勾股定理講義及題庫(kù)

1、勾股定理第1節(jié)勾股定理勾股定理定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a , b，斜邊為c，那么a2 b2 c2勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的 思路是： 圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下:方法一：4SS正方形EFGH1 2 2S正方形ABCD，42ab (b a) a，化簡(jiǎn)可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為 S 4 -ab

2、c2 2ab c2，大正方形面積為 S (a b)2 a2 2ab b2，所以a2 b2 c2。2111方法三：S梯形(a b) (a b) , S梯形2S ade S abe 2 ab c，化簡(jiǎn)得證。22 2勾股定理的適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察 的對(duì)象是直角三角形勾股數(shù)：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2 b2 c2中，a, b, c為正整數(shù)時(shí)，稱a, b, c為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)：如 3,4,5 ; 6,8,10 ; 1,

3、12,13 ; 7,24,25 ; 1,1, . 2 ; 1, 3,2 等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n2 1,2n,n2 1 ( n 2, n為正整數(shù));2n 1,2 n2 2n,2 n2 2n 1 ( n 為正整數(shù)) m2 n2,2 mn, m2 n2 ( m n, m , n 為正整數(shù))勾股定理的應(yīng)用：已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在ABC中， C 90，則c . a2 b2 ,bc2 a2 , a -,c2 b2 ;知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題例 1.在 ABC 中， C 90 已知AC 6 , BC 8 .求AB的長(zhǎng)；已知

4、AB 17 , AC 15，求BC的長(zhǎng)例3.如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?例4.已知直角三角形的周長(zhǎng)為2.7，斜邊上的中線為1,求它的面積例5.直角三角形的面積為120，斜邊長(zhǎng)為26,求它的周長(zhǎng)例6.如圖，水池中離岸邊 D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度 AC.例7.如圖，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB,斜靠在一豎直的墻 AC上,這時(shí)梯足B到墻底端C的距離為0.7 米, 如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？3例8.如圖，已知長(zhǎng)方形 ABCD中 AB

5、=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點(diǎn) 丘，將厶ADE折疊使點(diǎn) D恰好落在 BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長(zhǎng).例9.如圖，壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐 上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著 油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功， 獲得了一頓美餐.請(qǐng)問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？例10.如圖，某沿海開放城市 A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向100km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向 以20km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市 A到BC的距離AD=60km那

6、么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心 30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？課堂練習(xí)：1. 在Rt ABC中,/ C=9C°, a、b、c分別表示/ A, / B, / C的對(duì)邊,則下列各式中,不正確的是A. a2 3 b2 c2B.c2 a2b2C.c2b2D.a2 b2c2a=12， b=16,C.20則c的長(zhǎng)為（D.21A.3B.4C.5D.、.74.在 Rt ABC中，/ C=9C°,Z B=45°,c=10，則 a 的長(zhǎng)為()5A.5B.C.D.55.等邊三角形的邊

7、長(zhǎng)為2，則該三角形的面積為（A. 4 3B.C.2、3D.36. 若等腰三角形的腰長(zhǎng)為A.6B.77. 若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為10,底邊長(zhǎng)為12，則底邊上的高為（C.8D.93、4、x,則使此三角形是直角三角形的x的值是（A.5B.6C.D.58. 已知一個(gè)Rt 的兩邊長(zhǎng)分別為A.25B.149. 已知 Rt ABC中，/ C=9d,若2A.24cmB.36cm3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（C.7c=10cm,則 Rt ABC的面積是（ C.48cm 2則三角形的面積為（C.40a+b=14cm,210. 等腰三角形底邊上的高為8,周長(zhǎng)為32 ,A.56B.4811. 一個(gè)直角三角形，有兩邊長(zhǎng)分

8、別為6和8,F列說法正確的是（A.第三邊一定為10 B.三角形的周長(zhǎng)為)D.7D.60cm)D.3225 C.三角形的面積為48D.或25)2第三邊可能為1012.直角三角形的斜邊為20cm,兩條直角邊之比為 3： 4，那么這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為（A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm13. 一只螞蟻沿直角三角形的邊長(zhǎng)爬行一周需再沿邊長(zhǎng)爬行一周需（）A.6 秒14. 已知，如圖，速度同時(shí)從港口A. 25海里2秒,如果將直角三角形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大1倍,那么這只螞蟻需B.5秒一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口C.4秒A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以 2小時(shí)后，則兩船相距（）海里D. 40海里D.

