河北師大近世代數(shù)課件 第2講--3-7節(jié)代數(shù)運算與三種運算律-一一映射 (17)

1、主講教師主講教師 ： 蔡蔡 炳炳 苓苓 （河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院（河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院)第3節(jié) 整環(huán), 除環(huán)和域 第三章 環(huán)與域 1R10R R定義定義 一個交換的一個交換的, ,有單位元有單位元且且的無零因子環(huán)的無零因子環(huán)稱為整環(huán)稱為整環(huán). .例例 1 1 整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán), , 高斯整環(huán)高斯整環(huán)都是整環(huán)都是整環(huán), 而偶數(shù)環(huán)為無零因子的交換環(huán)。而偶數(shù)環(huán)為無零因子的交換環(huán)。R10R 定義定義：設(shè)：設(shè) 是有單位元的環(huán)是有單位元的環(huán), ,且且如果如果中每個非零元都可逆中每個非零元都可逆, ,則稱則稱為除環(huán)為除環(huán). . RR交換的除環(huán)稱為域交換的除環(huán)稱為域. .QCR、 、例例2 2

2、都是域都是域. . | ,Q iabi a bQ Q i22 ,0,0,abiQ iab 為域為域. .是有單位元的交換環(huán)是有單位元的交換環(huán). . 的每個非零元都可逆的每個非零元都可逆. .證明證明證明證明 可證可證 Q i下證下證,2222 ,abiQ iabab 令令1, 12222, abiQ iabab 故故是是域域 , , mabababZ 0,1,2,1nZm , , mabababZ 零元為零元為0,單位元為單位元為1.而且有結(jié)論mZm為域為域為素數(shù)為素數(shù).為此先考慮以下性質(zhì)即可： , 0maZa amZ( ,)1a m 性質(zhì)性質(zhì)1 1 設(shè)設(shè), ,則則為為的零因子的零因子(1)(

3、1)(2)(2) amZ為為的可逆元的可逆元( ,)1a m amZ (0)mbZ 0a bab |m ab( ,)1a m |mb 0b ( ,)1a m 證：證：(1)(1)若若為為的零因子的零因子, ,則存在則存在, ,使得使得故故. .若若, ,則則, ,所以所以, ,矛盾矛盾. .于是于是. . ( ,)1a md11,aa d mm d 1111|m mam dam a 11 0mam a10m a反之反之, ,如果如果, ,設(shè)設(shè)則則所以所以, ,但但于是于是是零因子是零因子. . amZ(2)(2)若若為為的可逆元的可逆元,則則 ,mbZ 1.a bab|1m ab cZ , ,

4、即即于是于是,1abcm ()1abc m 使得使得, ,也就是也就是( ,)1.a m 所以所以( ,)1a m ,x yZ 反之反之, , 如果如果, ,則則.1staxmy 1axax , ,因此因此, , a故故可逆可逆. .剩余類環(huán)中非零元不是可逆元就是零因子剩余類環(huán)中非零元不是可逆元就是零因子.mZm 0a bab |m ab|m a|m b 0, 0,ab或或者者(1,)maba bm 為無零因子環(huán)為無零因子環(huán)為素數(shù)為素數(shù). .為素數(shù)，若為素數(shù)，若則則，或者或者，即，即若若不是素數(shù)，則不是素數(shù)，則證證：設(shè)：設(shè)mm 0, 0,ab 即即 0,a bab 但但mZ為無零因子環(huán)為無零因

5、子環(huán). .mZ為有零因子環(huán)為有零因子環(huán). .12Z2,3,4,6,8,9,101,5,7,11111111,55,77,1111 解解 (1) (1) (2) (2) 直接計算可知直接計算可知, ,相應(yīng)的逆元為相應(yīng)的逆元為全部零因子全部零因子:全部可逆元全部可逆元:F,0，a bF b 11abb a 1aabb ,0a bF b aabb abba設(shè)設(shè)為域為域, , 則對任意的則對任意的有有，記作，記作由此可定義域由此可定義域的的 除法除法: : 設(shè)設(shè), ,規(guī)定規(guī)定稱稱為以為以除除的商的商. . F(1)acadbcbd且有下列運算法則且有下列運算法則: :(2)acadbcbdbd (4)

6、acadadbdbcbc (3)a cacb dbd說明說明：（：（1）整環(huán)，除環(huán)和域都是無零因子的環(huán)）整環(huán)，除環(huán)和域都是無零因子的環(huán);(2)R中至少中至少2個元，則個元，則 環(huán)環(huán)R為除環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)為除環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R中全體非零元集合中全體非零元集合 R*關(guān)于乘法做成群；關(guān)于乘法做成群； 環(huán)環(huán)R為域當(dāng)且僅當(dāng)為域當(dāng)且僅當(dāng)(R,+)和和(R*,.)都是交換都是交換群群.（3）除環(huán)）除環(huán)中中,0,a bR aaxbyab方程及都有解例51122121211221212112212121212( ,)|,(,)(,),(,)+(,)=(+,+)(,)(,)=(-,)RR 為復(fù)數(shù) ，其中當(dāng)且僅當(dāng)， 中運算為1

7、 0,0,0Riiii 則 做成環(huán)，而且有單位元（ ，），非零元（ ， ）的逆元是 (,),進(jìn)而是除環(huán)，但是它不是交換的： ()(0,1)=(0, ) (0,- )=(0,1)()因此它是非交換的除四元環(huán)，叫做數(shù)除環(huán). 第4節(jié) 無零因子環(huán)的特征 0,1,2,1nZn 我們知道，任意數(shù)環(huán)任意數(shù)環(huán)中，任意兩個非零數(shù)之積還是非零數(shù)，而且對有,0,0aZ aaaana 在模模n的剩余類環(huán)的剩余類環(huán)中，0 , 0naZn ana都有而且滿足條件的最小正整數(shù)n是存在的. 不難發(fā)現(xiàn)，以上性質(zhì)和環(huán)中元的加法階有關(guān).無零因子環(huán)中任意非零元對加法無零因子環(huán)中任意非零元對加法的階相同的階相同. 證明：證明：若都無限，階相同若都無限，階相同. .|,0,0,()()0am mabma ba mb 若若0|mbbm |,0()()0bn nba nbna b 0|naan|.bm定義：定義：對于加法來說，一個無零因子環(huán)對于加法來說，一個無零因子環(huán)R的的非零元的相同的（加法）階叫做非零元的相同的（加法）階叫做環(huán)環(huán)R的特征的特征。記作charR。注注：若無零因子環(huán)：若無零因子環(huán)R的特征是的特征是n，則，則R的所的所有非零元的有非零元的n倍為零元。倍為零元。無零因子環(huán)的特征或者無限，或者為素數(shù)無零因子環(huán)的特征或者無限，或者為素數(shù).0,0,0,akama 1,1,charRnnkmk mn 且且證明：證明：（反證