高二數(shù)學(xué)點(diǎn),直線,平面之間的位置關(guān)系

1、點(diǎn)，直線，平面之間的位置關(guān)系一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 二、高考考點(diǎn)1、空間直線，空間直線與平面，空間兩個(gè)平面的平行與垂直的判定或性質(zhì).其中，線面垂直是歷年高考試題涉及的內(nèi)容.2、上述平行與垂直的理論在以多面體為載體的幾何問(wèn)題中的應(yīng)用；求角；求距離等.其中，三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用尤為重要.3、解答題循著先證明后計(jì)算的原則，融推理于計(jì)算之中，主要考察學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，其中，突出考察模型法等數(shù)學(xué)方法，注重考察轉(zhuǎn)化與化歸思想；立體問(wèn)題平面化；幾何問(wèn)題代數(shù)化.三、知識(shí)要點(diǎn)（一）空間直線1、空間兩條直線的位置關(guān)系（1）相交直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行直線在同一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；（3）異面直線不同在

2、任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).2、平行直線（1）公理4（平行直線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號(hào)表示：設(shè)a,b,c為直線， （2）空間等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩條直線所成的銳角（或直角）相等.3、異面直線（1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.（2）有關(guān)概念：（）設(shè)直線a,b為異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線，并使/a，/b,則把和所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角.特例：如果兩條異面直線所成角是直角，則說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.認(rèn)知：設(shè)

3、為異面直線a，b所成的角，則 .（）和兩條異面直線都垂直相交的直線（存在且唯一），叫做兩條異面直線的公垂線.（）兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離.（二）空間直線與平面直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)直線與平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；（2）直線和平面相交直線與平面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）直線和平面平行直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn).其中，直線和平面相交或直線和平面平行統(tǒng)稱為直線在平面外.1、直線與平面平行（1）定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行，此為證明直線與平面平行的原始依據(jù).（2）判定判定定理：如果平面外的一條直線

4、和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.認(rèn)知：應(yīng)用此定理證題的三個(gè)環(huán)節(jié)：指出 .（3）性質(zhì)性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.2、直線與平面垂直（1）定義：如果直線l和平面 內(nèi)的任何一條直線都垂直，則說(shuō)直線l和平面 互相垂直，記作l .（2）判定：判定定理1：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.判定定理2：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.符號(hào)表示： .（3）性質(zhì)性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.符號(hào)表示： （4）概念（）

5、點(diǎn)到平面的距離：從平面外一點(diǎn)引這個(gè)平面的垂線，則這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.（）直線和平面的距離：當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線和這個(gè)平面的距離.（三）空間兩個(gè)平面1、兩個(gè)平面的位置關(guān)系（1）定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則說(shuō)這兩個(gè)平面互相平行.（2）兩個(gè)平面的位置關(guān)系（）兩個(gè)平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)；（）兩個(gè)平面相交有一條公共直線.2、兩個(gè)平面平行（1）判定判定定理1：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.判定定理2：（線面垂直性質(zhì)定理）：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.（2）性質(zhì)性質(zhì)定理1：如果兩個(gè)平

6、行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.性質(zhì)定理2（定義的推論）：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面.3、有關(guān)概念（1）和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段.（2）兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等.（3）公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面間的距離.4、認(rèn)知：兩平面平行的判定定理的特征：線面平行 面面平行，或線線平行 面面平行；兩平面平行的性質(zhì)定理的特征：面面平行 線面平行，或面面平行 線線平行.它們恰是平行范疇中同一事物的相互依存和相互貫通的正反兩個(gè)方面.四、高考真題（一）選擇題1，設(shè)

7、為兩個(gè)不同的平面，l，m為兩條不同的直線，且 ，有如下的兩個(gè)命題：若 ；若 那么（ ）A、是真命題，是假命題； B、是假命題，是真命題；C、都是真命題； D、都是假命題.分析：這里 .對(duì)于，若 ，則l，m可能平行，也可能異面；對(duì)于，若 則 可能垂直，也可能不垂直.故應(yīng)選D.2、已知m,n是兩條不重合的直線， 是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題： 若m,n是異面直線， 其中真命題是（ ）A、和 B、和 C、和 D、和分析：由面面平行判定定理知為真命題；注意到垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定平行，為假命題；顯然為假命題；由于m,n為異面直線，故可在 內(nèi)確立兩條相交直線與 平行，因而為真命題.