9、312海里/時(shí)的B.東15.圖中,C.B.D.b一棵大樹被臺(tái)風(fēng)刮斷，若樹在離地面3m處折斷，樹頂端落在離樹底部4m處，則樹折斷之前c ba b ccabA. a每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1, ABC的三邊a,b,c的大小關(guān)系式（16.如圖,A.5m17.如圖, 長(zhǎng)為（B.7mC.8mA. 3D.10m ABCn DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形, ）B. 2.3C.點(diǎn) B、C、E在同一條直線上，連接 BD,則BD的D. 4.318.某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境, 平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮至少需要（）元C.150a 元已知這種草皮每A.450a 元B.2

10、25aD.300a 元B C血）C正好構(gòu)成等邊BCCDABC現(xiàn)由水廠A和B C兩廠供水，要在A、B、鋪設(shè)輸水管道，有如下四種設(shè)計(jì)方案，20.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊,其中最合理的方案是（圖中實(shí)線為鋪設(shè)管道路線）AC= 6 cm、BC= 8 cm，現(xiàn)將 ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)11合，折痕為DE則BE的長(zhǎng)為（C.6 cmA.4 cmB.5 cm21.已知，如圖長(zhǎng)方形 ABE的面積為（A.6cm 2ABCD中,)AB=3cmB.8cm2D.10 cmAD=9cm將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)2C.10cmD.12cm2B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則22. ABC中,/ C=9C°, a、b

11、、c 分別是/A、/ B、/ C的對(duì)邊.若 a=5, b=12,則 c=若 c=41, a=40,則b=若/ A=3C°, a=1，則 c=; 若/ A=45), a=1，貝U b=,b=,c=，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅25.如圖，有一塊長(zhǎng)方形花圃，有少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑” 僅少走了 m路，卻踩傷了花草.26. 傳說,古埃及人曾用"拉繩”的方法畫直角，現(xiàn)有一根長(zhǎng)24厘米的繩子，請(qǐng)你利用它拉出一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三邊的長(zhǎng)度分別為 厘米,厘米,厘米,其中的道理是27. 如圖，在高2米，坡角為300的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)至少需

12、米.28. 如圖是由邊長(zhǎng)為1m的正方形地磚鋪設(shè)的地面示意圖，小明沿圖中所示的折線從 AtBtC所走的路程為C-s-=T， J!iJI'.52( 害D29. 如圖，小紅欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)點(diǎn)B200m結(jié)果他在水中實(shí)際游了 520m,則該河流的寬度為30. 種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測(cè)得內(nèi)部底面半徑為 2.5 cm,高為12 cm,吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6 cm,問吸管要做cm。31. 在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的 A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，

13、則這棵樹高米。8m另一棵高2m兩樹相距8m 一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的32.如圖，有兩棵樹，一棵高長(zhǎng)度為 cm.36.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）樹梢，至少要飛m.33. 已知：如圖， ABC中，/ C=9C0,點(diǎn)OABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODL BC, OEL AC OF1 AB,點(diǎn)BC的距離分別等D、E、F分別是垂足，且 BC=8cm, CA=6cm,則點(diǎn) O到三邊 AB, AC和于m.34. 如圖，在水平面上依次放置著七個(gè)正方形已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是a、b、c,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S、S2、S

14、3，則S1 + S2+S+S4=35. 如圖所示，無(wú)蓋玻璃容器，高18,底面周長(zhǎng)為60cm,在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的容器的上口外側(cè)距開口1cm的F處有一蒼蠅，試求急于撲貨蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖2中正方形ABCD正方形EFGH正方形MNKT勺面積分別為 S, S, S,若S1+S2+S3=10，則S2的值是1米,37. 小東拿著一根長(zhǎng)竹稈進(jìn)一個(gè)寬為3米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來(lái)拿，結(jié)果稈比城門高當(dāng)他把稈斜著時(shí)，兩端剛好頂著城門的對(duì)角，問稈長(zhǎng)多少米？38. 如圖，一段樓梯，每級(jí)臺(tái)階的高度為30cm

