2018江蘇高考數學試題[含答案解析]

1、2017年江蘇省高考數學試卷.填空題1 . （5分）已知集合A=1, 2, B=a, a2+3.若AH B=1,則實數a的值為2. （5分）已知復數z=（1+i） （1+2i）,其中i是虛數單位，則z的模是3. （5分）某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為 200, 400, 300, 100件.為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取 件.4. （5分）如圖是一個算法流程圖：若輸入 x的值為，則輸出y的值是（結束）5. （5 分）若 tan （ a一）/.貝 tan a =66. （5分）如圖，在圓柱 O1O2內有

2、一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線的值是均相切，記圓柱。1。2的體積為V1,球。的體積為V2,則r 17. （5分）記函數f （x）16+工-/定義域為D.在區(qū)間-4, 5上隨機取一個數x,則xC D的概率是.I 28. （5分）在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y2=1的右準線與它的兩條漸'-1近線分別交于點P,Q,其焦點是Fi,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是.9. （5分）等比數列an的各項均為實數，其前n項為3,已知S3=, S6=,則 4a8=10. （5分）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存

3、儲費用之和最小，則 x的值是.11. （5分）已知函數f （x） =x3 - 2x+e< ,其中e是自然對數的底數.若f （a e-1） +f （2a2） <0,則實數a的取值范圍是.12. （5分）如圖，在同一個平面內，向量，的模分別為1,1,與的夾角為a,45°. Jr=m+n (m, n C R),貝U m+n=13. （5分）在平面直角坐標系xOy中，A （-12, 0）, B （0, 6）,點P在圓O: x2+y2=50上.若近天晨20,則點P的橫坐標的取值范圍是 .14. （5分）設f （x）是定義在R上且周期為1的函數，在區(qū)間0, 1）上，f （x）rY2

4、n*=',其中集合 D=x|x=, n C N*,則方程f （x） - lgx=0的解的個數1x. x卸是.二.解答題15. （14分）如圖，在三棱錐 A- BCD中，AB±AD, BC± BD,平面 ABDL平面 BCD,點E、F （E與A、D不重合）分別在棱 AD, BD上，且EF!AD.求證：（1） EF/平面ABC;(2) ADI AC.16. (14 分)已知向量 3= (cosx, sinx),國=(3, 一 ), x 0 ,句.(1)若W/E,求x的值；(2)記f (x) 3,求f (x)的最大值和最小值以及對應的x的值.17. (14分)如圖，在平面

5、直角坐標系 xOy中，橢圓E：m+彳!=1 (a> b>0) 的左、右焦點分別為Fi, E,離心率為卷，兩準線之間的距離為8.點P在橢圓 E上，且位于第一象限，過點 Fi作直線PF1的垂線li,過點F2作直線PE的垂線12.(1)求橢圓E的標準方程;E上，求點P的坐標.18. (16分)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I和正四棱臺形玻璃容器n 的高均為32cm,容器I的底面對角線AC的長為10cm,容器H的兩底面對角線 EG, E1G1的長分別為14cm和62cm.分別在容器I和容器H中注入水，水深均 為12cm.現有一根玻璃棒1,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略

6、不 計)(1)將1放在容器I中，1的一端置于點A處，另一端置于側棱CQ上，求1沒 入水中部分的長度；(2)將1放在容器II中，1的一端置于點E處，另一端置于側棱GG上，求1沒 入水中部分的長度,+an l+an+l+an+k“P(k)數列”.an是等差數列.19. (16分)對于給定白正整數k,若數歹1面剛足：an k+an k+i+-i+an+k=2ka對任意正整數n (n>k)總成立，則稱數列an是(1)證明：等差數列an是“P(3)數列”；(2)若數列an既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明:20. (16分)已知函數f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0

7、, b C R)有極值，且導函數 f(x)的極值點是f (x)的零點.(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)(1)求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；(2)證明：b2>3a；(3)若f (x), f'(x)這兩個函數的所有極值之和不小于-求a的取值范圍.二.非選擇題，附加題（21-24選做題）【選修4-1:幾何證明選講】（本小題滿分0分）21.如圖，AB為半圓。的直徑，直線PC切半圓。于點C, API PC, P為垂足.求證：（1） /PACW CAB（2） AC?=APAB選彳4-2:矩陣與變換22.已知矩陣 A= ； "，B= :(1)求 AB；22(2)若曲

