2004高考數(shù)學(xué)試題天津理及答案

1、2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）第一卷（選擇題 共60分）參考公式：如果事件A、B互斥，那么。如果事件A、B相互獨(dú)立，那么。柱體（棱柱、圓柱）的體積公式。其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高。一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. i是虛數(shù)單位，= A. B. C. D. 2. 不等式的解集為A. B. C. D. 3. 若平面向量與向量的夾角是，且，則 A. B. C. D. 4. 設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則 A. 1或5B. 6C.

2、 7D. 95. 若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則a= A. B. C. D. 6. 如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于A. B. C. D. 7. 若為圓的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是A. B. C. D. 8. 已知數(shù)列，那么“對任意的，點(diǎn)都在直線上”是“為等差數(shù)列”的A. 必要而不充分條件 B. 充分而不必要條件 C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件9. 函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是 A. B. C. D. 10. 如圖，在長方體中，AB=6，AD=4，。分別過BC、 的兩個(gè)平行截面將長方體分成三部

3、分，其體積分別記為，。若，則截面 的面積為A. B. C. D. 1611. 函數(shù)（）的反函數(shù)是A. B. C. D. 12. 定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，則的值為A. B. C. D. 第二卷（非選擇題 共90分）二. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。13. 某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件。那么此樣本的容量n=。14. 如果過兩點(diǎn)和的直線與拋物線沒有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是。15. 若，則。（用數(shù)字作答）16. 從1，3

4、，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有個(gè)。（用數(shù)字作答）三. 解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17. （本小題滿分12分） 已知，（1）求的值；（2）求的值。18. （本小題滿分12分） 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)。 （1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)”的概率。19. （本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFP

5、B交PB于點(diǎn)F。 （1）證明PA/平面EDB；（2）證明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。20. （本小題滿分12分） 已知函數(shù)在處取得極值。 （1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；（2）過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程。21. （本小題滿分12分） 已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)。（1）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)時(shí)，求。22. （本小題滿分14分） 橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程及離心

6、率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)（），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明。2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）參考解答一. 選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分。15 DAACA 610 BABCC 1112 DD二. 填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分。13. 8014. 15. 200416. 300三. 解答題：17. 本小題考查兩角和正切線，倍角的正弦、余弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，滿分12分。 （1）解： 由，有 解得（2）解法一：解法二：由（1），得于是，代入得18. 本小題考查

7、離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。 （1）解：可能取的值為0，1，2。 。所以，的分布列為012P（2）解：由（1），的數(shù)學(xué)期望為（3）解：由（1），“所選3人中女生人數(shù)”的概率為19. 本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力，滿分12分。 方法一： （1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO。底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn) 在中，EO是中位線，PA / EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA / 平面EDB（2）證明：PD底面ABCD且底面ABCD，PD=DC，可知是等腰

8、直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，。 同樣由PD底面ABCD，得PDBC。底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC。而平面PDC，。 由和推得平面PBC。而平面PBC，又且，所以PB平面EFD。（3）解：由（2）知，故是二面角CPBD的平面角。由（2）知，。設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則， 。在中，。在中，。所以，二面角CPBD的大小為。方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)。（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG。依題意得。底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且。，這表明PA/EG。而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB。（2）證明；依

9、題意得，。又，故。由已知，且，所以平面EFD。（3）解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則。從而。所以。由條件知，即，解得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且，即，故是二面角CPBD的平面角。，且，。所以，二面角CPBD的大小為。20. 本小題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法，以及分析和解決問題的能力。滿分12分。 （1）解：，依題意，即 解得。 令，得。若，則，故在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)。若，則，故在上是減函數(shù)。所以，是極大值；是極小值。（2）解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上。設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足。因，故切線的方程為注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有化簡得，解得。所以，切點(diǎn)為，切線方程為。21. 本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、等比數(shù)列和極限等概念，考查靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，滿分12分。 （1）證明：由，可得。 由數(shù)學(xué)歸納法可證。 由題設(shè)條件，當(dāng)時(shí)因此，數(shù)列是一個(gè)公比為k的等比數(shù)列。（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。而所以，當(dāng)時(shí)。上式對也成立。所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為當(dāng)時(shí)。上式對也成立，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）解：當(dāng)時(shí)22. 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力