SXSY_04a-線性代數(shù)實驗

1、/根標題=數(shù)學實驗/主標題=線性代數(shù)實驗/作者=/地址1=電子科技大學數(shù)學科學學院/地址2=/地址3=/標題縮減級別=11.1實驗基礎：線性代數(shù)知識11.1.1解線性方程組11.1.2矩陣特征值21.2線性方程組求解21.2.1應用問題：在減肥食譜中的應用21.3矩陣的冪與特征值、特征向量31.4Leslie模型及其應用61.4.1案例1. 簡單遷移模型61.5線性變換81.1 實驗基礎：線性代數(shù)知識1.1.1 解線性方程組解線性方程組：Matlab命令：Ab示例：A=rand(3,3);truesol=rand(3,1)b=A*truesolmysol=Ab比較數(shù)值結果與真解.1.1.2 矩

2、陣特征值A是n階方陣,求非零向量和數(shù)稱為特征向量, 稱為特征值.lamda=eig(A) 計算A的特征值,這里lamda是A的全部特征值構成的列向量。P,D=eig(A) 計算出A的全部特征值和對應的特征向量. 其中, D是對角矩陣,保存矩陣A的全部特征值; P是滿陣, P的列向量構成對應于D的特征向量組。1.2 線性方程組求解1. 線性方程組的理論應用已經滲透到數(shù)學發(fā)展的許多分支很多實際問題的處理最后往往歸結為比較容易處理的線性方程組的問題2. 線性方程組在工程技術上、空間幾何和國民經濟的許多領域都有著廣泛的應用1.2.1 應用問題：在減肥食譜中的應用 下表是該食譜中的3種食物以及100克每

3、種食物成分含有某些營養(yǎng)素的數(shù)量。營養(yǎng)每100克食物所含營養(yǎng)（g）減肥所要求的每日營養(yǎng)量脫脂牛奶大豆面粉乳清蛋白質36511333碳水化合物52347445脂肪071.13如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應各取多少才能全面準確地實現(xiàn)這個營養(yǎng)要求？以100克為一個單位，為了保證減肥所要求的每日營養(yǎng)量，設每日需食用的脫脂牛奶個單位，大豆面粉個單位，乳清個單位，則由所給條件得解上方程組得，解為.即為了保證減肥所要求的每日營養(yǎng)量，每日需食用脫脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。求解上述線性方程組的程序：>> A=36 51 13; 52 34 74;

4、 0 7 1.1; b=33;45;3; x=Abx = 0.2772 0.3919 0.23321.3 Leslie模型及其應用科學家LesliePH.于1945年引進一種數(shù)學方法,利用某一初始時刻種群的年齡結構現(xiàn)狀,動態(tài)地預測種群年齡結構及數(shù)量隨時間的演變過程。1.3.1 案例1. 簡單遷移模型每年A鎮(zhèn)的人口10%遷往B鎮(zhèn);B鎮(zhèn)的人口15%遷往A鎮(zhèn). 假設某年A、B兩鎮(zhèn)人口各有120人和80人. 問兩年后兩鎮(zhèn)人口數(shù)量分布如何?設兩鎮(zhèn)總人口不變, 人口流動只限于兩鎮(zhèn)之間. 引入變量:表示 A 鎮(zhèn)第 年人口數(shù)量;表示 B 鎮(zhèn)第 年人口數(shù)量.由第 年到第 年兩鎮(zhèn)人口數(shù)量變化規(guī)律如下, newpa

5、ge/codebegin%title1:線性代數(shù)實驗%title2:應用實驗%title:簡單遷移模型A=0.9,0.15;0.1,0.85; X0=120;80;X2=A2*X0D=eig(A)/codeend, 若，則是特征值1的特征向量.思考：在無限長時間后，兩鎮(zhèn)人數(shù)的變化規(guī)律與矩陣A有何關聯(lián)？1.4 矩陣的冪與特征值、特征向量相關知識點：相似對角化，特征值，特征向量，正交矩陣在許多工程計算中，經常遇到計算矩陣的冪的問題，請問有沒有快速的計算方法？概念：定義 設都是階方陣，若存在可逆矩陣，使，則稱是的相似矩陣，并稱矩陣與相似對進行運算稱為對進行相似變換，稱可逆矩陣為相似變換矩陣易證矩陣的

6、相似關系滿足：自反性：對于任意階方陣，有與相似；對稱性：若與相似，則與相似；傳遞性：若與相似，與相似，則與相似定理 若階矩陣與相似，則與有相同的特征多項式，從而與有相同的特征值相似矩陣的一個重要性質：若階矩陣與對角陣相似，則即為的個特征值定義 若階矩陣與對角陣相似，則稱可以相似對角化，簡稱可對角化如果矩陣可以相似對角化，在存在可逆矩陣，滿足其中，。由得，可知，為矩陣的特征值，其中為對應于特征值的特征向量。則，如果是正交矩陣，則（正交矩陣）。進而得到.這樣就大大簡化了計算矩陣的冪的復雜度.需要計算矩陣的特征值、特征向量。以對稱矩陣為例說明：利用V,D=eig(A)得：V = 0.8658 0.1

7、968 0.2961 0.3521 -0.4463 0.7064 0.2603 0.4837 0.0822 0.0201 -0.8573 0.5078 -0.2108 -0.6796 0.3311 0.6198D = 1.6310 0 0 0 0 1.8540 0 0 0 0 2.7441 0 0 0 0 6.1709在命令行輸入V*V'得：V*V'ans = 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 00.0000 0.0000 0 1.0000可知eig所計算

8、得到特征向量矩陣V已經是正交矩陣，則計算A的5次冪可用如下命令完成：V*D.5*V'輸入A5-V*D.5*V'得：ans = 1.0e-11 * -0.0227 -0.0227 -0.0909 -0.0455 -0.0227 -0.0455 -0.1364 -0.0455 -0.0909 -0.1364 -0.1819 -0.1819 -0.0227 -0.0455 -0.1364 0說明二者相差很小。1.5 特征值的應用newpagenewpageI=imread('cameraman.tif');U,S,V=svd(double(I);s=diag(S);n1=5;Snew=diag(s(1:n1);zeros(size(s,1)-n1,1);figure,ims