2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性練習(xí)(含解析)

1、專題3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【考試要求】1 .結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對于多項(xiàng)式函數(shù)，能求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2 .借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；3 .能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值；體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系.【知識梳理】1 .函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f' (x)>0 ,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f' (x)<0 ,則f(x)

2、在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f' (x)=0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).2 .函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f' ( x0) = 0xo附近的左側(cè)f' (x)>0,右側(cè)f ' (x)<0x0附近的左側(cè)f' (x)<0,右側(cè)f ' (x)>0圖象If 1y /形如山峰o形如山谷極值f ( x0)為極大值f(x0)為極小值極值點(diǎn)x。為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)3 .函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)f(x)在a, b上有最值的條件如果在區(qū)間a, b上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)求y=f (x

3、)在a, b上的最大(小)值的步驟求函數(shù)y = f(x)在(a, b)內(nèi)的極值；將函數(shù)y = f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f( a), f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.【微點(diǎn)提示】1 .函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上遞增，則f' (x)>0,"f'(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2 .對于可導(dǎo)函數(shù)f(x) , "f ' ( x(o) =0"是“函數(shù)f(x)在x = x(o處有極值”的必要不充分條件.3 .求最值時，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系

4、不確定時，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.4 .函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.【疑誤辨析】1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打或“X”)(1)若函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有 f' (x)>0.()(2)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f' (x) = 0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.()(3)函數(shù)的極大值一定大于其極小值.()(4)對可導(dǎo)函數(shù)f(x), f ' (x0) = 0是x0為極值點(diǎn)的充要條件.()(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.()【答

5、案】(1) x (2) V (3) X (4) X (5) V【解析】(1) f(x)在(a, b)內(nèi)單調(diào)遞增，則有f' (x)>0.(3)函數(shù)的極大值也可能小于極小值.(4) xo為f(x)的極值點(diǎn)的充要條件是 f ' (x。)= 0,且xo兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)異號.【教材衍化】2 .(選彳2- 2P32A4改編)如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f' (x)的圖象，則f (x)的極小值點(diǎn)的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4【答案】 A【解析】由題意知在x=1處f' (1)=0,且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號為左負(fù)右正3 .(選彳2- 2P32A5(4)改編)函數(shù)f (x) = 2x-xl

6、n x的極值是()A. -B.2C.eD.e2ee【答案】【解析】因?yàn)?f ' (X) = 2(ln x+ 1) = 1 ln x,令 f' (x) =0,所以 x=e,當(dāng) f ' (x)>0 時，解得 0<x<e；當(dāng)f' (x)<0時，解得x>e,所以x = e時，f(x)取到極大值，f (x)極大值= f(e) = e.【真題體驗(yàn)】4.(2019 青島月考)函數(shù)f (x) =cos x x在(0,兀)上的單調(diào)性是()A.先增后減B.先減后增C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減【答案】 D【解析】易知 f' (x) = sin x-

7、1, xC(0, ) ),則f' ( x)<0 ,所以f (x) = cos x x在(0 ,兀)上遞減.5.(2017 浙江卷)函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f' (x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y = f(x)的圖象可能是()【答案】 D【解析】設(shè)導(dǎo)函數(shù)y= f '(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左往右依次為xi,x2,x3,由導(dǎo)函數(shù)y=1(x)的圖象易得當(dāng)x ( -oo, x1) U(x2,x3)時，f '(x)<0 ;當(dāng) x C(x1,x2)U(x3,+8)時，f ' (x)>0(其中x1<0<x2<x3),所以函數(shù)f

8、 (x)在(8,xi) ,( x2,x3)上單調(diào)遞減，在(xi,x2),( *3,+ 00 )上單調(diào)遞增，觀 察各選項(xiàng)，只有 D選項(xiàng)符合.6.(2019 豫南九校考評)若函數(shù)f(x)=x(xC)2在x=2處有極小值，則常數(shù) c的值為()A.4B.2 或 6C.2D.6【答案】 C【解析】函數(shù)f (x) = x(xc)2的導(dǎo)數(shù)為f ' ( x) = 3x24cx+c2,由題意知，在x= 2處的導(dǎo)數(shù)值為128c+c2=0,解得c=2或6,又函數(shù)f (x) =x(x- c)2在x = 2處有極小值，故導(dǎo)數(shù)在 x=2處左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，而當(dāng) e=6時，f (x)= x(x6)2在x= 2處有

