第一講指數(shù)函數(shù)

1、 第一講 指數(shù)函數(shù)2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算一、 知識(shí)梳理：1、 根式11、根式的有關(guān)概念次方根的定義：若，則叫做的次方根。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)和負(fù)數(shù)都有次方根。其中正數(shù)的次方根依然是正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根依然是負(fù)數(shù)。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，只有正數(shù)才有次方根，且正數(shù)的次方根有一正一負(fù)兩個(gè)，這兩個(gè)次方根互為相反數(shù)。0的任何次方根都是0.叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開放數(shù)。1.2、開次方和次乘方的混合運(yùn)算開方和乘方是互逆運(yùn)算，如果開發(fā)的次數(shù)和乘方的次數(shù)相同，那么有以下公式： 對(duì)先開次方，再乘以次乘方，有公式：。 對(duì)進(jìn)行次乘方，再開次方，有公式：2、 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪2.1、正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意

2、義是；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，,0 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。2.2、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；。3、 無理指數(shù)冪定義：若是無理數(shù)，則稱稱為無理指數(shù)冪。運(yùn)算性質(zhì)：無理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類似于有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，即是無理數(shù)，有下列性質(zhì)： ； 。無理指數(shù)冪的近似值：無理指數(shù)冪通常用近似逼近的方法將其轉(zhuǎn)化為有理指數(shù)冪，用有理指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值不斷逼近無理指數(shù)冪的準(zhǔn)確值。二、 典例精講：例1 求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。分析：依據(jù)公式運(yùn)算即可，但運(yùn)算時(shí)要注意根據(jù)指數(shù)的奇偶情況。解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）方法點(diǎn)撥：當(dāng)為

3、奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要注意的奇偶性對(duì)式子的影響。例2 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）。分析：運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義。解：（1）；（2）； （3）； （4）；（5）； （6）。方法點(diǎn)撥：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的指數(shù)在進(jìn)行約分運(yùn)算時(shí)，要注意底的正負(fù)。例3 求下列各式的值：（1）； （2）。分析：既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，又有根式，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于運(yùn)算，如果根式中根指數(shù)不同，也應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。解：（1）原式=。（2）原式=。方法點(diǎn)撥：根式的運(yùn)算一般化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算公式化簡(jiǎn)求值。例4 計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；

4、（3）。分析：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算。解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=。規(guī)律總結(jié)：本例是利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，思路是利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至計(jì)算出最簡(jiǎn)結(jié)果，這要求同學(xué)們一定要在記準(zhǔn)、記熟的運(yùn)算性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合問題靈活地進(jìn)行運(yùn)算。例5 已知，求下列各式的值。（1）； （2）； （3）。分析：從已知條件中解出的值，然后再代入求值，這種方法是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值。解：（1）將兩邊平方，得，即。（2）將（1）式平方，有，所以。（3）由于，所以。方法點(diǎn)撥：對(duì)條件求值問題一定要弄清已知與

5、未知的聯(lián)系，然后采用整體代換的方法求值。三、變式訓(xùn)練：1、 化簡(jiǎn)下列各式：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）;(6)。2、 把下列各式中的寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。（1）；（2）；（3）；（4）。3、 化簡(jiǎn)求值（式中字母都是正數(shù)）：（1）；（2）；（3）；（4）。4、求值：。5、化簡(jiǎn)。6、（1）已知，求值；（2）已知，且，求值。2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一、知識(shí)梳理1、指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?。指?shù)函數(shù)的定義是一種嚴(yán)格的形式定義，也即是說，前的系數(shù)必須是1，指數(shù)的位置上只能有一個(gè)光禿禿的，像，等都不是指數(shù)函數(shù)。2、指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.1、指數(shù)函

6、數(shù)的圖像和性質(zhì)一般地，指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)如下表所示。底數(shù)圖像定義域值域性質(zhì)過定點(diǎn)，即時(shí)，在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)2.2、不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖像的漸進(jìn)趨勢(shì)比較同一坐標(biāo)系中，畫出不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的圖像如圖所示。畫出直線與四個(gè)指數(shù)函數(shù)，的交點(diǎn)依次為，所以有，因此可得出以下結(jié)論：（1） 當(dāng)時(shí)，在軸左側(cè)，的圖像比的圖像更靠近軸；在軸右側(cè)，的圖像比的圖像更靠近軸。即底數(shù)大于0小于1時(shí)，底數(shù)越小，圖像越靠近坐標(biāo)軸。（2） 當(dāng)時(shí)，在軸右側(cè)，的圖像比的圖像更靠近軸；在軸左側(cè)，的圖像比的圖像更靠近軸，即底數(shù)大于1時(shí)，底數(shù)越大，圖像越靠近坐標(biāo)軸。2.3、與的圖像的關(guān)系當(dāng)，且時(shí)，函數(shù)與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱。3與指數(shù)有