8、故應(yīng)選D.3，設(shè) 為平面，m,n,l為直線，則m 的一個(gè)充分條件是（ ） 分析：對(duì)于選項(xiàng)A，由于這里的直線m不一定在 內(nèi)，故不一定有m ；對(duì)于選項(xiàng)B，它與m 構(gòu)成的命題是：若兩個(gè)平面都和第三個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面與第三個(gè)平面的交線垂直于另一個(gè)平面，此命題為假；對(duì)于選項(xiàng)C，它與m 構(gòu)成的命題是：若兩個(gè)平面都和第三個(gè)平面垂直，且直線m垂直于其中一個(gè)平面，則m也垂直于另一個(gè)平面，此命題亦為假命題；排除法可知應(yīng)選D.選項(xiàng)D與m 構(gòu)成的命題是：若直線m與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面垂直，那么它和另一個(gè)平面也垂直，這顯然為真命題.4、對(duì)于不重合的兩個(gè)平面 ，給定下列條件：存在平面 ，使得 都垂直于 ；存在

9、平面 ，使得 都平行于 ； 內(nèi)有不共線三點(diǎn)到 的距離相等；存在異面直線l,m，使得 ；其中可以判定 平行的條件有（ ）A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)分析：對(duì)于，垂直于同一平面 的兩個(gè)平面 可能相交；對(duì)于，由面面平行的傳遞性可以判定 ；對(duì)于，當(dāng) 相交時(shí)， 內(nèi)仍可存在不共線三點(diǎn)到 的距離等；對(duì)于，在m上取定點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P在l與點(diǎn)P確定的平面內(nèi)作l/l，則與m可確定平面 .由于 于是可知，本題應(yīng)選B.（二）填空題1、已知m,n是不同的直線， 是不重合的平面，給出下列命題：若 若 若 m,n是兩條異面直線，若 上面的命題中，真命題的序號(hào)是 （寫出所有真命題的序號(hào)）分析：顯然為假命題；對(duì)于， 內(nèi)

10、的直線m,n不一定相交，故亦為假命題；對(duì)于，由題設(shè)知 為真命題；對(duì)于，由前面選擇題第4題知此為真命題.因此，答案為、.2、在正方體 中，過(guò)對(duì)角線 的一個(gè)平面交 于E，交 于F，則四邊形 一定是平行四邊形；四邊形 有可能是正方形；四邊形 在底面ABCD的投影一定是正方形；平面 有可能垂直于平面 以上結(jié)論正確的為 （寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）分析：注意到正方體的特性，由面面平行性質(zhì)定理和 ，故四邊形 為平行四邊形，正確；在這里，當(dāng) 時(shí)，平行四邊形 即 為矩形，且不可能為正方形，不正確；正確；而當(dāng)平面 與底面ABCD（或 ）重合時(shí)有平面 ，故正確.于是可知答案為，.（三）解答題1、如圖1，已知ABCD

11、是上下底面邊長(zhǎng)分別為2和6，高為 的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸 折成直二面角，如圖2. （1）證明： ；（2）求二面角 的大小. 分析：循著解決平面圖形折疊問(wèn)題的基本思路：（1）認(rèn)知平面圖形中有關(guān)線段的長(zhǎng)度與聯(lián)系；（2）了解折疊前后有關(guān)線段的長(zhǎng)度或聯(lián)系的變與不變；（3）利用不變的量與不變的關(guān)系解題.在這里，由圖1知， .至此（1）易證；對(duì)于（2），由（1）知 ， ，故 ，于是可利用三垂線定理構(gòu)造所求二面角的平面角.解：（1）證明：由題設(shè)知 AOB是所成的直二面角的平面角，即 ， OC是AC在平面 上的射影又由題設(shè)得 從而根據(jù)三垂線定理由得， .（2）解：由（1）知 ， ， 設(shè) ，在平面AOC內(nèi)過(guò)點(diǎn)

12、E作EFAC于F，連結(jié) （三垂線定理） 由題設(shè)知， 又 即所求二面角的大小為 .點(diǎn)評(píng)：利用原來(lái)平面圖形折疊后“不變的量”與線段間不變的垂直或平行關(guān)系，推出立體圖形中 ，是證明（1）以及解答（2）的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.由此可見(jiàn)，這類問(wèn)題中認(rèn)知平面圖形的重要.2、在四面體P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB .F是線段PB上一點(diǎn)， ，點(diǎn)E在線段AB上，且EFPB.（1）證明：PB平面CEF；（2）求：二面角B-CEF的大小. 分析：（1）要證PB平面CEF，只要證PB垂直于CE或CF.這一設(shè)想的實(shí)現(xiàn)與否，要看對(duì)有關(guān)三角形的特性的認(rèn)知與把握.在這里， ， 故易得 BC平面PAC

