三角形四心向量形式的充要條件應用知識總結

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應用知識點總結1S- 3ABC故OA OB OC 0;G為ABC的重心.若O是ABC(非直角三角形)的垂心，則S BOC:S AOC:S AOBtan A : tanB :tan C故tan AOA tan BOB tan COC 0r-r, 2 2 23. o 是ABC的外心|OA | |OB| |OC |(或OA OB OC)若0是ABC的外心則SBOC：SAOC：SAOBsin BOCsin AOC：sin AOB sin2A: sin2B: sin2C故sin2AOA sin2BOB sin 2COC 00)A ( ABAC)OB (BABC) OC (

2、CACB)04.0是內(nèi)心ABC的充要條件是|AB |AC| BA |BC |CA |CB |引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記AB,BC,CA的單位向量為er r i-de2,e3，則剛才0是ABC內(nèi)心的充要條件可以寫成+11出OA (eie3)OB(eie2)OC(e2e3)0，O是ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA bOB cOC 0。若0是ABC的內(nèi)心，貝寸SBOC:SAOC:SAOBa:b:c范 例（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結合考查 AB AC例 1.0 是平面上的一定點，A,B,C 是平面上不共線的三個點， 動點 P 滿足OP OA產(chǎn)彳）,0,AB|AC|，則 P 點的軌跡一定

3、通過ABC的（ ）（A）夕卜心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心ABuumuum uur解析：因為 是向量AB的單位向量設AB與AC方向上的單位向量分別為 和e2, 又OP OA AP，貝UAB|原式可化為AP（q色），由菱形的基本性質知AP平分BAC,那么在ABC中，AP平分BAC，則知選 B.O 是ABC的重心OA OBOC 0.O 是ABC的垂心OA OBOB OC OC OA.O 是ABC的重心，則uuiruuuuuu uuirPG3 (PAPBPC )3AOCSAOB故aOAbOB cOC0 或 sinAOA sin BOB sin COC 0.umr uuu uuu uua uuu u

4、uu|AB|PC |BC|PA |CA|PBP是ABC的內(nèi)心;uuuumr向量（AB AC）（0）所在直線過|AB| |AC|直線）；ABC的內(nèi)心（是BAC的角平分線所在（二）將平面向量與三角形垂心結合考查“垂心定理”例 2 . H 是厶 ABC 所在平面內(nèi)任一點，HA HB HB HC HC HA點 H 是厶 ABC 的垂心.由HA HB HB HC HB （HC HA） 0 HB AC 0 HB AC,同理HC AB，HA BC.故 H 是厶 ABC 的垂心.（反之亦然（證略）例 3.（湖南）P 是厶 ABC 所在平面上一點，若PA PB PB PC PC PA，則 P 是厶 ABC 的（

5、D ）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析:由PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0.即PB （PA PC） 0,即PB CA 0則PB CA,同理 PA BC, PC AB所以 P 為ABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結合考查“重心定理”例 4. G 是厶 ABC 所在平面內(nèi)一點，GA GB GC=0證明作圖如右，圖中GB GC GE連結 BE 和 CE 則 CE=GB BE=GC BGCE 為平行四邊形將GB GC GE代入GA GB GC=0,得GA EG=0GA GE 2GD，故 G 是厶 ABC 的重心.（反之亦然（證略） 彳例 5.P 是厶 ABC

6、所在平面內(nèi)任一點.G 是厶 ABC 的重心PG _（PA PB PC）3證明PG PA AGPBBGPC CG3PG(AGBG CG)(PAPB PC)/G 是厶 ABC 的重心GAGB GC=0AGBGCG=0， 即3PGPAPBPC1一 -由此可得PG一（PA3PBPC). （反之亦然（證略）點 G 是厶 ABC 的重心.D 是 BC 的中點，AD 為 BC 邊上的中線uuu uuu uuir r uuu uuir解析：由OA OB OC 0得OB OCuurOA，如圖以 OB、OC 為相鄰兩邊構作平行四邊形，則uuu umr uuur OBOC OD，umr1 uuir由平行四邊形性質知