9、極大值，故 c=2.【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】 已知函數(shù)f (x) = ax3+x2( aC R)在x= g處取得極值 3(1)確定a的值；(2)若g(x) =f (x)ex,求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.【答案】見解析【解析】(1)對f(x)求導(dǎo)得f' (x) =3ax2+2x,因?yàn)閒(x)在x= 3處取得極值，所以f' 4=0,2即 3a. -3 +2- 3 =竽8=0,解得 a=J. 33332(2)由得 g(x) = 1x3+x2 ex,1x故 g (x) = 2x(x+1)( x+4)e .令 g' (x)<0,即 x(x+1)( x+4)

10、<0 ,解得1<x<0 或 x<-4,所以g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(一1 , 0) , ( 00, - 4).【規(guī)律方法】1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f ' ( x) ; (3)在定義域內(nèi)解不等式f ' ( x)>0 ,得單調(diào)遞增區(qū)間；(4)在定義域內(nèi)解不等式f' (x)<0,得單調(diào)遞減區(qū)間.2.若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個時，用 一與“和”連接 【訓(xùn)練1 (1)已知函數(shù)f(x)=xln x,則f(x)()A.在(0 , +8)上遞增B.在(0 , +8)上遞減C.在0, 1上遞增D.在0, 1上

11、遞減ee(2)已知定義在區(qū)間(一兀，兀)上的函數(shù)f(x)=xsin x + cos x,則f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .兀?！敬鸢浮?1)D(2)兀，萬,0, -2【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f (x) = xln x,定義域?yàn)?0 , 十°°),所以f' (x) = ln x+ 1( x>0),當(dāng)f ' (x)>0時，1 _ 1,一一 1 一 解得x>-,即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為一，十8 ；當(dāng)f'(x)<0時，解得0<x<-,即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為eee0,(2)f' (x)=sin x+xcos xsin x=

12、 xcos x.令 f' (x)=xcos x>0,則其在區(qū)間(一兀，兀)上的解集為 兀兀 兀兀一兀，一 2和0, 了，即f (x)的單倜遞增區(qū)間為一兀，一 2 , 0,.考點(diǎn)二討論函數(shù)的單調(diào)性【例2】(2017 全國I卷改編)已知函數(shù)f(x) = ex(exa) a2x,其中參數(shù)a<0.討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x) >0,求a的取值范圍.【答案】見解析【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?8, +oo),且a<0.f' ( x) = 2e2x- aex- a2= (2ex+ a)(e x-a).若a=0,則f(x) = e2x,在(8, +8

13、)上單調(diào)遞增.a右 a<0,則由 f ' (x) = 0,得 x= In -2 . a當(dāng) xC 8, in 2 時，fz (x)<0 ; a當(dāng) xC In 2,+oo 時，f' (x)>0. a 故f (x)在 一°°, in 2 上單倜遞減， a在區(qū)間In -2 , +8上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a= 0時，f(x) =e2x>0恒成立.aa 23a右a<0,則由 得，當(dāng)x= In 2時，f(x)取得最小值，最小值為 f In 2 =a 4In -2 ,一，2 3a故當(dāng)且僅當(dāng)a 4In -2 >0, 3即 0>a口 2e

14、4時,f(x) >0.3綜上，a的取值范圍是-2e4, 0.【規(guī)律方法】1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).2.個別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如f(x)=x3, f, (x) = 3x2>0(f，(x)=0在x=0時取到),f (x)在R上是增函數(shù).2 x【訓(xùn)練2已知f (x) = -aln x, aCR,求f(x)的單倜區(qū)間.【答案】見解析 2 ，一 一，x【解析】因?yàn)?f(x) = -aln x, xC(0, +8),a x2a所以 f (x)

15、 = x-1=-x-.(1)當(dāng)a<0時，f ' (x)>0,所以f (x)在(0 , +°°)上為單調(diào)遞增函數(shù).(2)當(dāng)a>0時，f' (x)=")(),則有 x當(dāng)xC(0,也)時，f' (x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 洞.當(dāng)xC(、a, +8)時，f' (x)>0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(g +8). 綜上所述，當(dāng)awo時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +8),無單調(diào)遞減區(qū)間. 當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, Ja),單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+8). 考點(diǎn)三函

