數(shù)學(xué)建模實驗-鋼管下料和保姆招聘問題

1、重慶交通大學(xué)學(xué)生實驗報告實驗課程名稱：數(shù)學(xué)建模開課實驗室：數(shù)學(xué)實驗室學(xué) 院： 學(xué)院級 專業(yè)班1 班學(xué)生姓名：學(xué)號開課時間： 2013 至 2014 學(xué)年第1學(xué)期綜合評分依據(jù)優(yōu)良中差實驗到課情況論義表述的清晰度和結(jié)構(gòu)的完整性所構(gòu)建數(shù)學(xué)模型及其求解方法的正確性數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)新性實驗成績實驗指導(dǎo)教師實驗一：鋼管下料問題摘要本文是針對如何對鋼管進行下料問題，根據(jù)題目要求以及下料時有關(guān)問題進行建立切割費用最少以及切割總根數(shù)最少兩個目標(biāo)函數(shù)通過結(jié)果分析需要使用何種切割模式。生產(chǎn)方式所花費的成本價格或多或少有所不同，如何選取合理的生產(chǎn)方式以節(jié)約成本成為了很多廠家的急需解決的問題。 這不僅僅關(guān)系到廠家的利益，

2、也影響到一個國家甚至整個人類星球的可利用資源， 人們的生活水平不斷提高對物資的需求量也不斷上升， 制定有效合理的生產(chǎn)方式不僅可以為生產(chǎn)者節(jié)約成本也可以為社會節(jié)約資源， 以達到資源利用最大化。 本文以用于切割鋼管花費最省及切割總根數(shù)最少為優(yōu)化目標(biāo)， 通過構(gòu)建多元函數(shù)和建立線性整數(shù)規(guī)劃模型， 利用數(shù)學(xué)及相關(guān)方面的知識對鋼管的切割方式進行優(yōu)化求解最佳方案。本文最大的特色在于通過求解出切割鋼管花費最省及切割總根數(shù)最少時分別得出兩種目標(biāo)函數(shù)取最小值時的切割模式。 通過結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩種目標(biāo)函數(shù)取最小值時所需切割根數(shù)都一樣。 于是選擇切割鋼管花費最省為目標(biāo)函數(shù)， 此時的切割模式達到最少，這樣既滿足了總根數(shù)最小有

3、滿足了切割費用最小。一、 問題重述某鋼管零售商從鋼管廠進貨， 將鋼管按照顧客的要求切割后出售。 從鋼管廠進貨時得到的原料鋼管的長度都是1850mm現(xiàn)有一客戶需要15根290mm 28根315mm 21根350mmffi 30根455mm勺鋼管。為了簡化生產(chǎn)過程，規(guī)定所使用的切割模式的種類不能超過4 種， 使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價值的 1/10 增加費用， 使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價值的 2/10增加費用， 依次類推， 且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多 （一根鋼管最多生產(chǎn) 5 根產(chǎn)品） 。 此外， 為了減少余料浪費， 每種切割模式下的余料不能超過100mm。為

4、了使總費用最小，應(yīng)如何下料？二、基本假設(shè)與符號說明基本假設(shè)：假設(shè)每根鋼管的長度相等且切割模式理想化 . 不考慮偶然因素導(dǎo)致的整個切割過程無法進行.1、假設(shè)所研究的每根鋼管的長度均為1850mm勺鋼管。2、假設(shè)每次切割都準(zhǔn)確無誤。3、假設(shè)切割費用短時間內(nèi)不會波動為固定值。5、假設(shè)鋼管余料價值為0.6、假設(shè)一切運作基本正常不會產(chǎn)生意外事件。7、每一根鋼管的費用都一樣，為一常值。問題分析符號說明:符號意義X表示按照第i種切割模式(i-1,2,3,4)切割的原料鋼管的根數(shù)1i第i種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn) 290mms管的數(shù)量r2i第i種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)315mms管的數(shù)量3i第i種切割模

5、式下每根原料鋼管生產(chǎn)350mms管的數(shù)量4i第i種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)455mms管的數(shù)量P生產(chǎn)鋼管過程所需要增加的總費用N所需鋼管的總根數(shù)結(jié)合題意，首先我們要確定應(yīng)該選取哪些切割模式，生產(chǎn) 15根290mm 28 根315mm 21根350mms 30根455mm勺鋼管，每一種切割模式都要符合客戶的 需求在原料鋼管上安排切割的一種組合，而且必須滿足一根原料剛管只能生產(chǎn) 5 根鋼管。例如，我們可以將1850mm勺鋼管切割成5根長350mm勺鋼管，余料為 100mm或者將長1850mm勺鋼管切割成長315mm 355mnmF口 455mm勺鋼管2根、2 根、1根，余料為65mm顯然，可行的