15、,寬度為36cm, A B兩點(diǎn)間相距多遠(yuǎn)?39. 如圖，為修通鐵路鑿?fù)ㄋ淼繟C,量出/ A=40°Z B=50°, AB=5公里，BC=4公里，若每天鑿隧道 0.3公里，問幾天才能把隧道 AB鑿?fù)ǎ? cm則41.如圖：有一圓柱，它的高等于8cm,底面直徑等于4cm (3)40. 如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)為 正方形A、B C、D的面積之和為多少？它想吃到上底面與 A相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程大約是多少?42. 如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到

16、小河邊去飲水，然后回家他要完成這件事情所走的最短路程是多少？月43. 中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車速檢測(cè)儀正前方30米處，過了 2秒后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為 50米，這輛小汽車超速了嗎？d '0JL 汽觀測(cè)44. 甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，沒有了水，需要尋找水源為了不致于走散，他們用兩部對(duì)話機(jī)聯(lián)系，已知對(duì)話機(jī)的有效距離為15千米早晨 & 00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向北行進(jìn)， 上午10:

17、 00,甲、乙二人相距多遠(yuǎn)？還能保持聯(lián)系嗎? 如圖， ABC中，AB=AC=20 BC=32 D是 BC上一點(diǎn)，且 AD丄AC,求 BD的長(zhǎng).G#45. 如圖， ABC的三邊分別為 AC=5 BC=12, AB=13,將厶ABC沿 AD折疊，使 AC落在AB上，求折痕 AD的長(zhǎng).46. 如圖，將矩形 ABCD沿 EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知 AB=3 AD=9,求BE的長(zhǎng).47. 如圖，矩形紙片 ABCD勺邊AB=10cm BC=6cm E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿 AE折疊，點(diǎn)B恰好落 在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).1348. 細(xì)心觀察下圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題.2+1=3 S(

18、.3 ) 2+4=5 S 3= 32（1）請(qǐng)用含n （n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律;（2）推算出0A。的長(zhǎng)；（3）求出 Si2+S2+S2+S°2 的值.課后練習(xí)：1. Rt ABC中，斜邊 BC=2 貝U AB2+ AC + bC 的值為（）A.8B.4C.6D.無(wú)法計(jì)算2. 如圖， ABC中，AB=AC=10 BD是AC邊上的高線，DC=2,貝U BD等于（）A.4B.6C.8D. 2. 103. 如圖，Rt ABC中，/ C=9d,若AB=15cm則正方形 ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.無(wú)法計(jì)算4. 若直角三角形

19、的三邊長(zhǎng)分別為2, 4, x，則x的值可能有（）.A.1 個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 已知直角三角形的周長(zhǎng)為26，斜邊為2,則該三角形的面積是（）.3A. 1B.C.-2D.16.若等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和6,則底邊上的高等于（）B. 7 或.41C. 4 2D. 4.2 或.77. 如果Rt兩直角邊的比為5 : 12，則斜邊上的高與斜邊的比為（A.60: 13B.5: 128. 如圖中字母A所代表的正方形的面積為（A.4B.8C.16C.12)D.64:13)D.60:1699. 如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支

20、路的距離相等來(lái)連接管道，則O到三條支路的管道總長(zhǎng)（計(jì)算時(shí)視管道為線，中心O為點(diǎn)）是（A.2m10. 如圖，A.3.511. 如圖，（ ）A.3212. 如圖， 表面從點(diǎn))B.3mC.6mD.9m ABC中，/ C=9（f, AC=3 / B=30°,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝U AP長(zhǎng)不可能是（C.5.8D.7在Rt ABC中,/ ACB=90,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線 DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,貝U CE的長(zhǎng)為B.4.276長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 15,寬為10，高為A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是B.25620,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為（）C.D.2上只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的A. 5

21、.21B.25C.10.55D.35yi21i-L 012 J 4 13.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,2），若點(diǎn)P在x軸上，且厶APC是等腰三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是（ ）A.(4, 0)B.(1. 0)C.(-2 2，0)D.(2, 0)14. 在厶 ABC中，若/ A+Z B=90°, AC=5 BC=3 貝U AB=, AB邊上的高 CE=.15. 在厶ABC中，若 AB=AC=20 BC=24,貝U BC邊上的高 AD=, AC邊上的高 BE=.16. 在厶 ABC中，若 AC=BC Z ACB=90 , AB=10,貝U AC=, AB邊上的高 CD=17. 在厶ABC中，若