7、OE OD，2（四）將平面向量與三角形外心結合考查uuu例 7 若o為ABC內(nèi)一點，OAOA2OE， 同理可證其它兩邊上的這個性質，所以是重心，選uuuOBuuurOC，則O是ABC的（）A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D .重心解析：由向量模的定義知O到ABC的三頂點距離相等。故O是ABC的外心，選B（五）將平面向量與三角形四心結合考查uuuuuu uuurr例 6 若0為ABC內(nèi)一點，OAOB OC0，則0是ABC的（）A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D .重心1 uumi = _QH3UULUUULT即QH =3QG，故 Q、G、H 三點共線，且 QG：GH=1: 2例 8已知向量。片，OP

8、2，OP3滿足條件。片+OP2+OP3=0,1 0P1|=| 0P2|=| 0P3|=1，求證 P1P2P3是正三角形. (數(shù)學第一冊(下)， 復習參考題五B 組第 6 題)證明由已知OP1+OP2=-OP3，兩邊平方得0片1OP2=-，-同理OP2OP3=OP31OP1=IP1P2|=|P2P3|=|P3P1|= ,3，從而 P1P2P3是正三角形.反之，若點 0 是正三角形PIRP3的中心，則顯然有OP1+OP2+OP3=0 且|OR|=|0P2| = |OP3|.即 O 是厶 ABC 所在平面內(nèi)一點,OPI+OP2+OP3=0 且|OPI|=|OP?|=|OP3|點 O 是正 P1P2P

9、3的中心.例 9.在 ABC 中，已知 Q、G、H 分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：【證明】：以 A 為原點，AB 所在的直線為 X 軸，建立如圖所示的直角坐標系。設為 AB、BC、AC 的中點，則有：H 三點共線，且 QG:GH=1:2A(0,0)、B (X1,0)、C(x?,y2)，D、E、F 分別Q、G、D(X1,0)、E(X_2y22 2UUUUAHG(X1X2yL)33UULTBC(X2X1,yUUUULQ AHBCUU UULTAH ?BCX2y4X2(2y2UUUUUQQFACUUUULU)、F(工2 2UHgyhQF匹)由題設可設Q(A2丿w 2X2X1y2y )刁y3)

10、QF ?ACy3X2(X22)(X2X1)Xi)Y2Y4uuuQH(X2lurQG/X2X2(-2xjy2(2y3)X1X13X1y22y3)(2X2 ；X123X2(X2xj2y2y.22 3y3)(2X26X13y2X2(X2xj2y2(2x2X1(63X2(X2Xi)6丫21/2X2X13X2(X22y2Xi)2例 10.若 O、H 分別是 ABC 的外心和垂心.求證OH OA OB OC.證明若厶ABC 的垂心為 H,外心為 O,如圖.連 BO 并延長交外接圓于 D,連結 AD, CD二AD AB，CD BC.又垂心為H,AH BC，CH AB,/ AH/ CD, CH/ AD,二四邊

11、形 AHCD 為平行四邊形，AH DC DO OC, 故OH OA AH OA OB OC.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置關系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線 ；(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2 倍“歐拉定理的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題補充練習1.已知 A、B、C 是平面上不共線的三點， O 是三角形 ABC 的重心，動點 P 滿足-1 1-1 - -。匕(2OA+2OB+2OC)則點p一定為三角形 ABC 的邊的中點3.已知 O 是平面上一定點，

12、A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足:OP OA (AB AC)，則P的軌跡一定通過厶 ABC 的(OA 外心B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4 .已知 ABC, P 為三角形所在平面上的動點，且動點P 滿足：例 11 .設 O、G H 分別是銳角 ABC 的外心、重心、垂心.求證OG證明按重心定理G 是厶 ABC 的重心OG1(OA OB3OC)按垂心定理OHOA OB OC由此可得OG1 -丄OH.1 OH3邊中線的中點邊中線的三等分點 (非重心)C 重心1. B 取 AB 邊的中點M,則OA OB3OP 3OM2MCMP3MC，1 +OB+2OC)可得2即點 P 為三角形中 A

13、B 邊上的中線的一個三等分點，且點2OM,由OPOAP不過重心，故選 B.2.在同一個平面上有ABC及一點 o 滿足關系式:UUUJUOA2+UUUUUrBCUJUUUUOBUUUUU2CAUUJUJU2OC+UUUUUU2AB，則 o 為ABC的A 外心(D)內(nèi)心C 重心D 垂心2 .已知ABC個頂點 A、B、C 及平面內(nèi)一點滿足：uuuPAUUJUJU PBPCP 為ABC的(C)A 外心內(nèi)心C 重心D 垂心UJU UUU UUU UUU UUU UUUPA?PC PA?PB PB?PC 0，貝 U P 點為三角形的(D)A 外心B 內(nèi)心 C 重心D 垂心所以 ABC 為等邊三角形，選 D