6、切割模式是很多的。于是問題化為在滿足 客戶需要的條件下，按照哪幾種合理的模式進行切割，每種模式切割多少根原料 鋼管最為節(jié)省。而由于需求的鋼管規(guī)格為4種，所以枚舉法的工作量較大?？梢?用xi表示按照第i種模式(i=1,2,3 , 4)切割的原料鋼管的根數(shù)。又設(shè)使用第 i種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)長 290mm 315mm 355mn#口 455mm勺鋼管數(shù)量 分別為 r1i ,，r3i , r4i。而所謂節(jié)省，這里有兩種標(biāo)準(zhǔn)，一種切割后剩余的總余料量最小，二是切割原料鋼管的總根數(shù)最少。三、模型的建立根據(jù)情況，我們忽略每根鋼管的成本價，直接計算增加的總費用，即:min P=0.1x1+0.2x2

7、+0.3x3+0.4x4總根數(shù)最少：min N= x1 + x2 + x3 + x4假設(shè)條件 x1>=x2>=x3>=x4(3-1)滿足客戶需求的約束條件為：門1x1+門2x2+門3x3+門4x4 > 15(3-2)2僅1 +/22乂2+/23乂3+/24乂4 > 28(3-3)31x1 + r32x2+r33x3+r34x4 > 21(3-4)4僅1 +42乂2+43乂3+44乂4 > 30(3-5)每一種切割模式必須可行、合理，所以每根原料鋼管的成品量不能超過1850mm,也不能少于1750mm (余料不能大于100mm),于是1750< 1

8、5門1+2821+2131+3041 < 1850(3-6)17500 15r12+2822+2132+3042 <1850(3-7)1750< 15門3+2823+2133+3043 < 1850(3-8)17500 15r14+2824+2134+3044 <1850(3-9)最后，加上非負整數(shù)約束：xi , rji e Z+ ,i=1,2,3,4 j=1,2,3,4(3-10)于是，問題歸結(jié)為在在約束條件（3-2）（3-10）下，求為和 小 自，自，4i （i=1,2,3）使目標(biāo)（3-1）達到最小。顯然這是線性整數(shù)規(guī)劃模型。四、模型的求解非線性整數(shù)規(guī)劃模型（

9、4-1）（4-9）雖然用LINGO次件可以直接求解，但 為了減少運行時間，可以增加一些顯然的約束條件，從而縮小可行解的搜索范圍。 例如，由于4種切割模式的排列順序是無關(guān)要緊的，所以不妨增加以下約束：> > >, 、Xi x2 x3 x4（3-11）首先，原料鋼管的根又如，注意到所需原料鋼管的總根數(shù)有明顯的上界和下界 數(shù)不可能少于=19(3-12)15 290 28 315 21 350 30 4551850（根）。其次，考慮一種非常特殊的生產(chǎn)計劃：第一種切割模式下只生產(chǎn)290mm鋼管，一根原料鋼管切割成6根290mm鋼管，為滿足15根290mm鋼管的需求， 需要3根原料鋼管；

10、第二種切割模式下只生產(chǎn) 315mm鋼管，一根原料鋼管切割 成5根315mm鋼管為滿足28根315mm的需求，需要6根原料鋼管；第三種切 割模式下只生產(chǎn)350mm鋼管，一根原料鋼管切割成 5根350mm鋼管，為滿足 21根350mm鋼管的需求，需要5根原料鋼管；第四種切割模式下只生產(chǎn)455mm 鋼管，一根原料鋼管切割成4根455mm鋼管，為滿足30根455mm鋼管的需求， 需要8根原料鋼管。于是滿足要求的這種生產(chǎn)計劃共需要 3+6+5+8=22根原料鋼 管，這就得到了最優(yōu)解的一個上界，所以可增加以下約束：(3-13)19 M X1 + X2 + X3 + X4 - 22將式(4-1)(4-13)

11、構(gòu)成的卞K型輸入LINGO如下: model:min=x1+x2+x3+x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=185

