2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第22講任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式

1、2022年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第22講任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式一課標(biāo)要求：1任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化；2三角函數(shù)1借助單位圓理解任意角三角函數(shù)正弦、余弦、正切的定義；2借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式/2±, ±的正弦、余弦、正切。二命題走向從近幾年的新課程高考考卷來看，試題內(nèi)容主要考察三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，但解決這類問題的根底是任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式，在處理一些復(fù)雜的三角問題時(shí)，同角的三角函數(shù)的根本關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵。預(yù)測2022年高考對本講的考察是：1題型是1道選擇題和解答題中小過程；2熱點(diǎn)內(nèi)容是三角函數(shù)知識

2、的綜合應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，這也是新課標(biāo)教材的熱點(diǎn)內(nèi)容。三要點(diǎn)精講1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。2終邊相同的角、區(qū)間角與象限角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊除端點(diǎn)外在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就

3、認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個(gè)角具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k(kz)，即|=2k+，kz，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如|=，。3弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。角度制與弧度制的換算主要抓住?；《扰c

4、角度互換公式：1rad°57.30°=57°18、1°0.01745rad。弧長公式：是圓心角的弧度數(shù)，扇形面積公式：。4三角函數(shù)定義在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過作軸的垂線,垂足為,那么線段的長度為,線段的長度為.那么；。a的終邊p(x,y)oxy利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:(1)叫做的正弦,記做,即；2叫做的余弦,記做,即；3叫做的正切,記做,即。5三角函數(shù)線oxya角的終邊ptma三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解

5、三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便。以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓注意：這個(gè)單位長度不一定就是1厘米或1米。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，那么其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎颍矣姓?；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎颍矣姓?；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其

6、中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6同角三角函數(shù)關(guān)系式使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切、“割用“弦表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個(gè)常用關(guān)系式：sin+cos，sin-cos，sin·cos；(三式之間可以互相表示)同理可以由sincos或sin·cos推出其余兩式。 當(dāng)時(shí)，有。7誘導(dǎo)公式可用十

7、個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號看象限。誘導(dǎo)公式一：，其中誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin1要化的角的形式為為常整數(shù)；2記憶方法：“函數(shù)名不變，符號看象限；3sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kz)；4；。四典例解析題型1：象限角例1角；1在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；2集合，那么兩集合的關(guān)系是什么解析：1所有與角有相同終邊的角可表示為：，那么令 ，得 解得 從而或代回或2因?yàn)楸硎镜氖墙K邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在坐標(biāo)

8、軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：。點(diǎn)評：1從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個(gè)關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；2可對整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論。例2假設(shè)sincos0，那么在 a第一、二象限 b第一、三象限c第一、四象限 d第二、四象限解析：答案：b；sincos0，sin、cos同號。當(dāng)sin0，cos0時(shí)，在第一象限，當(dāng)sin0，cos0時(shí)，在第三象限，因此，選b。例3假設(shè)a、b是銳角abc的兩個(gè)內(nèi)角，那么點(diǎn)pcosbsina，sinbcosa在 a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限答案：b解析：a、b是銳角三

9、角形的兩個(gè)內(nèi)角，ab90°，b90°a，cosbsina，sinbcosa，應(yīng)選b。例4“是第三象限角，那么是第幾象限角 解法一：因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，?dāng)k=3mmz時(shí)，為第一象限角；當(dāng)k= 3m1mz時(shí)，為第三象限角，當(dāng)k= 3m2mz時(shí)，為第四象限角，故為第一、三、四象限角。解法二：把各象限均分3等份，再從x軸的正向的上方起依次將各區(qū)域標(biāo)上i、，并依次循環(huán)一周，那么原來是第象限的符號所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域。由圖可知，是第一、三、四象限角。點(diǎn)評：角的范圍或所在的象限，求所在的象限是常考題之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份

10、，再從x軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上i、，并循環(huán)一周，那么原來是第幾象限的符號所表示的區(qū)域即為 (nn*)的終邊所在的區(qū)域。題型2：三角函數(shù)定義例5角的終邊過點(diǎn)，求的四個(gè)三角函數(shù)值。解析：因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，。當(dāng)；，。當(dāng)，；。例6角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值。解析：由題設(shè)知，所以，得，從而，解得或。當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 。題型3：誘導(dǎo)公式例7 tan300°+的值是 a1b1c1d1解析：答案：b tan300°tan(360°60°)tan60°1。例8化簡：1；2。解析：1原式；2當(dāng)時(shí)，原式。當(dāng)時(shí)，原式。點(diǎn)評：關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)是表示

11、的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型，分別加以討論。題型4：同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式例9，試確定使等式成立的角的集合。解析：，=。又， 即得或所以，角的集合為：或。例101證明：；2求證：。解析：1分析：證明此恒等式可采取常用方法，也可以運(yùn)用分析法，即要證，只要證a·d=b·c,從而將分式化為整式證法一：右邊=證法二：要證等式，即為只要證 2=即證：，即1=，顯然成立，故原式得證。點(diǎn)評：在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡和三角恒等式的證明時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦要簡潔得多。2同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式有三種

12、，即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系。2證法一：由題義知，所以。左邊=右邊。原式成立。證法二：由題義知，所以。又，。證法三：由題義知，所以。，。點(diǎn)評：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時(shí)常用的方法有：1從一邊開始，證明它等于另一邊如例5的證法一；2證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子如例6；3證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立。五思維總結(jié)1幾種終邊在特殊位置時(shí)對應(yīng)角的集合為：角的終邊所在位置角的集合x軸正半軸y軸正半軸x軸負(fù)半軸y軸負(fù)半軸x軸y軸坐標(biāo)軸2、2之間的關(guān)系。假設(shè)終邊在第一象限那么終邊在第一或第三象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。假設(shè)終邊在第二象限那么終邊在第一或第三象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。假設(shè)終邊在第三象限那么終邊在第二或第四象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。假設(shè)終邊在第四象限那么終邊在第二或第四象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。只有這樣才能在高考中奪得高分。三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上