8、線Ci：二+匚=1在矩陣AB對應的變換作用下得到另一曲線 C2,求82C2的方程.選彳4-4:坐標系與參數方程宜二產J_(t為參數)，曲線C的參數方程為卜二2= (s為參數).設P為曲線C上的動點，求點P到l.y=2V2s直線l的距離的最小值.選修4-5：不等式選講24 .已知 a, b, c, d 為實數，且 a2+b2=4, c2+d2=16,證明 ac+bd<8.【必做題】25 .如圖，在平行六面體 ABCA A1B1C1D1中，AAi,平面 ABCR 且 AB=AD=2AAi=, /BAD=120.（ 1）求異面直線A1B 與 AC1 所成角的余弦值；(2)求二面角B-AiD-A

9、的正弦值.26.已知一個口袋有 m個白球，n個黑球(m, n C N*, n>2), 全部相同.現將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編 m+n的抽屜內，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k=1,123m+n(1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p；(2)隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數,這些球除顏色外號為1,2,3,2, 3,，m+n).E (X)是X的數學期望，證明E (X) <2017年江蘇省高考數學試卷參考答案與試題解析一.填空題1. （5 分）（2017 江蘇）已知集合 A=1, 2, B=a, a2+3.若 AH B=1,則實數 a的值

10、為 1 .【分析】利用交集定義直接求解.【解答】解：.集合 A=1, 2, B=a, a2+3. AH B=1,a=1 或 a2+3=1,解得a=1.故答案為：1.【點評】本題考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集定義 及性質的合理運用.2. （5分）（2017江蘇）已知復數z= （1+i） （1+2i）,其中i是虛數單位，則z的 模是.【分析】利用復數的運算法則、模的計算公式即可得出.【解答】 解：復數 z= （1+i） （1+2i） =1-2+3i=- 1+3i, |z|=、J，_| . -.j =故答案為：.【點評】本題考查了復數的運算法則、模的計算公式，考查了推理能力與

11、計算能 力，屬于基礎題.3. （5分）（2017江蘇）某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量 分別為200, 400, 300, 100件.為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以 上所有的產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取18件.【分析】由題意先求出抽樣比例即為，再由此比例計算出應從丙種型號的產品中 抽取的數目.【解答】解：產品總數為200+400+300+100=1000件，而抽取60輛進行檢驗，抽樣比例為二,則應從丙種型號的產品中抽取 300 X =18件，故答案為：18【點評】本題的考點是分層抽樣.分層抽樣即要抽樣時保證樣本的結構和總體的 結構保持一致，按照

12、一定的比例，即樣本容量和總體容量的比值，在各層中進行 抽取.4. （5分）（2017江蘇）如圖是一個算法流程圖：若輸入 x的值為，則輸出y的值是 一2（開始）:+j輸入n/J輸郢/【分析】直接模擬程序即得結論.【解答】解：初始值x=,不滿足x>1, 所以 y=2+log2=2- 1口呂？2°=-2,故答案為：-2.【點評】本題考查程序框圖，模擬程序是解決此類問題的常用方法，注意解題方法的積累，屬于基礎題.5. （5 分）（2017 江蘇）若 tan （a-=1=67a =- ,一5 一【分析】直接根據兩角差的正切公式計算即可【解答】解：tan （ a一）7T tanU arr

13、' IT1+tan lan-=二二式tan Cl 4-1 66tan a 6=tan 廿1, 解得tan a;，故答案為：1.【點評】本題考查了兩角差的正切公式，屬于基礎題6. （5分）（2017江蘇）如圖，在圓柱 O1O2內有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱 O1O2的體積為Vi,球。的體積為V2,則士的值是V o【分析】設出球的半徑，求出圓柱的體積以及球的體積即可得到結果.【解答】解：設球的半徑為R,則球的體積為：R3,圓柱的體積為：兀22R=2兀t/ 27TR3 3貝Uh=尸土V2 4八/2故答案為：y.【點評】本題考查球的體積以及圓柱的體積的求法， 考查空間