22、 AB=BC=CA=a則厶ABC的面積為 .18. 在厶 ABC中,若Z ACB=120, AC=BCAB邊上的高 CD=3則 AC=,AB=,BC邊上的高 AE=.1520.長(zhǎng)為4 m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為l的距離分別是1,2,則正方形的邊長(zhǎng)是 11u CN1LigN斗0600角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升21咼了m.mm計(jì)算兩圓孔中21. 如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位:心A和B的距離為22. 如圖將一根長(zhǎng)24cm的筷子，置于底面直徑為 5cm高為12cm的圓柱形水杯中.設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度是為hem。則h的取

23、值范圍是23. 在直線上依次擺著 7個(gè)正方形（如圖），已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1, 2, 3，水平放置的4個(gè)正方形的面積是 S1, S2, S3, S4,貝y S + S2+ S3+25. 如圖，直線I上有三個(gè)正方形 a、b、c若a和c的面積分別為5和11,貝U b的面積為26. 圖甲是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的。在Rt ABC中，若直角邊AC=6 BC=6將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為 6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖乙中的實(shí)線）是 27. 已知Rt ABC的周長(zhǎng)是4 4. 3，斜邊上的中線長(zhǎng)是

24、2，則 Sa abc=28. 在 Rt ABC 中，/ C=9d，/ A、/ B、/ C 的對(duì)邊分別為 a、b、c.（1）若 a:b=3:4 , c=75cm,求 a、b;（2） 若 a:c=15:17 , b=24,求厶 ABC的面積;(3)右 c-a=4 , b=16,求 a、c;（4）若/ A=300,c=24，求 c 邊上的高 hc；若a、b、c為連續(xù)整數(shù)，求a+ b + c.29. 小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m當(dāng)它把繩子的下端拉開 5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高度是多少？AD=2Q求BC的長(zhǎng).30. 如圖，Rt ABC中，/ C=9C°

25、;，/ A=3C°, BD是/ ABC的平分線,31. 如圖，要建一個(gè)苗圃，它的寬是 a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃總長(zhǎng)是10米.（1）求苗圃的占地面積?； （2）覆蓋在頂上的塑料薄膜需要多少平方米？32. 如圖，A、B是筆直公路I同側(cè)的兩個(gè)村莊， 且兩個(gè)村莊到直路的距離分別是300m和500m,兩村莊之間的距離為d（已知d2=400000m2），現(xiàn)要在公路上建一汽車?？空?，使兩村到?？空镜木嚯x之和最小。問 最小是多少？33. 如圖，這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4m的半圓，其邊緣 AB=CD

26、=20m點(diǎn)E在CD上, CE=2m 一滑行愛好者從A點(diǎn)到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離是多少？（邊緣部分的厚度可以忽略不計(jì)，結(jié)果取整數(shù)）34. 如圖所示，折疊長(zhǎng)方形一邊 AD,點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC的長(zhǎng)。）35. 如圖，折疊矩形的一邊 AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知 AB=8cm BC=10cm求EC的長(zhǎng).36. 如圖，AD是厶ABC的中線，/ ADC=45,把厶ADC沿直線 AD翻折，點(diǎn) C落在點(diǎn)C'的位置，BC=4,求 BC的長(zhǎng).37. 在數(shù)軸上畫出表示.10及J3的點(diǎn).38. 如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以

27、每小時(shí)40km的速度向北偏東 60 °的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域(1) A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？(2) 若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？39. 甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線I起跑，繞過P點(diǎn)跑回到起跑線(如圖所示)；途中乒乓球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時(shí)少者勝.結(jié)果：甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪費(fèi)了 6秒鐘，乙同學(xué)則順利跑完.事后，甲同學(xué)說：“我倆所用的全部時(shí)間的和為50秒”，乙同學(xué)說：“撿球過程不算在內(nèi)時(shí)，甲的速度是我的1.2倍” 根據(jù)圖文信息，請(qǐng)問哪位冋學(xué)獲勝？能