12、0;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;gin(x1)； gin(x2)； gin(x3)

13、; gin(x4);gin(r11);gin(r21)； gin(r31); gin(r41)； Endgin(U2);gin(r22)；gin(r32)；gin(r42)；gin(r13);gin(r23);gin(r33);gin(r43);gin(r14);gin(r24);gin(r34);gin(r44);16當(dāng)花費P最少時，得到結(jié)果為：總共需要19根原料鋼管。分別為：模式一：一根原料可以切割成 315mrffl管2根,350miffl管2根，455mrffl管1根，總共8根。模式二：一根原料可以切割成 290mmB管1根，315miffl管2根，455miffl管2 根 總共 6根

14、。模式三：一根原料可以切割成 290mlB管2根，350mlB管1根，455miffl管2 根，總共5根。當(dāng)總根數(shù)最少時，得到結(jié)果為 : 總共需要19根原料鋼管。分別為：模式一：一根原料可以切割成290m1H管1根，315mrffl管2根，455mms管2 根，總共7根。模式二：一根原料可以切割成 315mmB管1根，350mmfi管3®, 455m1fi管1 根 總共 5根。模式三：一根原料可以切割成 290mmB管2根，315mrffl管1根，455mrffl管2 根，總共4根。模式四：一根原料可以切割成 315mrffl管2根，350mrffl管2根，455mrffl管1根，總

15、共3根。當(dāng)總根數(shù)最少時，得到結(jié)果為 : 總共需要19根原料鋼管。分別為：模式一：一根原料可以切割成290mrfi管1根，315mrffl管2根，455mms管2 根，總共7根。模式二：一根原料可以切割成 315mmB管1根，350mrfi管3®, 455m1fi管1 根 總共 5根。模式三：一根原料可以切割成 290mmB管2根，315mrffl管1根，455mrffl管2 根，總共4根。模式四：一根原料可以切割成315m1fi管2根，350m1B管2根，455mrffl管1根，總共3根。綜合兩種情況，當(dāng)兩個目標(biāo)函數(shù)取最小值時，所需的總根數(shù)都為19 。如果選擇總根數(shù)最小為目標(biāo)函數(shù)，

16、則切割模式增加一種， 那么切割費用有所增加。 為此選擇切割費用最小為目標(biāo)函數(shù)， 這樣既滿足了總根數(shù)最小有滿足了切割費用最 小。五、模型評價在本文中，對于如何下料是根據(jù)客戶的需要建立了兩個目標(biāo)函數(shù)，通過求解模型發(fā)現(xiàn)，總根數(shù)最小為目標(biāo)函數(shù)及切割費用最小為目標(biāo)函數(shù)都取最小值時，所需原料都一樣。 那么本文的優(yōu)點就是通過結(jié)果比較， 再結(jié)合客戶需求選取切割費用最少為目標(biāo)函數(shù)。 此時的切割模式達最少， 這樣既滿足了總根數(shù)最小有滿了切割費用最小。六、參考文獻1.數(shù)學(xué)模型（第四版），高等教育出版社 姜啟源等附錄附錄一：Lingo 求解代碼：min =x1+x2+x3+x4;r11*x1+r12*x2+r13*x

17、3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21

18、+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;gin (x1);gin (r11);gin (r21);gin (r31);gin (r41); Endgin (x2);gin (r12);gin (r22);g

19、in (r32);gin (r42);gin (x3); gin (x4);gin (r13);gin (r23);gin (r33);gin (r43);gin (r14);gin (r24);gin (r34);gin (r44);附錄二：Local optimal solution found at iteration:4372119.00000Objective value:VariableValueReduced CostX18.0000000.000000X26.0000000.000000X35.0000000.000000X40.0000000.000000R110.00000

20、00.000000R121.0000000.000000R132.0000000.000000R140.0000000.000000R212.0000000.000000R222.0000000.000000R230.0000000.000000R240.0000000.000000R312.0000000.000000R320.0000000.000000R331.0000000.000000R340.0000000.000000R411.0000000.000000R422.0000000.000000R432.0000000.000000R444.0000000.000000RowSla

21、ck or Surplus Dual Price119.00000-1.00000021.0000000.00000030.0000000.00000040.00000050.0000000.000000665.000000.000000720.000000.000000810.000000.000000930.000000.0000001035.000000.0000001180.000000.0000001290.000000.0000001370.000000.000000140.000000-1.000000153.0000000.000000162.0000000.000000171