13、，BCAC等.注意到 ， ，便得PBCF，于是問(wèn)題獲證.（2）由（1）知CEPB，從而CE平面PAB，CEAB，CEEF，故BEF為所求二面角的平面角.至此，解題的難點(diǎn)得以突破.解：（1）證明：PA2+AC2=36+64=100=PC2PAC是以PAC為直角的直角三角形，同理可證：PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形。故PA平面ABC 而 故CFPB, 又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE，PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB內(nèi)，過(guò)F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的

14、射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角。tanFEB=cotPBA= 二面角BCEF的大小為arctan 點(diǎn)評(píng)：條件求值或證明中的已知數(shù)據(jù)經(jīng)常具有雙重作用，一是明確給出可用于計(jì)算或推理的量值，二是從中隱含有關(guān)各量之間的特殊聯(lián)系.對(duì)于本題，揭露并認(rèn)知有關(guān)線段的垂直關(guān)系，乃是解題取勝的關(guān)鍵環(huán)節(jié).3、如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AEEB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE.（1）求證：AE平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大??；（3）求點(diǎn)D到平面ACE的距離. 分析：（1）注意到BF平面ACE，故AEBF.又AECB明顯，問(wèn)題易證.（2）注意到四邊形A

15、BCD為正方形，故想到連結(jié)BD交AC于G，若取AC中點(diǎn)為G，連結(jié)BG，則ACBG.再連結(jié)GF，只要證GFAC，便得出BGF為所求二面角的平面角.（3）注意到平面ACE經(jīng)過(guò)線段BD的中點(diǎn)，故B、D兩點(diǎn)到平面ACE的距離相等.據(jù)此，在直接畫出并求解這一距離有困難時(shí)，可轉(zhuǎn)而去求點(diǎn)B到平面ACE的距離，或運(yùn)用體積法求這一距離.解法一：（1） 平面ACE. 二面角DABE為直二面角，且 ， 平面ABE， （2）連結(jié)BD交AC于G，連結(jié)FG，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，BGAC，BG= ， 平面ACE，由三垂線定理的逆定理得FGAC. 是二面角BACE的平面角.由（）AE平面BCE，AEEB，又 ，在等腰直角

16、三角形AEB中，BE= .又 直角 ， 二面角BACE等于 （3）方法一：過(guò)點(diǎn)E作 交AB于點(diǎn)O.，OE=1.二面角DABE為直二面角，EO平面ABCD設(shè)D到平面ACE的距離為h， 平面BCE， 點(diǎn)D到平面ACE的距離為 方法二：G為BD中點(diǎn)，D到平面ACE的距離等于B到平面ACE的距離.BF平面ACEBF即為點(diǎn)B到平面ACE的距離.又由（2）知， 所求點(diǎn)D到平面ACE的距離為 .解法二：（1）同解法一.（2）以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過(guò)O點(diǎn)平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖. 面BCE，BE 面BCE， ，在 的中點(diǎn)， 設(shè)平面AE

17、C的一個(gè)法向量為 ，則 即 解得 令 得 是平面AEC的一個(gè)法向量.又平面BAC的一個(gè)法向量為 ，cos= 二面角BACE的大小為 （3）AD/z軸，AD=2， ，點(diǎn)D到平面ACE的距離 點(diǎn)評(píng)：直面點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)垂線段難以作出或者難以求出時(shí)，要注意適時(shí)轉(zhuǎn)化或變通。這里（3）的解法，便給出了變通與轉(zhuǎn)化的范例.4、如圖，在長(zhǎng)方體 中， ，AB2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).（1）證明： ；（2）當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面 的距離；（3）AE等于何值時(shí)，二面角 的大小為 . 分析：（1）注意到這里的 不管在什么位置，它在側(cè)面 的射影總是 ，要證 ，只要證 ，問(wèn)題易證.（2）注意到 面積易求，想到運(yùn)用

18、“體積法”.（3）注意到 ，故考慮運(yùn)用三垂線定理構(gòu)造二面角的平面角.解法一：（1）證明：在長(zhǎng)方體中， ，四邊形 為正方形 ， 為 在側(cè)面 上的射影. （三垂線定理）即 .（2）設(shè)點(diǎn)E到平面 的距離為h由題設(shè)知在 中， 而 又 由此得 所求點(diǎn)E到平面 的距離為 .（3） 在平面AED內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DHCE于H，連結(jié) ，DE，則 為二面角 的平面角設(shè) 在 又 另一方面， 由此解得 .當(dāng) 時(shí)，二面角 的大小為 .解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1） （2）因?yàn)?/p>