14、.uuv uuy uuu/證uuv得AG點 G 是AB( C的重心，知GAGB GCuuvO,有AGuuv uuuuuiv uuu/ (ACAG)(AB AG)于是存在,，使得uuvuuuvAGAMuuv口AN (且uuvuuvuuu 1 uuvuuiv有AGxAByAC=(ABAC),3O,1 uuu uuu/-(AB AC)。又 M , N, G 三點共線(A 不在直線 MN 上)，31),11 1得1，于是得3。x yx y3例講三角形中與向量有關的問題教學目標：1、三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡單的三角形形狀判斷方法2、 向量的加法、數(shù)量積等性質3、 利用向量處理三角形中與向量

15、有關的問題4、 數(shù)形結合教學重點：靈活應用向量性質處理三角形中與有關向量的問題5 .已知 ABC,P 為三角形所在平面上的一點，且點(B)A外心B內(nèi)心C重心D 垂心6 .在三角形ABC 中,動 點 P2滿足：CA(B )A外心B內(nèi)心C重心D 垂心7.已知非零向量 AB 與 AC 滿足(AB|AB|AC -+ T|AC|TAB) BC=0 且T|AB|uuuuuuuuuP 滿足:a PA b PBc? PC0，貝UP 點為三角形的2CB2AB?CP，貝P 點軌跡一定通過 ABC 的AC1 -5 ,則厶 ABC 為()|AC|uuu解析：非零向量與滿足(I AB|B.直角三角形mur-Luu -m

16、u -) =0,即角 A 的平分線垂直于I AC |C.等腰非等邊三角形BC, AB=AC,又COS Auuu uuurAB AC1I I I /!I I I I IT Z2| AB | | AC |8.ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點為H,OHm(OA OB OC),則實數(shù) m =19.點 O 是三角形 ABC 所在平面內(nèi)的一點，滿足OA OBOB OCOC OA，則點 o 是ABC的(B(A)三個內(nèi)角的角平分線的交點(C)三條中線的交點(B)三條邊的垂直平分線的交點(D)三條高的交點ABC的重心，過G 作直線與 AB, AC 兩邊分別交于uuuvM , N 兩點，且AMimv

17、xAB,uuuuuiv11ANyAC:,則_3。xyA.三邊均不相等的三角形D.等邊三角形10.如圖 1，已知點 G 是教學難點：針對性地運用向量性質來處理三角形中與向量有關的問題教學過程：1、課前練習-2已知 0 是厶 ABC 內(nèi)的一點，若0A2 20B 0C,_則 O 是厶 ABC 的A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心在厶ABC中，有命題AB ACBC:ABBC CA 0；若AB AC ? AB AC 0，則ABC為等腰三角形；若AB? AC 0,則厶ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是2、A、B、CD、知識回顧3、三角形的重心、 內(nèi)心、 垂心、 外心及簡單的三角形形狀判斷方法 向量的有關

18、性質上述兩者間的關聯(lián)利用向量基本概念解與三角形有關的向量問題AB AC 例 1、已知 ABC 中，有?BC|AB|AC|0和AB?ACAC-，試判斷厶 ABC 的形狀。2練習 1、已知ABC中，AB a，BC b，B是厶ABC中的最大角，若a ?b 0，試判斷厶ABC的形狀。4、運用向量等式實數(shù)互化解與三角形有關的向量問題例 2、已知 0 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點，滿足|BC0B|AC0C25、C外心運用向量等式圖形化解與三角形有關的向量問題A、重心B、垂心D、內(nèi)心例 3、已知 P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一動點，且點P 滿足0P0AAB ACAB AC0,，則動點P一定過厶 ABC

19、的A、重心B、垂心C 外心D、內(nèi)心練習 2、已知 0 為平面內(nèi)一點，A、B、C 平面上不共線的三點,動點 P 滿足OP 0AABiBC，0,則動點 P 的軌跡一定通過厶 ABC 的A、重心B、垂心c、外心D、內(nèi)心例 4、已知 0 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點，動點 P 滿足0P0AABAC0,，則AB cosBAC cosC動點 P 一定過 ABC 的A、重心B、垂心D、內(nèi)心2，_則 0 是厶 ABC 的例 5、已知點 G 是的重心，過 G 作直線與 AB、AC 分別相交于M、N 兩點，且AM x?AB, AN y ? AC，求證:6、小結處理與三角形有關的向量問題時，要允分注意數(shù)形結合的運