16、數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用角度1比較大小或解不等式滿足 f' ( x)cos x + f (x)sin x=1 + lnx,其中?！纠?1】(1)已知函數(shù)y=f(x)對于任意的x 0,- f' (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式成立的是 (L 兀兀B.2f T>f 7f 7t兀D.3f萬>f石L 兀兀A. .2f 3 <f 7L 兀 廠 兀C. 2f 6 > .3f 了(2)已知函數(shù) f'(x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù),f (1)=",對任意實(shí)數(shù)都有f(x) f ' (x)>0 ,設(shè)eF(x)=17C.(1 ， e)1)令

17、g(x) =f' (x)cos xf(x)(sin x)1 + ln xcos2xcos2x兀0<x<2解得g' (x)>0,F(x)<J的解集為()eB.(1 , +°0)D.(e , +8)(2)B1兀_<x<：e2 '0 兀<x<2 ' 解得0<x<-.所以函數(shù)g(x)在0,-上單調(diào)遞減，在 1,三 上單調(diào)遞增,eee 2g' (x)<0,兀兀f Q f又牙>不，所以g三>g 2，所以>,3 434兀兀cos ° COS /34L 兀即 2f 3

18、 >f(2) F' (x) =兀4 .f' (x)exexf(x)f' (x)f(x)(ex)2又 f(x)f ' (x)>0,知 F' (x)<0 ,F( x)在R上單調(diào)遞減.1由 F(x)<>= F(1),得 x>1, e1 ,所以不等式F(x)<2的解集為(1 , +OO). e角度2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)1 2【例32 (2019 日照質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x) = ln x, g(x)=2ax + 2x.(1)若函數(shù)h(x) = f(x) g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)h(x) =

19、 f(x) -g(x)在1 , 4上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a的取值范圍【答案】見解析12【解析】h(x) = ln x-2ax -2x, x>0.，,、1ch ( x) = 一一 ax2. x(1)若函數(shù)h(x)在(0 , +8)上存在單調(diào)減區(qū)間，則當(dāng)x>0時，1ax 2<0有解，即a>42有解. xx x12 一設(shè) G(x)=W ，所以只要 a>G(x) min. x x又 G( x) = - 1 1 ,所以 G(x) min= - 1.x所以a>1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一1, +8).(2)由h(x)在1 , 4上單調(diào)遞減,1，當(dāng) xC1, 4時，h

20、9; (x) =一ax2W0 恒成立, x則a>44值成立,設(shè)G(x) =4-, x xx x所以 a > G( x) max.又 G(x)= 11 1, xC1 , 4, x因?yàn)?xC 1 , 4,所以 1c 1, 1 , X 4所以 Gx)max= (此時 x= 4),所以 a>- 16.又當(dāng)7，17a=一歷時，h(x)=x+ 而x1 2 =(7x4) (x 4)16x. xC 1 , 4,h，(x)=(7x 4) ( x 4)16x<0,當(dāng)且僅當(dāng)x = 4時等號成立.1 h(x)在1 , 4上為減函數(shù).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 16，+00 .【規(guī)律方法】1.利用導(dǎo)數(shù)

21、比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y = f(x)在(a, b)上單調(diào)，則區(qū)間(a, b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2) f(x)是單調(diào)遞增的充要條件是對任意的xC(a, b)都有f' (x)>0且在(a, b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f' (x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解(3)函數(shù)在某個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題【訓(xùn)練3】(1)已知f(x)是定義在區(qū)間(0, 十°0)內(nèi)的函數(shù)，其導(dǎo)

22、函數(shù)為f' (x),且不等式xf' (x)<2f(x)恒成立，則()A.4 f (1)< f(2)C.f (1)<4 f(2)B.4f (1)> f(2)D.f(1)>4 f ' (2)(2)(2019 淄博模擬)若函數(shù)f (x) = kx-ln x在區(qū)間(2 ,十8)上單調(diào)遞增，則 k的取值范圍是()1在(0 , +8)內(nèi)為減函數(shù)，所以,所以 4f (1)> f (2).A.(巴2B. 2, i(2)由于f' (x) = k1, f(x)=kxIn x在區(qū)間(2 ,+8)上單調(diào)遞增，等價于 f' (x)=k1>

23、0在(2, 十 xx8)上恒成立，由于 k>1,而0<1<1,所以k>1.即k的取值范圍是1-, + 8 . x x 222【反思與感悟】1 .已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f ' (x)>0, f' (x)<0的解區(qū)間，并注意函數(shù) f(x)的定義域.2 .含參函數(shù)的單調(diào)性要注意分類討論，通過確定導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性3 .已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)可以利用給定的已知區(qū)間和函數(shù)單調(diào)區(qū)間的包含關(guān)系或轉(zhuǎn)化為恒成立問題兩種思路解決.【易錯防范】1 .求單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循定義域優(yōu)先的原則2 .注意兩種表述“函數(shù) f(x)在(a, b)上為減函數(shù)”與“