14、想象能力以及計算 能力.7. （5分）（2017江蘇）記函數f （x） 癡二，定義域為D.在區(qū)間-4, 5上隨機取一個數x,則xC D的概率是 反.9-【分析】求出函數的定義域，結合幾何概型的概率公式進行計算即可.【解答】解：由6+xx所以 P 啥,),Q (卷，-),Fi (-2, 0). F2 (2, 0).>0得x2 x - 600,得2&x& 3,則 D=-2, 3,則在區(qū)間-4, 5上隨機取一個數x,則xC D的概率p=-C-2） =5-7） 9故答案為：一D,【點評】本題主要考查幾何概型的概率公式的計算，結合函數的定義域求出 以及利用幾何概型的概率公式是解決本

15、題的關鍵.28. （5分）（2017江蘇）在平面直角坐標系xOy中，雙曲線至- -y2=1的右準線與3它的兩條漸近線分別交于點P,Q,其焦點是Fi,F2,則四邊形FiPF2Q的面積是【分析】求出雙曲線的準線方程和漸近線方程， 得到P, Q坐標，求出焦點坐標，然后求解四邊形的面積.2【解答】解：雙曲線-y2=1的右準線:,雙曲線漸近線方程為：y=x,則四邊形FiPF2Q的面積是:yX4X=2.故答案為：2.【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力.9. （5分）（2017江蘇）等比數列an的各項均為實數，其前n項為8,已知&=1Ss=,則 a8= 32 .7a i Ci -q

16、?【分析】 設等比數列an的公比為qwl, S3，&二,可得: " 一, 41-Q41-Q二,聯立解出即可得出.【解答】解：設等比數列an的公比為qw1,q=2.力(1-q )貝 U a8=L二=32.故答案為：32.【點評】本題考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能 力，屬于中檔題.10. (5分)(2017江蘇)某公司一年購買某種貨物 600噸，每次購買x噸，運費 為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之 和最小，則x的值是 30 .【分析】由題意可得：一年的總運費與總存儲費用之和 皿xj+4x,利用基本不等式的性質即可

17、得出.【解答】解：由題意可得：一年的總運費與總存儲費用之和 =H><6+4x>4X2當且僅當x=30時取等號.故答案為：30.【點評】本題考查了基本不等式的性質及其應用，考查了推理能力與計算能力， 屬于基礎題.11. (5分)(2017江蘇)已知函數f (x) =x3- 2x+ex,其中e是自然對數的底數.若f (a- 1) +f (2a2) <0,則實數a的取值范圍是 -1, yJ_.【分析】求出f (x)的導數，由基本不等式和二次函數的性質，可得 f (x)在R 上遞增；再由奇偶性的定義，可得 f (x)為奇函數，原不等式即為2a2< 1 - a, 運用二次不

18、等式的解法即可得到所求范圍.【解答】解：函數f (x) =x3-2x+-4的導數為：f，(x) =3x2 - 2+ex+L> - 2+2 hTJ=0,可得f (x)在R上遞增；又 f ( x) +f (x) = ( x) 3+2x+e x - ex+X3 2x+ex -=0,e可得f (x)為奇函數，貝U f (a- 1) +f (2a2) <0,即有 f (2印)< -f (a- 1) =f (1 a),即有 2a20 1 - a,解得-1&a&L,2故答案為：T，即【點評】本題考查函數的單調性和奇偶性的判斷和應用， 注意運用導數和定義法, 考查轉化思想的運

19、用和二次不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題.12. (5分)(2017江蘇)如圖，在同一個平面內，向量，的模分別為1,1, 與的夾角為 %且tan a =7與的夾角為45°. 若=m+n (m, nC R),貝U m+n= 3【分析】如圖所示，建立直角坐標系.A (1,0).由與的夾角為a,且tana = 7可得 cos a = sin a fC(s 工).可得 cos( a+45) =. sin( a+45) . B(工，).禾I 5555 區(qū)用=m+n (m, nCR),即可得出.【解答】解：如圖所示，建立直角坐標系.A (1, 0).由與的夾角為 %且tan a = 7/