20、用，關注向量等式中的實數(shù)互化，合理地將向量等式和圖形進 行轉化是處理這類問題的關鍵。7、作業(yè)1、已知 0 是厶 ABC 內(nèi)的一點，若OA OB 0C 0，則 0 是厶 ABC 的A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心2、若 ABC 的外接圓的圓心為 0,半徑為1，且OA OBOC 0，則OA?OB等于11A、一B、0C、1D、223、已知 0 是厶 ABC 所在平面上的一點，A、B、C 所對的過分別是 a、b、c 若a ?0A b?OB c?OC 0,則 O是厶 ABC 的A、重心B、垂心C 外心D、內(nèi)心4、已知 P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)與 A 不重合的一點，滿足AB AC 3AP，貝UP 是厶

21、ABC的A、重心B、垂心C 外心D、內(nèi)心5、平面上的三個向量OA、OB、OC滿足OA OB OC 0，|OA|OB|OC1，求證：ABC為正三 角形。6、在厶 ABC 中，O 為中線 AM 上的一個動點，若 AM = 2,求 OA (OB OC)三角形四心與向量的典型問題分析向量是數(shù)形結合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學“平面向量”(必修 4 第二章)的學習中，一方面通過數(shù)形結合來研究向量的概念和運算；另一方面，我們又以向量為工具，運用數(shù)形 結合的思想解決數(shù)學問題和物理的相關問題。在平面向量的應用中，用平面向量解決平面幾何問題時，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關系用向量

22、表示，然后選擇適當?shù)幕紫蛄浚?將相關向量表示為基向量的線性組合，把問題轉化為基向量的運算問題,OP0B 0C2ABAC0,，則動點 P 一定過 ABC 的AB cosBACJcosCA、重心B、垂心C 外心D、內(nèi)心已知 0 是 ABC 所在平面內(nèi)的占八、 、練習 3動點 P 滿足最后將運算的結果再還原為幾何關系。下面就以三角形的四心為出發(fā)點，應用向量相關知識，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性 質。既學習了三角形四心的一些特定性質，又體會了向量帶來的巧妙獨特的數(shù)學美感。-、重心”的向量風采ULW UUU LULT【命題 1】 已知G是厶ABC所在平面上的一點， 若GA GB GC 0

23、,則G是厶ABC的重心.如圖UUU UUU UUU UL11TOP OA (AB AC),(0,)，則P的軌跡一定通過ABC的重心.UUUUUU UUUT【解【解析】 由題意AP(AB AC)，當UUU UULT(AB AC)表示BC邊上的中線所在直線的向量，所以動點P的軌跡一定通過ABC的重心，如圖垂心”的向量風采圖【命題 2】 已知O是平面上一定點，)時，由于(0,【命題 3】P是厶ABC所在平面上一點，若PA PBPB PC PC PA，貝U P是厶ABC的垂心.【解析】UUU UUU由PA PBUUU UUUUUU UUUUUUUUU UUUUUU UUU0，即PB CA 0，所以PB

24、 丄 CA.同理可證UUU UUU UUU UUUPC 丄 AB，PA 丄 BC. P是厶ABC的垂心如圖_ 一pI圖【命題 4】 已知O是平面上一定點，A, B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足G動點P滿足ABC的垂心.二、內(nèi)心”的向量風米uu uu uu【命題 5】 已知IABC所在平面上的一點， 且AB c,AC b,BC a若alA bIB cIC 0,則I是厶ABC的內(nèi)心.uur AI與/BAC平分線共線，即AI平分BAC同理可證：BI平分ABC,CI平分ACB從而I是厶ABC的內(nèi)心，如圖.【命題 6】 已知O是平面上一定點，A, B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足uuuuuiruuuuuuABACOPOAIuuuuuir,(0,)，則動點P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心.uuu uuOP OAuuuABuuuABcoSBuuuACuiruACcoSC(0,)，則動點P的軌跡一定通過【解【解析】由題意uuuAP-uu-uut，由于-uuAB cosBAC cosCAB cosBuuu-uutr-AB cosBAC cosCuuuuBCuuurCBu