28、力提高：1.如圖，從臺(tái)階的下端點(diǎn) B到上端點(diǎn)A的直線距離為（）A. 12 2B. 10. 3C. 6.5 D.8.5A. 、5<x<.,13 B. 、13<x<5C.1<x<.13D.1<x<53. 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20dm 3dm 2dm, A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到 B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是 4. 矩形紙片ABCD中, AB=6cm AD=9cm再按以下步驟折疊：將/ BAD對(duì)折，使AB落在AD上，得折痕AF;將 AFB沿BF折疊，AF與CD交于點(diǎn)G,貝U

29、CG的長(zhǎng)等于cm.5. 由山腳下的一點(diǎn) A測(cè)得山頂D的仰角是45°,從A沿傾斜角為300的山坡前進(jìn)1500米到B,再次測(cè)得 山頂D的仰角為600,求山高CD.AD=5 BE=2j10 求 AB 的長(zhǎng).6. 如圖，在 Rt ABC中，/ C=9Cf, D E分別為BC和AC的中點(diǎn),7. 如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=2、.3 ,PC=4,求厶ABC的邊長(zhǎng).8. 如圖為一棱長(zhǎng)為 3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是爬行2cm則它從下地面 A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？第2課勾股定理逆定理勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng) a, b,

30、c滿足a2 b2 c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊 勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和 a2 b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作比較，若 它們相等時(shí)，以a， b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2，時(shí)，以a，b， c為三邊的三角形是鈍角三角形；若 a2 b2 c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形； 定理中a，b，c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2 c2 b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形

31、，但是b為斜邊 勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和 與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。例1.如圖，在 ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，已知 AB=13, AD=12 AC=15, BD=5

32、求CD的長(zhǎng).例2.已知：如圖，四邊形 ABCD中, AB丄BC, AB=1, BC=2CD=2 AD=3,求四邊形ABCD勺面積.例3.如圖所示， ABC中，B 45, C 30 , AB , 2 ,求：AC的長(zhǎng).1例4.如圖，正方形 ABCD中, E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FBAB那么 DEF是直角三角4形嗎？為什么？23例5.已知 ABC中，a2+b2+c2=10a+24b+26c-338，試判定厶ABC的形狀，并說明你的理由.例6.如圖所示，在四邊形ABCD中，已知:例7.在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東600方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)1

33、5海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到 M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道 乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎 ？課堂同步：1.下列各組數(shù)中以 a, b, c為邊的三角形不是 Rt的是（）A.a=2， b=3， c=4B.a=7 ， b=24, c=25C.a=6， b=8, c=10D.a=3 ， b=4， c=52.下面各選項(xiàng)給出的是三角形中各邊的長(zhǎng)度的平方比，其中不是直角三角形的是（）A.1 : 1 : 2B.1 : 3 : 4C.9:25 : 26D.25:144 : 1693.要從電桿離地面 5m處向地面拉一條長(zhǎng)為( )A.10mB.11mC.12m13m的電纜，則地面電纜固定點(diǎn)與電線桿底

34、部的距離應(yīng)為D.13m2 2 7、24、25;、3、4、 、2mn m+n2 （m n為正整數(shù)，且 m> n）其中可以構(gòu)成三角形的有（ 組9、12、15;4. 下列各組線段中的三個(gè)長(zhǎng)度2 2m-nA.5 組；B.4 組；C.3 組；D.25. 如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC,若小方格邊長(zhǎng)為1,則厶ABC>（A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.25 ; 3a、 4a、 5a (a>0);)）以上答案都不對(duì)D6. 如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有邊的線段是（）A.CD EF、GH B.AB7. 一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為AB CD EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角

35、三角形三、EF、GH15, 20, 25,A.12. 5B.12C.C.AB 、CD GH那么它的最長(zhǎng)邊上的高是（15、22D.AB、CD EF)D.98.已知三角形兩邊長(zhǎng)為 2和6，要使這個(gè)三角形為直角三角形，則第三邊的長(zhǎng)為（A.r.：'2B.2d0C.4、. 2或 2,10 D.以上都不對(duì)9. 一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面 的高度為（）A.10 米B.1510. 已知x、y為正數(shù)，且|5米處折斷倒下，倒下部分與地面成300夾角，這棵大樹在折斷前C.25x2-4 | + (y2-3 ) 2=0,這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（A.5B.2511. 如果三角形的三邊長(zhǎng)做勾