24、函數(shù) f(x)的減區(qū)間為(a, b)”的區(qū)別.3 .在某區(qū)間內(nèi)f' (x)>0( f' (x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.4 .可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a, b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對 ？ xC (a, b),都有f ' (x) >0( f' ( x) w。), 且f' (x)在(a, b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零 .【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時：40分鐘)一、選擇題1 .函數(shù)y = f(x)的圖象如圖所示，則 y= f ' (x)的圖象可能是()【答案】D【解析】由函數(shù)f(x)

25、的圖象可知，f (x)在(8, 0)上單調(diào)遞增，f(x)在(0 , +8)上單調(diào)遞減，所以在(8, 0)上，1(x)>0;在(0 ,+8)上，(x)<0 ,選項(xiàng) D滿足.2 .函數(shù)f (x) = x exe"1的單調(diào)遞增區(qū)間是()B.(1 ， e)A.( -°0, e)C.(e , +°°)【答案】D【解析】 由f(x) =x ex ex+1,得 f ' ( x) = (x+ 1-e) ex,令 f' (x)>0,解得 x>e-1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e -1, +oo).3 .(2019 青島二中調(diào)

26、研)若函數(shù)f(x) =x312x在區(qū)間(k1, k+1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是()A. kw 3或1w k<i 或 k>3B.不存在這樣的實(shí)數(shù) kC. 2<k<2D.-3<k<-1 或 1<k<3【答案】D【解析】 由 f(x)=x312x,得 f ' (x) =3x212,令 f' (x) = 0,解得 x=2 或 x=2,只要f' (x) = 0的解有一個在區(qū)間(k1, k+1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(k1, k+1)上就不單調(diào)，則k 1<2<k+1 或 k1<2<k+1,解得3

27、<k<1 或 1<k<3.4.已知 f(x) = l,則()xA.f(2)> f (e)> f(3)B.f(3)> f (e)> f(2)C.f(3)> f(2)> f(e)D. f(e)> f(3)> f(2)【答案】D_. . _ 1 In x【解析】 “*)的7£義域是(0, +°°). f (x)=2,xxC(0, e) , f' (x)>0, xC(e,十刃，f' (x)<0 ,故 x= e 時，f ( x) max= f (e), In 2 In 8In

28、 3 In 9又 f (2) = 2 = 6 ，f (3) = 3 = 6 ,則 f(e)> f(3)> f(2).5.(2019 濟(jì)寧一中模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R f( 1)=2,對任意xCR, f' (x)>2,則f(x)>2x+4的解集為()A.( -1, 1)B.( T, +0°)C.( 一00, 一 1)D.( 00, +°0)【答案】 B【解析】由 f(x)>2x+4,彳導(dǎo)f(x) 2x4>0,設(shè)F(x) =f (x) 2x 4,貝UF'(x) = f '(x) 2,因?yàn)閒 ' (x)&

29、gt;2 ,所以F' (x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上單調(diào)遞增.又 F(-1) = f( -1)-2X(- 1) -4=2+2-4=0,故不等式 f (x) -2x-4>0 等價于 F(x)>F( 1),所以 x> -1.二、填空題6 .已知函數(shù)f(x) =(-x2+2x)ex(x R, e為自然對數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 . 【答案】(-斕,®【解析】因?yàn)閒(x) = ( x2 + 2x)ex,所以 f ' (x) = ( 2x+2)ex + (x2+2x)ex=(x2+2)ex.令 f' (x)>0

30、,即(x2+2)ex>0,因?yàn)?ex>0,所以一x2+2>0,解得一2<x<2,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(7, 2).7 .若函數(shù)f (x) = ax3+3x2 x恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .【答案】(3, 0) U (0 , +oo)【解析】由題意知f' (x)=3ax2+6x 1,由函數(shù)f(x)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，得 f' (x)有兩個不相等的零點(diǎn).需滿足aw0,且 A = 36+12a>0,解得a>- 3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一3, 0) U (0 , +oo).8 .若函數(shù)f (x) =- 1x3+

