高等代數(shù)與解析幾何試卷答案

1、得分評(píng)閱人暨南大學(xué)考試試卷2010- 2011學(xué)年度第二 學(xué)期課程類(lèi)別 必修V 選修教課程名稱(chēng)：高等代數(shù)與解析幾何II師考試方式填授課教師姓名:黃永東開(kāi)卷閉卷寫(xiě)V 考試時(shí)間：2011年7 月13日試卷類(lèi)別（A、B）A 共8頁(yè)考學(xué)院（校）專(zhuān)業(yè)班生級(jí)）填寫(xiě)姓名學(xué)號(hào)內(nèi)招外招題號(hào)一 -三1四五六-七八九.總十分得分一、單項(xiàng)選擇題（從下列各題四個(gè)備選答案中選出 一個(gè)正確答案，并將其號(hào)碼寫(xiě)在題干后面的括號(hào)內(nèi)。 共 5小題，每小題4分，共20分）1. 下列關(guān)于歐式空間中內(nèi)積的結(jié)論錯(cuò)誤的是（ B ）。A . （,）（,） ；B . （k ,k ）（,）；C. (, ) (,)(,) ； D. ( , ) 0。

2、2. 設(shè)(f(x),g(x)1，則以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( B )。A .若 f (x)g(x)h(x)，則 f (x)h(x);B .對(duì)任意 u(x),v(x)都有 u(x)f (x) v(x)g(x) 1 ;C .如果 f(x)h(x)，g(x)h(x)，則 f(x)g(x)h(x);D .(f (x)h(x), g(x)h(x) h(x)，h(x)為非零的首一多項(xiàng)式。x2 2v2 Z 13. 曲線x 號(hào)：'對(duì)xOy平面的射影柱面的方程為(A )2x2 z2 yA. x2 2y2 y 10 ;2 2B . 4y z y 20 ;C . x22y2z21 ; D . 2x2z2 y。4.

3、 方程x22y210x4y20表示的曲線是(B)A .橢圓；B.雙曲線；C .拋物線；D.無(wú)法確定。5. ( C )不是矩陣A與B相似的充分必要條件。A . E A與E B等價(jià)；B . A與B有相同的不變因子；C . A與B等價(jià)；得分評(píng)閱人D . A與B有相同的初等因子。二、填空題(將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線 上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空無(wú)分。共5小題，每小題 4分，共20分)1. x 2除 x3 2x2 3x 2 的余式為12。2. 給定 K3的兩個(gè)基：i (1,2,0)， 2( 1,1,0)， 3(0Q1) ； i (0, 1,1)，2(1, 1,0)，3(1,1,0)。則由A i i

4、，i 1,2,3確定的K3上的線性變換A在基1 0 21，2，3下的矩陣為 113 。1 0 03. 雙曲拋物面x2y2z上過(guò)點(diǎn)(1, 1,0)的兩條直母線的交角為4. 設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間，1, 2, 3是它的一個(gè)基，f是V上的一個(gè)線性函數(shù)，且f( 1 2 23) 2， f( 13) 2， f ( 123)1，則f ( 123) 2。5. 設(shè)二次曲線C在直角坐標(biāo)系O； 1, 2】中的方程是x2 xy y2 x 2y 20。取新的坐標(biāo)系O; 1, 2，滿足21122、2得分評(píng)閱人三、計(jì)算題（共4小題，每小題10分，共40 分）則曲線C在新坐標(biāo)系（x,y）下的方程為_(kāi) x2 3y 2 2

5、x 3、2y 40x 2Z 1 01.求以叩2'0）為頂點(diǎn)，以y z1 0為準(zhǔn)線的錐面方程x 2z 10y z 1 0x 2z 10因?yàn)閤 2Z 1 0是一條直線，故以P（1,2,0）為頂點(diǎn)，以（10 分）y z 10x 2z 10 ,的平面。y z 10x 2z 10先找到直線x 2z ' 0上兩個(gè)點(diǎn)（1, 1,0）與（1,0,1），故由三個(gè)點(diǎn)確定的平y(tǒng) z 10面方程為3x 2y 4z 10，為準(zhǔn)線的錐面是一個(gè)平面，故我們要求的錐面為過(guò)點(diǎn)P（1,2,0）和直線這就是所求的錐面方程。2.設(shè)n階矩陣A1 bb1bbbb1o求A的特征值和特征向量。解由A的特征方程E A ( b