20、- 4 / _ ' _ cos ( a+45) = (cos a Sin a =.sin ( a+45) = (sin +cosa) =1.5n,=odn解得n=貝U m+n=3.【點評】本題考查了向量坐標運算性質、和差公式，考查了推理能力與計算能力, 屬于中檔題.13. （5分）（2。17江蘇）在平面直角坐標系 xOy中，A （ -12,。），B （。，6）,點P在圓O: x2+y2=5o上.若FQPB&2o,則點P的橫坐標的取值范圍是5,J .【分析】根據題意，設P （xo, yo）,由數量積的坐標計算公式化簡變形可得 2xo+yo+5<o,分析可得其表示表示直線 2

21、x+y+5< o以及直線下方的區(qū)域，聯立直線與圓 的方程可得交點的橫坐標，結合圖形分析可得答案.【解答】解：根據題意，設P （xo, yo）,則有xo2+yo2=5o,* 1PA PB= ( - 12 - xo, - yo) ( xo, 6 y0)= (12+X0)xo - yo (6 - yo) =12xo+6y+xo2+yo2 <2o,化為：12xo 6yo+3o& o,即2xo-yo+5& o,表示直線2x+y+5<o以及直線下方的區(qū)域,22 f,解可得xo=- 5或X0=1,杭口十兀=5。2x0-y0+5=0結合圖形分析可得：點P的橫坐標xo的取值范圍

22、是-5, 1,關鍵是利用數量積化【點評】本題考查數量積的運算以及直線與圓的位置關系, 簡變形得到關于X0、yo的關系式.14. (5分)(2017江蘇)設f (x)是定義在R上且周期為1的函數，在區(qū)間0,1)上，f (x) =1 ' '其中集合 D=x|x=, nCN*,則方程 f (x) - lgx=0的解的個數是 8 .【分析】由已知中f (x)是定義在R上且周期為1的函數，在區(qū)間0,1)上，f r 2 匯(x)=''"”,其中集合D=x|x=, nCN*,分析f (x)的圖象與y=lgx圖象交點的個數，進而可得答案.2 工口【解答】解：在區(qū)間0,

23、 1)上，f (x) = * ' 口 ，第一段函數上的點的橫縱坐標均為有理數，又f (x)是定義在R上且周期為1的函數，2 貨Fn在區(qū)間1, 2)上，f (x) = 8'工,此時f (x)的圖象與y=lgx有且只x由有一個交點；同理：區(qū)間2, 3)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間3, 4)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間4, 5)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間5, 6)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間6, 7)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間7, 8)上，f (x)的

24、圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間8, 9)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個交點；在區(qū)間9, +00)上，f (x)的圖象與y=lgx無交點；故f (x)的圖象與y=lgx有8個交點；即方程f (x) - lgx=0的解的個數是8,故答案為：8【點評】本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數的圖象和性質， 轉化思想，難度中檔.二.解答題15. (14分)(2017江蘇)如圖，在三棱錐 A-BCD中，AB±AD, BC±BD,平面 ABD，平面BCD,點E、F (E與A、D不重合)分別在棱 AD, BD上，且EF± AD. 求證：(1) EF

25、/平面ABC;(2) AD± AC.【分析】(1)利用AB/ EF及線面平行判定定理可得結論；(2)通過取線段CD上點G,連結FG EG使得FG/ BC,則EG/ AC,利用線面 垂直的性質定理可知FG±AD,結合線面垂直白判定定理可知 AD，平面EFG從 而可得結論.【解答】證明：(1)因為AB，AD, EF!AD,且A、B、E、F四點共面，所以 AB/ EF,又因為EF平面ABC, AB平面ABC,所以由線面平行/U定定理可知：EF平面ABC;(2)在線段CD上取點G,連結FG EG使得FG/ BC,則EG/ AC, 因為 BC± BD,所以 FG/ BC,又

26、因為平面ABD±¥面BCR所以FGL平面ABD,所以FG±AD,又因為 AD±EF,且 EFA FG=B所以ADL平面EFG所以AD± EG,故 ADLAC.【點評】本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉化思 想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質及判定定理，注意解題方法的積累， 屬于中檔題.16. (14 分)(2017 江蘇)已知向量 W= (cosx, sinx),吊=(3, - ), xC0,句.(1)若/5,求x的值；(2)記f (x) =a,求f (x)的最大值和最小值以及對應的x的值.【分析】(1)根據向量的

