(完整版)第8章空間解析幾何與向量代數(shù)近年試題濟南大學(xué)

1、0809 B一、填空題（每小題3分，共18分）221、曲線z %x y在xOy面上的投影曲線為 z2 2x消去z,再與z=0聯(lián)立.y2 2x z 05、曲線(z a) y 0繞z軸旋轉(zhuǎn)得到曲面方程為繞z軸，母線中的變量z不變,x換成qx2 y2/22(z a) x、選擇題（每小題3分,共15分）2、在曲線Xt, yt2,z t3所有切線中，與平面x 3y 3z4平行的切線（A）只有條;（B）只有兩條;(C)切線的方向向量與平面的法向量垂直,(1,至少有3條;2 r2t,3t ) , n(D)不存在(1,3,3),r r sgnA:、解答題每小題分10,共20分)x2、求直線x0 一一與平面0y

2、 z 1 0的夾角.解：設(shè)夾角為，直線的方向向量（0, 2, 2）,平面的法向量rn (1,1,1)sinr n|4|123.2 arcsin . 30910B一、填空題（每小題2分，共10分）1、過點（3,0, 1）且與平面3x 7y 5z 12 0 垂直的直線方程為.與平面垂直的直線和該平面的法向量平行，x 3 y z 1375、選擇題(每小題2分，共10分)y2 z2 2x 02、曲線 y z 3( )y2 2x(A)y ；z 0(C) y2 2x 9；在xOy面上的投影曲線的方程是(B)(D)2xy2 2x在xOy面上的投影曲線，消去曲線中的變量z,然后聯(lián)立z=0.B4、設(shè)a, b為兩

3、個向量，則正確的是()(A) a b a b =0；(B) a b a ?b =0；(C) a?b表示以a, b為鄰邊的平行四邊形的面積； a.*(D) a b a b = 0 .r urrurrir.利用數(shù)量積和向量積的性質(zhì)：ab0ab,ab0 a b,ax b表示以a, b為鄰邊的平行四邊形的面積D四、計算題(每小題10分，共40分)3、設(shè)已知兩點M 1(4, 72,1)和M 2 (3,0,2).計算向量M1M2的模、方向余弦及與其 平行的單位向量.UUUJUr(1) M1M2 1, V2,1,向量uuuuur .UUUULLrM1M 2 的模為：P1P2<1 2 1 2,1cos

4、一 .2, 12 1、(,一)，22 2cos )(-,-)2 221 '2向量M1M 2的方向余弦為：cos一 ,cos ,2 2uuuuur與向量M1M 2同向的單位向量：a°(cos ,cos ,cos )UULULir與向量M1M 2反向的單位向量：a°(cos ,cos從而其平行的單位向量(1, ,-)ft (-, , 1)22 22 22解答題每小題分12,共24分)1、試求曲線2x繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面與平面01所圍成的立體的體積.f (x,y)dD解：曲線zyf (r cos ,r sin )rdrdD2x繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)拋物面0y2 ，z=1所圍成的

5、立體在xoy面上的投影為2x,y :x極坐標表示D:01,0V (1 x2 y2)dD(12) dD10(12)2、已知xoy平面上兩定點A(1,3,0)、B(4,2,0)及橢圓柱面、2y- 1 (x 0,y 0)4上一點C(x,y,0),記 ABC的面積為S .、計算SACAB ; (2)、試確定C(x,y,0)點坐標使S解:uuuAB(3,1,0),uurAC(x 1,y 3,0),uurACuuurAB(10 x 3y)i ,1 uur-AC 2uuuAB1-|1021-3y | -(10 x 3y). (Q 0 x 3,02y 2)(2)設(shè)拉格朗日函數(shù)F (x, y,1 2(10x 3

6、y)x2 y2(T 7 1),Fx令Fy12322x92x9y22 y4解方程組，得唯一駐點x34. .y 下，且 ABC面積最大值一定存在，所以當,5. 5ABC面積最大,，一 ,3點C坐標為（二,.51011B、填空題（每小題3分，共15分）（2）旋轉(zhuǎn)拋物面1在點（2,1,4）處的法線方程是解，設(shè)Fx2Fx 2x, Fy2y,Fz1.曲面在點（2,1,4）處的法向量(4,2, 1).過已知點的法線方程為:方程3x22 o 2y 2z1所表示的曲面方程名稱是雙葉雙曲面（5） 求過點M1(1,2, 1),M2（2,3,1）,且和平面x y z 1 0垂直的平面方程為 UUUUULTM1M2(2