6、1)n1(n 1)b1 0可得A的特征值為b 1 ( n 1 重)，(n 1)b 1。(4 分)當(dāng)b 0時(shí)，上述為不同的特征值。當(dāng) b 1時(shí)，(E A) 0可化為X1 X2Xn 0 ,故其一個(gè)基礎(chǔ)解系為(1,1,0,0)，(1,0,1,0)，,(1,0,0,1) o當(dāng) (n 1)b 1時(shí)，(E A) 0可化為X1 X2Xn，故其一個(gè)基礎(chǔ)解系為(1,1,1) o(7 分)所以A的屬于b 1的特征向量為k1( 1,1,0,0) kn 1( 1,0,0, ,1)， k1,如 K 不全為零,屬于(n 1)b 1的特征向量為k(1,1,1) , k K , k 0當(dāng)b 0時(shí)，上述特征值都為1,任意非零向

7、量都是特征向量。（10分）2 2 23.設(shè)矩陣A254求正交矩陣T ,使T 1AT為對(duì)角形2452 2 2E A 254245（1）2（ 10）故A的特征值為1（ 2重），10。（ 2分）當(dāng)1時(shí)，由（E A）0可得X12x24x30，故其一個(gè)基礎(chǔ)解系為1( 2,1,0)T，2(2,0,1)T。當(dāng)10時(shí)，由（E A）0可得2為X30，故其一個(gè)基礎(chǔ)解系為X2X303 ( 1, 2,2)t。（6分）將1、2、3正規(guī)化得T1TT1 ( 2,1,0)， 2 -(2,4,5)，3(1,2,2)，再將它們化為單位向量得AAA1( 2,1,0)T，2(2,4,5)T，3-( 1, 2,2)t。V53(53故所

8、求矩陣為22153、. 53142.53.530523、53T100T 1AT0100010（10 分）2 64. 求矩陣A 111 2155的若爾當(dāng)?shù)浞缎?解先求A的初等因子組。2615E A11512610001000（1）2故矩陣A的初等因子組為1 ,(所以矩陣A的若爾當(dāng)?shù)浞缎螢? 0 00 1 1 。0 0 11 2 60 1 1202243（4分）1）2，（ 7 分）（10 分）得分評(píng)閱人四、證明題（共2小題，每小題10分，共20 分）1.設(shè) W A Mn(K)AT A ,W2 A Mn(K)ATA ,證M n(K) Wi W2。證對(duì)任意矩陣A Mn(K)可以表示成11A A At

9、A At ，2211顯然一 A At W， A At W2，故 Mn(K) W1 W2。(5222分)若AW W2，貝UATA，AtA，故A A，所以A 0，所以W1 W2 0，故W1 W2是直和。由以上兩點(diǎn)可得(10M n(K) W W?。分)2.證明：次數(shù)大于零且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式f(x)是一個(gè)不可約多 項(xiàng)式的方幕的充分必要條件為：對(duì)任意的多項(xiàng)式g(x)，必有 (f (x), g(x)1，或者對(duì)某一正整數(shù) m， f(x)g(x)m。證(必要性)設(shè)次數(shù)大于零且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式f(x)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式p(x)的方幕，即f(x) p(x)m。因p(x)為不可約多項(xiàng)式，故對(duì)任意多項(xiàng)式g(x)，有(p(x), g(x)1或者p(x)g(x)。若(p(x),g(x)1，則(p(x)m,g(x)1,即(f(x),g(x)1 ；若 p(x)g(x)，則 p(x)m g(x)m，即 f(x)g(x)m。( 5 分)(充分性)反證法。設(shè)次數(shù)大于零且首項(xiàng)系數(shù)為 1的多項(xiàng)式f(x)不是一 個(gè)不可約多項(xiàng)式p(x)的方幕，即存在兩個(gè)互素的不可約多項(xiàng)式 p(x)與q(x)，都是 f (x)的因式，故p(x)q(x)f(x)。故可設(shè)f(x) p(x)q