7、關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域和值域3.1、含指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域（1）由于指數(shù)函數(shù)的定義域是，所以函數(shù)的定義域與的定義域相同。（2）對(duì)于函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是找出的值域的哪些部分在的定義域中。3.2、含指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域（1）在求形如的函數(shù)值域時(shí)，先求得的值域(即函數(shù)中的范圍)，再根據(jù)的單調(diào)性，列出指數(shù)不等式，得出的范圍，解的值域。（2）在求形如的函數(shù)值域時(shí)，易知（或根據(jù)對(duì)限定的更加具體的范圍，列指數(shù)不等式，得出的具體范圍），然后在上，求的值域即可。4、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用4.1、冪的大小比較（1）比較與的大小，可利用的單調(diào)性來判斷，如。（2）比較與的大小，可利用與圖像與坐標(biāo)軸的靠近程度不同

8、來畫出與的草圖，觀察它們與直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)在上方的對(duì)應(yīng)冪值更大，反之更小。（3）與比大小，一般可引進(jìn)中間量或，讓與分別于中間量先比大小，然后得出與的大小關(guān)系。如。核心提示：對(duì)于多個(gè)冪的大小比較，可先粗略估計(jì)各冪的大小：是正還是負(fù)，比1大還是比1小等等，然后進(jìn)行分組比較，這樣可大大減少比較的次數(shù)。4.2、解指數(shù)不等式解指數(shù)不等式的一般方法是在不等式中去掉指數(shù)，以下是去指數(shù)的兩種類型：（1） 當(dāng)時(shí)，；（2） 當(dāng)時(shí)，5、指數(shù)函數(shù)的圖像的變換5.1、平移變換把的圖像向左平移個(gè)單位，則得到函數(shù)的圖像；若向右平移個(gè)單位，則得到函數(shù)的圖像；若向上平移個(gè)單位，則得到函數(shù)的圖像；若向下平移個(gè)單位，則得到函數(shù)的圖

9、像；以上平移規(guī)律簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減”。5.2、對(duì)稱變換函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱。二、典例精講例1、指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)。（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷。解：由定義，形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，由此可以確定（1）（5）（8）是指數(shù)函數(shù)；（2）很明顯不是指數(shù)函數(shù)；（3）是-1與指數(shù)函數(shù)的積；（4）中的底數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；（6）是二次函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；（7）底數(shù)不是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)。規(guī)律總結(jié)：基本初等函數(shù)：一次函數(shù)、

10、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及后面將要學(xué)到的對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，都有一定的形式，要注意定義的要求。例2 函數(shù)的圖像有什么特征？你能柑橘圖像指出其值域和單調(diào)區(qū)間嗎？分析：這是關(guān)于指數(shù)型的復(fù)合函數(shù)。解答這類題目，可先考慮指數(shù)的情況。解：因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，函數(shù)為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為。如圖：其圖像由和的合并而成。而和的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以原函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱。由圖像可知值域是，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是。規(guī)律方法：處理函數(shù)圖像問題的常用方法：一是抓住圖像上的特殊點(diǎn)；二是利用圖像的變換；三是利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性。例3 比較大小（1）；（2）；（3）。分析：對(duì)同底的可依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行比較，對(duì)不同底的一般是采用“中間量法”來比

11、較。解：（1）考慮指數(shù)函數(shù)，因?yàn)?，所以在上是增函?shù)。因?yàn)?，所以。?）考慮指數(shù)函數(shù)，因?yàn)椋栽谏鲜菧p函數(shù)。因?yàn)椋?。?）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，而，所以。規(guī)律總結(jié)：（1）對(duì)于同底數(shù)冪，利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以判斷相應(yīng)函數(shù)值的大小。（2）當(dāng)?shù)讛?shù)不相同，指數(shù)相同時(shí)，可根據(jù)圖像進(jìn)行研究。（3）當(dāng)?shù)讛?shù)和指數(shù)都不相同時(shí)，可引入第三個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。例4 求下列函數(shù)的定義域與值域。（1）；（2）。分析：由于指數(shù)函數(shù)的定義域是，所以函數(shù)與函數(shù)的定義域相同，在定義域內(nèi)可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求值域。解：（1）令，得，所以，定義域?yàn)?。因?yàn)?，所以，所以的值域?yàn)椋?）定義域?yàn)?，因?yàn)椋?。故的值域?yàn)椤７椒c(diǎn)撥：求

12、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要充分考慮利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，第（1）小題切記不能漏掉。例5 已知，求函數(shù)的最大值和最小值。分析 令，則函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題。解：設(shè)，因?yàn)?，所以，則，故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值12，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值-24。規(guī)律總結(jié)：類似于本題中的函數(shù)是很常見的一種函數(shù)，用換元法解決非常簡(jiǎn)便（令），但要注意換元后新變量的取值范圍。例6 已知。（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）證明是定義域內(nèi)的增函數(shù)；（3）求的值域。分析：利用定義判斷函數(shù)得到奇偶性和單調(diào)性，求值域時(shí)除用單調(diào)性外，還可用變量分離法。解：（1）的定義域?yàn)?。因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)。（2）證明：。任取則。因?yàn)?，所以 ，所以 ，所以，所以是定義域內(nèi)的增函數(shù)。（3） 解法1：令，所以 。因?yàn)?，即，所以 。所以 的值域?yàn)椤＝夥?：，因?yàn)?，所以 那么 ，所以 所以 的值域?yàn)椤Ｒ?guī)律總結(jié)：（1）奇偶性只能用定義做出判斷。（2）單調(diào)性由定義或復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性作出判斷。例7 解不等式解 三、 變式訓(xùn)練1、 函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值。2、若函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則一