31、1x2+2ax在2, +0°上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是 .323【答案】1, +°°9【解析】對 f(x)求導(dǎo)，得 f ' (x) = x2+x+2a= x2+ +2a.當(dāng) xC +°° 時，f' ( x)的最大243值為f' 2 =|+2a.令|+2a>0,解得a> 1.所以a的取值范圍是 ：，+°0 . 39999三、解答題9.已知函數(shù)f (x) =x+ a-ln x-1，其中aC R,且曲線y= f(x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線垂直于直線 y=Jx.4 x22(1)求a的值；(

32、2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間【答案】見解析【解析】(1)對f(x)求導(dǎo)得f' (x)=11, 4 x x. 1 .35由f(x)在點(diǎn)(1 , f)處的切線垂直于直線丫=*知f一1 a= 2,解得a = 4., x 53(2)由知 f(x)=4+4xln x-2(x>0).匚 一 ,x2 4x-5貝U f(x) = 2.4x令 f ' ( x) = 0,且 x>0, . x= 5(x= 1 舍去).當(dāng) xC(0, 5)時,f' (x)<0;當(dāng) x>5時，f' (x)>0.所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(5, +8),減區(qū)間為(0, 5).

33、10.(2019 成都七中檢測)設(shè)函數(shù)f (x)=ax2-a- Inx,g(x) =-e<,其中aCR,e = 2.718為自然對數(shù)x e的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng) x>1 時，g(x)>0.【答案】見解析_. . 一 . .一、一1 2ax2 1【解析】(1)解：由題息得f (x) = 2ax-=(x>0).x x當(dāng)awo時，f' (x)<0, f(x)在(0 , +00)內(nèi)單調(diào)遞減a>0 時，由 f' (x)=0有x = -j, 2axC 0, -j=時，f ' ( x)<0 , f(x)單調(diào)遞減；

34、2ax 1-1.xC 忘'+°0 時，f ' (x)>0 , f(x)單調(diào)遞增.(2)證明令 s(x) =ex 1-x,則 s' (x) = e當(dāng) x>1 時，s' (x)>0,所以 s(x)>s(1),即 ex 從而 g(x) = -x>x,>0./ x 1、e e (e x)exxex【能力提升題組】(建議用時：20分鐘)11.(2017 山東卷)若函數(shù)exf(x)(e =2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù) )在f (x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有 M性質(zhì)白是()A. f (x)

35、 =2 x_ r一 一 X2B.f (x) =xD.f (x) = cos【解析】設(shè)函數(shù) g(x) = ex - f (x),對于 A, g(x) = ex - 2 xxe2 ,在定義域R上為增函數(shù)，A正確.對于B,g(x) =e x2,則 g' ( x) =x(x+2)ex,由 g' ( x)>0 得 x<2 或 x>0,g(x)在定義域 R上不是增函數(shù)，Bx不正確.對于C,g(x) = ex -3x=e在定義域R上是減函數(shù)，C不正確.對于D,g(x) = ex3 cos x,貝U g' (x)L v兀.2e cos x + y , g' (

36、x)>0在定義域 R上不恒成立，D不正確.12.(2019 上海靜安區(qū)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=xsin x+cos x + x2,則不等式f(ln x)+fIn 1 <2f (1)的解x集為()A.(e , +0°)B.(0 ， e)C. 0U (1 , e)f (x) = xsinx + cos x + x2是偶函數(shù),C.f (x) =3所以 f ln - = f( ln x) = f(ln x). x則原不等式可變形為f(ln x)<f(1)? f(|ln x|)<f(1).又 f ' (x) = xcos x + 2x = x(2 + cos x

37、),由 2+ cos x>0 ,得 x>0 時，f ' (x)>0.所以f(x)在(0 , +8)上單調(diào)遞增.|ln x|<1? 1<ln x<1 ? <x<e. e13.若函數(shù)f(x)=x1sin 2 x+asin x在(一°°,+8)單調(diào)遞增，則 a的取值范圍是31 13' 3f' (x) = 1 一|cos 2 x + acos x= 1一段(2cos 2x1) + acos x= gcos2 x+acos x+|, f (x)在 R3333上單調(diào)遞增，則f ' (x) >0在R上恒成立.令 cos x = t, te 1, 1,則一4t2+at +5>0 在1, 1上恒成立，即 4t2-3at-5<0 在 t C 1, 1 33上恒成立.令 g(t)=4t23at 5,g(1) =4-3a- 5< 0,11則解得_Waw%g( 1) = 4+3a 5<0,3314.已知函數(shù) f(x)=aln x-ax 3(aC R).(1)求函數(shù)f(x)的