36、股定理的.12. 分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：其中能構(gòu)成直角三角形的有 13. 在厶ABC中， 若 若 若a、a + b > c ,2.22a + b = c ,2.22a + b v c ,a、D.30如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以 ）C.7b、c滿足a2 + b2=c2，那么這個(gè)三角形是D.15三角形，我們把這個(gè)定理叫b、c分別是/ A / B、則/則/則/（1）6、8、10, （2）5、12、13, （3）8、15、17, （4）4、5、6,（填序號(hào)）/ C的對(duì)邊，31 ABC的三邊分別是7、24、25，則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是 214. 若厶 ABC中

37、，(b a)(b + a) = c ,則/ B=;15. 若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、a、8(其中a為正整數(shù))，則以a-2、a、a+2為邊的三角形的面積為16. ABC的兩邊a，b分別為5,12，另一邊c為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為，此三角形為.17.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c滿足a b 10,ab 18, c 8，則此三角形為 三角形2 2 2 218. ABC中, a +b =25, a-b =7,又c=5,則最大邊上的高是 19. 三角形中兩條較短的邊為a+b, a-b ( a>b),則當(dāng)?shù)谌龡l邊為 時(shí)，此三角形為直角三角形.20. 一個(gè)三角形三條邊的比為5

38、 ： 12 ： 13，且周長(zhǎng)為60cm求它的面積21. 如圖，已知四邊形 ABCD中, / B=90° , AB=3 BC=4 CD=12 AD=13求四邊形 ABCD勺面積.A22. 如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面 10m的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的 C處有一筐水 果，一只猴子從 D處上爬到樹頂 A處，利用拉在 A處的滑繩AC,滑到C處，另一只猴子從 D處滑到地面 B,再由B跑到C,已知兩猴子所經(jīng)路程都是 15m求樹高AB.23. 已知a、b、c是厶ABC的三邊，且a2c2-b 2c2=a4-b4，試判斷三角形的形狀.24. 一輛汽車以16千米/時(shí)的速度離開甲城市，向

39、東南方向行駛，另一輛汽車在同時(shí)同地以12千米/時(shí)的速度離開甲城市向西南方向行駛，它們離開城市3個(gè)小時(shí)后相距多遠(yuǎn)25. 如圖,有一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別是6,4,4,在底面A處有一只螞蟻,它想吃到長(zhǎng)方體上面 B處的食 物,需要爬行的最短路程是多少？26. 如圖，北海海面上，一艘解放軍軍艦正在基地A的正東方向且距 A地40海里的B處訓(xùn)練，突然接基地命令，要該艦前住 C島，接送一病危漁民到基地醫(yī)院救治，已知C島在A的北偏東600方向，且在B北偏西45°方向，軍艦從B處出發(fā)，平均每小時(shí)走20海里，需要多少時(shí)間才能把患病漁民送到基地醫(yī)院？課后練習(xí)：1. 在厶ABC中，/ A, / B, /

40、C的對(duì)邊分別為 a,b,c，且(a b)(a b) c2，則()A. A為直角 B. B為直角 C. C為直角 D.不是直角三角形2. 滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三內(nèi)角之比為 1 : 2 : 3B.三邊長(zhǎng)的平方之比為 1 : 2 : 3C.三邊長(zhǎng)之比為 3 : 4 : 5D.三內(nèi)角之比為 3 : 4 : 53. 在下面圖形中，每個(gè)大正方形網(wǎng)格都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，則圖中陰影部分面積最大的是()A.a=6, b=8, c=105.已知三角形的三邊長(zhǎng)為B.a 1,b. 2,c.3 C. a 5,b 1,c -44n、n+1、m（其中m=2n+1），則此三角形（）.A