7、 1,32,1 (1)(1,1,2),(1, 1,1)所求平面白法向量nu所求平面方程為：3（xr i11u k21r3ir2k.1)(y2)2(z1)3x y 2z 7 01112B、填空題（每小題2分,共10分）則它們的數(shù)量積5.若a , b為同向的單位向量,答案：1共10分）二、選擇題（每小題2分,1.設(shè)平面方程為By Cz D0,且 B,C,經(jīng)過y軸 （D）經(jīng)過x軸（A）平行于x軸 （B） 平行于y軸 （C）答案：Axyz4.兩平面一一一234（A）平行但不重合1,2x 3y 4z 1的位置關(guān)系是(B)重合 （C）相交但不垂直（D） 垂直由* 111因為一23( 4)2341,所以兩平

8、面不垂直,兩平面的法向量對應(yīng)的坐標不成比例，所以所以兩平面不平行答案：C四、解答題（每小題11分，共33分）1.求過點（-3, 2, 5）且與平面x 4z 3 0和2x y 5z 1 0的交線平行的直線方程解：所求直線與已知的兩個平面的法向量都垂直，所以所求直線的一個方向向量rrrijkr n104215r4ir r 一 , , _ x 33j k.所求直線方程為 上4解法2:兩方程聯(lián)立，求出交線方程。由 x-4z=3 得（x-3）/4=z ,代入（2）得（y-5）/3=z ,因此交線方程為（x-3）/4=（y-5）/3=z ,方向向量（4, 3, 1）,所以所求直線方程為（x+3）/4=（y

9、-2）/3=（z-5）/1 .解法3在交線上取兩點。如取 z=0 , x=3 , y=5 得 A （3, 5, 0）,再取 z=1 , x=7 , y=8 得 B （7, 8, 1）,因此交線的 方向向量 為AB= （4, 3, 1）,所求直線方程為（x+3）/4=（y-2）/3=（z-5）/17 x23.求曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面y 0z1所圍成立體的體積V.z x2解：曲線z x繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)拋物面z x2 y 0y2 ,與z=1所圍成的立體在xoy面上的投影為D22x,y : x y 1 .極坐標表示D ,:01,0222V (1 x2 y2)dD2(12) d dD210

10、d 0(12) d1213B一、填空題（每小題2分，共10分） 過點（1,2,1）且與平面x 2y 3z 0平行的平面方程x 1 2(y 2) 3(z 1) 0或 x 2y 3z 8 0四、應(yīng)用題(每小題10分，共20分)(1)求旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2上垂直于直線x y z 1x 2y 5z 3的切平面方程.r r r.r i j k 解：已知直線的萬向向量s 1 1 11 2 5r r3i 4jr k.設(shè)拋物面上在點M (x0, y°,。)處的法向量(2%,2y0, 1)與已知直線的方向向量2x02y013 c 25干仃，于 ae .行 x0 , y0 2,z0 .34124325.

11、25所求得切平面萬程為3(x 3)4(y 2) (z 25)0或3x4y 2工0.0809代數(shù)幾何B、填空題(每小題4分，共32分)2、經(jīng)過y x3、曲線22x VO z軸和點(1,1,1)的平面方程的為 . 22z x y一 一一, ，、一/ x y 在xOy平面上的投影柱面的方程為x2 y2 z2 21二、選擇題(每小題4分，共20分)4、下列方程中表示的曲面為圓錐面的是B 2222(A)z 2x2 2y2; (B)(z 2)2 xy-; (C) y 4x2; (D)z2 1 -y-.44A為旋轉(zhuǎn)拋物面，B為圓錐面，C拋物柱面 D旋轉(zhuǎn)橢球面1011代數(shù)幾何B二、選擇題(每小題3分，共18分

