微分幾何教案第三講

1、§ 10 Weingarten 變換 W 變換，由而可證明：對于任意 則有我們稱為自共軛。對于復線性空間V，任意，有故設是W的特征值，即 由即因 故 為實數(shù)。（即W稱為自共軛時，為實數(shù)。）故W有兩個實的特征值，設，單位的，是W的兩個特征值對應的特征向量，即§ 11設 a 與b稱為互相共軛的，如果。 設此時即若a與其自身互共軛時，稱a為漸進方向。若曲線上一條曲線：上每點切向量都是漸進方向，則稱此條曲線為漸進曲線。此時，切向量為 于是有當 與互共軛時，有 即即 定理 曲面S的參數(shù)曲線網是共軛曲線網充要條件是當S的參數(shù)曲線網是漸進曲線網，即都是漸進方向時，于是有定理 曲面S的參數(shù)

2、曲線是漸進曲線網充要條件是L=N=0。§ 12 曲面上的曲率曲面S：，p處一曲線c：為弧長參數(shù)。則 曲線這里為測地曲率向量在上的投影。為法曲率向量在n方向上的投影。法曲率只與的方向有關與大小無關！定理 若曲面上的兩條曲線在某點相切（即在某點有相同的切向量，大小可以不同），則它們在這點的法曲率相同。證明：由 的公式立即可得。設為W的特征值。即 法曲率為W一變換的特征值。設 T為處任一單位切向量，則事實上，設 此為Euler公式。§ 13主方向、主曲率時，達到極值點。當 時， 則或故 或 為的方向，為的方向。稱主曲率達到最大、最小兩個方向：，為主方向 ，為主曲率。若在 則由 知

3、點的任何方向的法曲率都相等，此時稱為S的臍點。此時有當時，稱為平點；當時，稱為圓點。§14 曲率線c：S上曲線，若在點的切線為曲面的主方向，則稱c為S的曲率線。定理 曲線為曲面S的曲率線充要條件是存在函數(shù)使得：證：為曲率線，則為主曲率。§15 主曲率及曲率線的計算、總曲率、平均曲率設 為S的主曲率 為特征向量：因線性無關 即 因為特征向量），故不全為零。故 即 將上式展開得：定義： 曲率（總曲率）， 平均曲率。則上方程變?yōu)樵O 為兩個主曲率，則以下計算K和H的公式：（因 ，故例 1、環(huán)面解：從而故當 時，即在環(huán)的外側時，當 時，當 時，即環(huán)面的內側時，。例 求曲面 的Gaus

4、s曲率K及平均曲率H。解：曲率線的計算：設c為曲率線，為它的主曲率，c的切向量為主方向，則有（由將上式展開整理得：因 不全為零，則即此為曲率線方程。§16 曲率線網設S上無臍點，則任意有兩個獨立的主方向，則可以選到參數(shù)使得兩坐標曲線都是曲率線網，即均是主方向。此時，即故為主曲率。所以，我們得到：定理 在不含有臍點的曲面上，參數(shù)曲線網為曲率線網（即為主方向，此時§17曲面在一點鄰近處的形狀去掉高階無窮小，這里，為曲率線。去掉中高階無窮小得則在點用平行于Z軸的平面來截曲面S，則有當?shù)狞c稱為橢圓點。當?shù)狞c稱為雙曲點。當?shù)狞c稱為拋物點。§18 高斯映射為切空間，為單位法向

5、量。映射（單位球面） 是點對應。 向量的對應。§19 曲率的另一表示由前面我們得到 展開即為另一方面把中區(qū)域映射到球面中區(qū)域，上的面積元素為上面積元素為則故因此，表示在映射下包含點的區(qū)域的象的面積與的面積的比，當收縮到的極限值。§20 曲率、平均曲率滿足某些性質的曲面1 全臍點曲面曲面S如果 則S稱為全臍點曲面。此時， 此時，曲面上任何方向都為主方向。為兩主曲率，則 以下給出了所有的全臍點曲面。定理 全臍點曲面必是平面或者球面的一部分。證明：S全臍點曲面而由因 關于對稱。不平行于若 由為常向量。為一平面方程。若 ，表示球心為2曲率為0的曲面不仿設取曲率線網為參數(shù)曲線網。（即均為主方向，此時，若 取為弧長參數(shù)為參數(shù)，即導致于是由而 取正交曲線網時，故 于是 是直紋面，為該直紋面的母線。因 故沿該直紋面的母線，切平面都相同。（沿，即 故 從而切平面相同。）因此，它是可展曲面?？烧沟闹奔y面只能是柱面、錐面和切線面，而柱面、錐面及切線面的從而得：定理 曲面S的曲面為可展曲面，即錐面、柱面或者切線面（平面當然有）。R