41、.定是等邊三角形B. 定是等腰三角形C.一定是直角三角形D. a 2, b 3, c - 6D.形狀無(wú)法確定6.下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（） 已知直角三角形的面積為2，兩直角邊的比為1: 2,則斜邊長(zhǎng)為.10; 直角三角形的最大邊長(zhǎng)為3，最短邊長(zhǎng)為1,則另一邊長(zhǎng)為,2 ; 在 ABC中，若/ A: / B: / C=1:5:6，則 ABC為直角三角形； 等腰三角形面積為 12,底邊上的高為4,則腰長(zhǎng)為5。A.1 個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2 27.已知|x 12 y 13與z 10z 25互為相反數(shù)，則以x、y、z為邊的三角形是 三角形。（填“直角”、“等腰”、“任意”）8將一根長(zhǎng)為24cm的

42、筷子置于底面直徑為 5cm,高為12cm的圓柱形水杯中，則筷子露在杯子外面的長(zhǎng)h的取值范圍是9. 一塊平地上，小王家房前7米遠(yuǎn)處有一棵大樹,在一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹從離地6米高的地方折斷倒下，量得倒下部分的長(zhǎng)是 10米,則大樹倒下時(shí)能碰到小王家的房子嗎?10. 如圖，小明在a時(shí)測(cè)得某樹的影長(zhǎng)為 2m B時(shí)又測(cè)得該樹的影長(zhǎng)為 8m若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為m.11. 將一副三角板如圖放置，上、下兩塊三角板的面積分別為S1和S2，則S1： S2=12. 如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將厶ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP重合，如果AP=3那么pP=13. 右上圖是某廣告公司

43、為某種商品設(shè)計(jì)的商標(biāo)圖案，若每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積都是1,則陰影部分面積是14.如下圖，已知 OA=OB那么數(shù)軸上點(diǎn)Y -4-10 133A所表示的數(shù)是15. 如圖，Rt ABC中，AC=5, BC=12,分別以它的三邊為直徑向上作三個(gè)半圓，則陰影部分面積 為。16. 如圖，是一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以直角邊為邊，分別向外作正方形和/,，依此類推，若正方形的邊長(zhǎng)為64,則正方形的邊長(zhǎng)為17. 在直角三角形中，斜邊與較小直角邊的和、差分別為& 2，則較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為 18. 已知，在 ABC中,AB=1,AC= 2 , / B=

44、45：那么 ABC的面積是 19. 有一棵9米高的大樹，樹下有一個(gè) 1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷(未折斷)，則小孩至少離開大樹 米之外才是安全的。20. 一艘帆船由于風(fēng)向的原因先向正東方向航行了160km,然后向正北方向航行了120km,這時(shí)它離出發(fā)點(diǎn)有km.21. 如果 ABC的三邊長(zhǎng)a、b、C滿足關(guān)系式(a 2b 6C)2 b 18 c 30 0，則 ABC是三角形.22. 已知a、b、c是Rt ABC的三一邊長(zhǎng)， ABC的三邊長(zhǎng)分別是 2a、2b、2c,那么 ABQ是直角三角 形嗎？為什么？23.在厶ABC中a m2n2,b 2mn,c m2 n2,其中m、n是正整數(shù)，且m

45、n，試判斷厶ABC的形狀.24.若厶ABC的三邊長(zhǎng)a, b,c滿足條件a2b2 c2 200 12a 16b 20c，試判斷厶ABC的形狀.25. 有一只喜鵲正在一棵高 3m的小樹的樹梢上覓食，它的巢筑在距離該樹 24m且高為14m的一棵大樹上， 巢距離大樹頂部1m,這時(shí)，它聽到巢中幼鳥求助的叫聲 ，便立即趕過去如果它飛行的速度為 5m/s，那 么它至少需要幾秒才能趕回巢中 ？。26. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形和平行四邊形.(1)使三角形三邊長(zhǎng)為 3, 2、2 , .5 . (2)使平行四邊形有一銳角為 45

46、76;，且面積為4.27. 在 45° 的 Rt ABC 中，/ A=90°, DEL BCBD 是/ ABC 的平分線，且 BD=13, AB=12，求 DEC的周長(zhǎng)。28. 一個(gè)工人師傅要將一個(gè)正方形ABCD四個(gè)角都是直角，四個(gè)邊都相等）的余料，修剪成如四邊形 ABEF的零件其中CE -BC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn).4（1）若正方形的邊長(zhǎng)為 a，試用含a的代數(shù)式表示 aF+eF的值；（2）連接AF,則厶AEF是直角三角形嗎？為什么？能力提高：1. 如圖，在一個(gè)由4 X 4個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，陰影部分面積與正方形 ABCD的面積比是（）C.9:16D.12. 若干個(gè)正方