22、.0000000.000000185.0000000.000000附錄三：Local optimal solution found at iteration:12509Objective value:19.00000VariableValueReduced CostX17.0000000.000000X25.0000000.000000X34.0000000.000000X43.0000000.000000R111.0000000.0000000.000000R120.0000000.000000R132.0000000.000000R140.0000000.000000R212.000000

23、0.000000R221.0000000.000000R231.0000000.000000R242.0000000.000000R310.0000000.000000R323.0000000.000000R330.0000000.000000R342.0000000.000000R412.0000000.000000R421.0000000.000000R432.0000000.000000R441.0000000.000000RowSlack or Surplus Dual Price119.00000-1.00000020.0000000.00000031.0000000.0000004

24、-0.4975089E-070.00000050.0000000.000000620.000000.000000730.000000.000000845.000000.000000965.000000.0000001080.000000.0000001170.000000.0000001255.000000.0000001335.000000.000000140.000000-1.000000153.0000000.000000162.0000000.000000171.0000000.000000181.0000000.000000實驗二：保姆招聘問題摘要本題主要討論一家保姆公司招聘保姆計劃

25、制定的問題。 根據(jù)該公司下年各季度保姆需求的調(diào)查，針對題目的問題建立線形規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用LINDO軟件，編寫相應(yīng)的程序，對建立的模型進行求解。取整得出了實際的結(jié)果。已知保姆公司春夏秋冬四個季節(jié)對保姆的需求量和每個保姆每個季度的上崗時間以及每個保姆每個月應(yīng)得的報酬， 在保證保姆公司每年獲利最大的情況下建立模型求解問題。本模型的基本設(shè)計思想是以該保姆公司本年度付出的總報酬最少為目標(biāo)， 從四個季節(jié)中找出約束條件，再加上對變量的非負約束，然后對求解問題用 LINDO軟件求解，用LINGO檢驗。題重述服務(wù)公司專門向顧主提供保姆服務(wù)。根據(jù)統(tǒng)計，下年的需求是：春季6000人日，夏季7500 人日，秋季55

26、00 人日，冬季9000 人日。公司新招聘的保姆必須經(jīng)過 5 天的培訓(xùn)才能上崗。每個保姆每季度工作（新保姆包括培訓(xùn)） 65 天。保姆從該公司而不是從顧主那里得到報酬， 每人每月工資800元。 春季開始時公司擁有 120 名保姆，在每個季度結(jié)束時，將有15%的保姆自動離職1：如果公司不允許解雇保姆，請你為公司制定下一年的招聘計劃；哪些季度的增加不影響招聘計劃？可以增加多少？2：如果公司允許解雇保姆，請你為公司制定下一年的招聘計劃。、基本假設(shè)與符號說明基本假設(shè)：對于問題一：首先因為公司不允許解雇保姆，所以不需要考慮在此期間保姆流失的問題。根據(jù)市場春夏秋冬的需求量，存在一個保姆的人數(shù)和需求量達到吻合

27、。滿足市場需求且保姆人數(shù)最少時，公司的利潤最大。對于問題二：首先因為公司允許解雇保姆，所以需要考慮在此期間保姆流失的問題。根據(jù)市場春夏秋冬的需求量，存在一個保姆的人數(shù)和需求量達到吻合。滿足市場需求且保姆人數(shù)最少時，公司的利潤最大。符號說明：對于問題一：設(shè)：四個季度開始時，公司新招聘的保姆數(shù)為： x1,x2,x3,x4四個季度開始時保姆的數(shù)量為： s1,s2,s3,s4以本年度付出的報酬最少為目標(biāo)函數(shù)： Min= s1+s2+s3+s4對于問題二：設(shè): 四個季度開始時，公司新招聘的保姆數(shù)為 :x1,x2,x3,x4四個季度開始時，保姆的數(shù)量為:s1,s2,s3,s4四個季度結(jié)束時解雇的保姆數(shù)量為

28、 :y1,y2,y3,y4以本年度付出的報酬最少為目標(biāo)函數(shù)： Min= s1+s2+s3+s4三、模型的建立對于問題一建立模型：由于季度初保姆的人數(shù)= 原有保姆的人數(shù)+ 季度初招聘保姆的人數(shù)，每個季度結(jié)束后會有%15的保姆自動離職，在新保姆培訓(xùn)的前提下，每個季度保姆的工作量要滿足需求。因此，建立的線性規(guī)劃求最優(yōu)解模型如下：（ 1） 65*s1>=6000+5*x1（ 2） 65*s2>=7500+5*x2（ 3） 65*s3>=5500+5*x3（ 4） 65*s4>=9000+5*x4（ 5） s1=120+x1（ 6） s2=0.85*s1+x2（ 7） s3=0.