12、)22_25.二次萬程X 2x2 3x3 4x62 1所表布的曲面為C (A)橢球面； (B )二次錐面；(C )單葉雙曲面；(D )雙葉雙曲面.(需要用到線性代數(shù)中線性變換及二次型知識 )1112代數(shù)幾何A一、填空題(每小題3分，共18分)4.母線平行于z軸且過曲線2x22x2y2y2z2z16,、的柱面方程為02_2 一x 2y 166.過點(1,0,1)且垂直于直線x 2y z 12x y z 10的平面方程為0(x 1) 3y 5(z 1) 0 或 x 3y 5z 4、選擇題(每小題3分，共18分)1.方程2x2 2y2 z2 1表示旋轉(zhuǎn)曲面，則旋轉(zhuǎn)軸為().(A) x 軸;(B) y

13、軸;(C) z軸;(D)任一直線.分析曲線f(x,y) 0繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為f(x jyL/)0.因為曲線 z 0上的點在旋轉(zhuǎn)過程中有兩個不變：一是橫坐標x不變；二是所求曲面上的點到 x軸的距離不變，所以只需將y換成 Jy2 z2 . 一般地，求由某一坐標面上的曲線繞該坐標面上的某一個坐標軸旋轉(zhuǎn)而得旋轉(zhuǎn)曲面方程的方法是：繞哪個坐標軸旋轉(zhuǎn)，則原曲線方程中相應(yīng)的那個變量不變，而將曲線方程中另一個變量改寫成該變量與第三個變量平方和的正負平方 根.1213代數(shù)幾何A一、選擇題(每小題3分，共18分)16,、16的柱面方程是().0, 小 2x26.母線平行于y軸且通過曲線2x(A)3x2 2

14、z2 16 (B)x2 2y2 16 (C)3y2 z2 16 (D)3y2 z2 16.A消去變量y1011代數(shù)幾何A一、填空題(每小題3分，共21分)3 、過點(1,0,1)且垂直于直線 x 2yzi 0的平面方程 2x y z 1 0(x 1) 3y 5(z1) 0或x 3y 5z 4 07、曲線z 1 y2繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面方程為x 022x y z 1、選擇題(每小題3分，共21分)4、曲面z x2 2y2與z 6 2x2 y2所圍成的封閉曲面在xoy面上的投影區(qū)域為(A)圓 x2 y2 2;(B)圓面 x2 y2 2 ;(C)橢圓 2x2 y2 6 ;(D)橢圓面 2x2 y2

15、6 .B消去z,交線在xoy面上的投影所圍區(qū)域 四、綜合題(每小題10分，共20分)正3 : 3x y az 6交于一條直線1、已知三平面m : x z 1,色：y 2z 3, l,求a的值，并求此直線l的方程.注：需要用到線性代數(shù)中線性方程組解結(jié)構(gòu)的理論 解：三平面交于一條直線r(A) r(AMb)1 0 12此時 |A| 0 1 23 1 a0.即a5,10 11A b 0 12 33 15 610 110 12 30 12 310 110 12 30 0 0 0所求直線方程為x z 1y 2z 30910代數(shù)幾何A一、填空題(每小題3分，共15分)3、過點A(4,0,-2)和點B(5,1

16、,7)且平行于z軸的平面方程為 七、(滿分12分)已知三個平面的方程分別為:1 : x y z 1, 2 : x- z b, 3 : 3x 2y az 1.討論a, b為何值時：(1)三平面交于一點；(2)三平面兩兩交于一條直線；(3)三平面交于一條直線 并寫出此直線的標準方程.注：需要用到線性代數(shù)中線性方程組解結(jié)構(gòu)的理論解：110.即 aa1,b為任意實數(shù)時，方程組有唯一解,1 1(2)方程組的系數(shù)行列式|A| 1 03 2平面交于一點.1 11三平面兩兩交可0.即 a 1,條直線；r(A) 2,r(ANb) 3。此時 |A| 1 0，3 2a1111Ab 1 01 b3 2111111012 b 101221111012 b 10 00 (b 1)Qr(A) 2,r(AMb) 3, b 1.所以a 1,b1時，三平面兩兩交41 11(4)三平面交于一條直線r(A) r(AMb) 2此時|A| 1 013 2a0.即a1,1111A b 1 01 b3 2111111012 b 101221111012 b 10 00 (b 1)x y z 1 y 2z 2(A) f(x2 z2,y)Q (B)f( .x2 z2,y) 0; (C)f(x, . y2 z2) 0;(D)f(、x2 z2,y) 0;z 0.所以b1時，r(A) r(AMb) 2.直線的標