47、體形狀的積木擺成如圖所示的塔形，平放于桌面上，上面正方體的下底四個(gè)頂點(diǎn)是下面相鄰正方體的上底各邊中點(diǎn)，最下面的正方體棱長(zhǎng)為1，如果塔形露在外面的面積超過7,則正方體的個(gè)數(shù)至少是（）A.2B.3C.4D.53. 觀察下列各式：32+42=52, 82+62=102, 152+82=172, 242+102=262,，你有沒有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示此規(guī)律并證明，再根據(jù)規(guī)律寫出接下來(lái)的式子.第3課勾股定理的相關(guān)證明)32D.37 或 33AM=AC BN=BC 貝U MN的長(zhǎng)是()C.42 或C.3a、b、c來(lái)表示，且其滿足關(guān)系:例1.在厶ABC中，AB=15, AC=13,高AD=1

48、2,則厶ABC的周長(zhǎng)為（D.4A.42B.32b 14 a b 2 (c 1C)2 0,試判斷 ABC的形狀.例4.如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90, E、F是BCk的點(diǎn)，且/ EAF=45,試探究BCF2, EF2 間的關(guān)系，并說明理由.B E F C例5.如圖所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB AC邊上的點(diǎn), 且DEI DF,若BE=12 CF=5求線段 EF的長(zhǎng)。例6.如圖， ACBD ECD都是等腰直角三角形, (1 ) ABCA BCD (2) AD2+BE2=D.ACB=/ ECD=90, D為AB邊上一點(diǎn)，求證:例7

49、.如圖，將正方形折疊后與BC邊交于點(diǎn)ABCD折疊，使頂點(diǎn) A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交 AD于E,交BC于F,邊ABG 如果 M為CD邊的中點(diǎn)，求證： DE DM EM=3 4: 5。35例8.如圖，以直角三角形的三邊向形外作等邊三角形，探究課堂練習(xí)：1. 若厶 ABC的三邊 a、b、c 滿足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則 ABC>()A.等腰三角形B.直角三角形C. 銳角三角形 D. 鈍角三角形2. 如圖， ABC中/C= 90°, AD平分/ BAC DEI AB于E,下面等式錯(cuò)誤的是 ()A. AC2 DC2 AD2 B. AD2 DE2 AE2 C.

50、 AD2 DE2 AC2 D. bd2 BE2-BC2£A3. 如圖，在 ABC中，AD丄BC于 D, AB=AC=2AD=nM ABC面積是4. 如圖，在 ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD且EF/ BC交AC于M 若5. 如圖，每個(gè)方格的邊長(zhǎng)為 1 ,則點(diǎn)C到線段AB的距離為2 2EF=5,則 CE+CF=6. 如圖，如果以正方形 ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形 ACEF再以對(duì)角線 AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH如此下去，已知正方形ABCD的面積S為1 ,按上述方法所作的正方形的面積依次為S ,S3 ,S（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形的面積 Sb=,第n個(gè)

51、正方形的面積 Sn=.7. 在厶ABC中，a:b:c=9:15:12, 試判定 ABC是不是直角三角形.8. 如圖， ABC中，/ A=900 , AC=20,AB=10,延長(zhǎng) AB到 D,使 CD+DB=AC+A求 BD的長(zhǎng).9. 已知：如圖所示, ABC中,D是AB的中點(diǎn)，若AC=12,BC=5,CD=6.5,求證： ABC是直角三角形.10. 已知：如圖，四邊形 ABCD中 , AB=a,BC=b, CD=c DA=d AC與 BD相交于 Q 且 ACL BD,貝U a,b,c,d 之間一定有關(guān)系式：a2+c2=b2+d2，請(qǐng)說明理由.D11. 如圖， ABC中，/ C=90, M是 BC的中點(diǎn)，MDLAB于 D.求證：ADaC+bD.12. 已知在 ABC中，AB>AC, AD是中線