由度.不過(guò),在實(shí)際應(yīng)用時(shí),三個(gè)因素實(shí)驗(yàn)根本上可以滿足需要了.9.5.2 均方期望的表格化推演方法平方和與自由度的分解并不很困難,困難的是需要得到可靠的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量, 也就是說(shuō)需要得到各個(gè)分量的均方期望.表格法推演是簡(jiǎn)單可靠的,下面以?xún)梢蛩?為例,說(shuō)明其方法.幾個(gè)規(guī)定： 誤差 5k寫(xiě)成ejk,括號(hào)內(nèi)的下標(biāo)稱(chēng)為死下標(biāo),沒(méi)有括號(hào)的下標(biāo)都是活下標(biāo).222固定模型中各因素的效應(yīng)分量,分別用 “uJpJoP表示.222隨機(jī)模型中各因素的方差分量,分別用 仃記仃p,.部,表示.混合模型中,交互作用的兩個(gè)因素中只要有一個(gè)是隨機(jī)

24、因素,那么交互作用 即被認(rèn)為是隨機(jī)的.誤差方差記為一.FFR因素abnijka i060(a B ) j00£ (ij)k111以固定模型為例,說(shuō)明其推演步驟:首先列出右表,線性統(tǒng)計(jì)模型中的每個(gè)分量占 據(jù)一行,每個(gè)下標(biāo)占一列.表頭上寫(xiě)上因素的類(lèi)型,固 定型記為F,隨機(jī)型記為R,重復(fù)屬于隨機(jī)的,記為 R. 寫(xiě)上各因素的水平數(shù)a、b、n以及每一分量的下標(biāo)i、j、 k.在行分量中,假設(shè)某個(gè)死下標(biāo)與列中的該下標(biāo)一致,那么寫(xiě)上“1假設(shè)每一行分量上的一個(gè)活下標(biāo)與列上的下標(biāo)一致,且列是以固定因素為表FFR因素abnijka pj(a B ) j£ (ij)k頭的,那么寫(xiě)上“ 0,列是以隨

25、機(jī)因素為表頭的,那么寫(xiě)上 “1.91 / 17在其余空白行位置上寫(xiě)上各列表頭所標(biāo)明的水平數(shù)為了求某一模型分量因素的的均方期 望,用紙條蓋上以其活下標(biāo)為表頭的那一列,然后 找出包含該下標(biāo)的那些行.把未蓋上的字母和數(shù)字 相乘,再乘上相應(yīng)的固定因素的效應(yīng)分量或隨機(jī)模 型的方差分量.這些乘積的和,即為該因素的均方 期望.例如求E MS,蓋上列i ,剩下的列是列jFFR因素abnijk民i0bna0n(a ) ) ij00n£ (ij)k111數(shù)字和或字母的乘積為1、0、和bn,由此得出因素A的均方期望:和列k,包含i的行是4、3、1.這三行中未蓋上的222E MS a = 1 00bn .=二 bn同理可以推出:E MS B =2 an 2 ,E MS ab =0 2 n 2 ：一個(gè)完整的兩因素混合模型A固定,B隨機(jī)的例子如下:H素F a iRbR n k土期望a i0bn二 2 n - 2- bn 2a1n22an 2(a ) ) ij01n_ 2_ 2n£ (ij )k111二29.5.3 統(tǒng)計(jì)量F確實(shí)定i =1,2, ,aj =1,2, ,bXijkl v ； + '： j k 二：ij 二 ik ：