29、85*s2+x3（ 8） s4=0.85*s3+x4（ 9） x1,x2,x3,x4>=0（ 10） s1,s2,s3,s4>=0對于問題二建立模型：若公司允許解雇保姆， 季度初保姆的人數(shù)= 原有保姆的人數(shù)+ 季度初招聘保姆的人數(shù)-上一季度末解聘的保姆的人數(shù)，則可建立的模型如下：（ 1） 65*s1>=6000+5*x1（ 2） 65*s2>=7500+5*x2（ 3） 65*s3>=5500+5*x3（ 4） 65*s4>=9000+5*x4（ 5） s1=120+x1（ 6） s2=0.85*s1+x2-y1（ 7） s3=0.85*s2+x3-y2（

30、8） s4=0.85*s3+x4-y3（ 9） x1,x2,x3,x4>=0（ 10） s1,s2,s3,s4>=0四、模型的求解對于問題一：春季初招聘的保姆人數(shù)x1=0 人，夏季處招聘的保姆人數(shù)x2=15 人，秋季處招聘的保姆人數(shù)x3=0 人：冬季處招聘的保姆人數(shù)x4=59 人時，公司可以得到最大收益， 且此時的最大的收益即最少人數(shù)是z=479 ， 由模型的建立結(jié)果可以看出，秋季初招聘的保姆人數(shù)x3 的變化不影響招聘計劃。春季初招聘的保姆人數(shù)x1=0,夏季初招聘的保姆人數(shù)x2=15;秋季初招聘的 保姆人數(shù)x3=0;冬季初招聘的保姆人數(shù)x4=73時，春季末解雇的保姆人數(shù)y1=0,

31、夏季末解雇的保姆人數(shù)y2=15,秋季末解雇的保姆人數(shù)y3=0；冬季末解雇的保姆 人數(shù) y4=0; 公司可以得到最大收益，且此時的最大的收益即最少人數(shù)是z=465。五、 模型評價1. 模型的優(yōu)點：（ 1） 采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，可信度較高。（ 2） 建立的數(shù)學(xué)模型都有相應(yīng)的專用軟件支持，容易推廣。（ 3） 利用數(shù)學(xué)工具，嚴(yán)格地對模型求解，具有科學(xué)性。2. 模型的缺點：利用數(shù)學(xué)工具，嚴(yán)格地對模型求解，具有科學(xué)性。上面建立的兩個優(yōu)化模型基本能夠解決本題所涉及的問題， 但是在對于更多的實際問題存在一定的差距， 比如由于地區(qū)的不同， 地理環(huán)境和氣候的不同會影響實驗結(jié)果， 所以需要采集更多的數(shù)據(jù)

32、還有更多的方案才有利于模型的推廣和使用等。六、參考文獻1.數(shù)學(xué)模型 （第四版），高等教育出版社姜啟源等附錄問題一，代碼如下：Min= s1+s2+s3+s4;65*s1>=6000+5*x1;65*s2>=7500+5*x2 ;65*s3>=5500+5*x3;65*s4>=9000+5*x4;s1=120+x1 ;s2=0.85*s1+x2 ;s3=0.85*s2+x3;s4=0.85*s3+x4;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;s1>=0;s2>=0;s3>=0;s4>=0;問題二，代碼如下：Min=

33、s1+s2+s3+s4; 65*s1>=6000+5*x1; 65*s2>=7500+5*x2 ; 65*s3>=5500+5*x3; 65*s4>=9000+5*x4; s1=120+x1 ;s2=0.85*s1+x2-y1 ;s3=0.85*s2+x3-y2 ; s4=0.85*s3+x4-y3; x1>=0;x2>=0 ;x3>=0;x4>=0;s1>=0;s2>=0;s3>=0 ;s4>=0;對于問題一：Global optimal solution found.478.51071Objective value:Total solver iterations:VariableValueReduced CostS1120.00000.000000S2116.50000.000000S399.025000.000000S4142.98570.0