27、平行即可得到tanx=-，問題得以解決，(2)根據向量的數量積和兩角和余弦公式和余弦函數的性質即可求出【解答】解：(1)a= (cosx, sinx), 口=(3, ), a / b ,一 cosx=3sinx . tanx=一,x 0,句,x二,I-"I(2)f (xLgcoSx- sinx=2 (cosx-薩nx)=2cos (X+),x 0,句, x+e ,一 1 <cos (x+) < ,當x=0時，f (x)有最大值，最大值3,當x=W, f (x)有最小值，最大值-2.【點評】本題考查了向量的平行和向量的數量積以及三角函數的化簡和三角函數的性質，屬于基礎題22

28、17. (14分)(2017江蘇)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，橢圓E:三+J=1|aZ b2(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2,離心率為-兩準線之間的距離為8點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線11,過點F2作直線PE 的垂線12.(1)求橢圓E的標準方程；(2)若直線11, 12的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.【分析】(1)由橢圓的離心率公式求得a=2c,由橢圓的準線方程x=±W1,則2 x24=8,即可求得a和c的值，則b2=a2-c2=3,即可求得橢圓方程；(2)設P點坐標，分別求得直線 PF2的斜率及直線PF的斜率，則即可求得

29、12 及11的斜率及方程，聯立求得 Q點坐標，由Q在橢圓方程，求得yo2=x32 - 1,聯 立即可求得P點坐標；方法二：設P (m, n),當m*1時，=,求得直線li及l(fā)i的方程，聯立求得P點坐標.Q點坐標，根據對稱性可得 產±=±n2,聯立橢圓方程，即可求得 n【解答】解：(1)由題意可知：橢圓的離心率,貝U a=2c,22橢圓的準線方程x=±色一，由2X=8,CC由解得：a=2, c=1,則 b2=a2 - c2=3,橢圓的標準方程： 京+二1；(2)方法一：設P (xo, yo),則直線PE的斜率=_, |為-1貝U直線12的斜率k2=三土，直線12的方

30、程丫=之，(X 1),直線PFi的斜率-外,直線12的方程y=貝U直線12的斜率k2=-(x+1),則 Q ( X0,Kn 由P, Q在橢圓上，P, Q的橫坐標互為相反數，縱坐標應相等，則 yo- 2yy"17+-o2 OV-11一一Jl則I .2 oX=-2 o y又P在第一象BM,所以P的坐標為:P (,).Ar方法二：設P (m, n),由P在第一象限，則m>0, n>0, 當m=1時，不存在，解得：Q與Fi重合，不滿足題意，當 mw 1 時，=,=,由 11±PF, 12±PF2,則=,=直線li的方程y=- (x+1),直線12的方程y=-

31、(x-1),聯立解得：x=- m,則Q ( - m,),由Q在橢圓方程，由對稱性可得:=± n2即 m2 - n2=1,或 m2+n2=1,由P (m, n),在橢圓方程,id -1 -n-2243 112_ 21-m -n22J JI 4 3 1解，又P在第一象B所以P的坐標為:P (,).考查直線的斜率公【點評】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系, 式，考查數形結合思想，考查計算能力，屬于中檔題.18. (16分)(2017江蘇)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I和正四棱臺 形玻璃容器II的高均為32cm,容器I的底面對角線AC的長為10cm,容器H的 兩底面對角線

32、EG E1G1的長分別為14cm和62cm.分別在容器I和容器II中注 入水，水深均為12cm.現有一根玻璃棒1,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計)(1)將1放在容器I中，1的一端置于點A處，另一端置于側棱CG上，求1沒 入水中部分的長度；(2)將1放在容器II中，1的一端置于點E處，另一端置于側棱GG上，求1沒 入水中部分的長度.【分析】(1)設玻璃棒在CC上的點為M,玻璃棒與水面的交點為 N,過N作 NP/ MC,交AC于點 P,推導出 CC，平面 ABCRCCAC,NP±AC,求出 MC=30cm, 推導出AN匕AAMC,由此能出玻璃棒1沒入水中部分的長度.(

33、2)設玻璃棒在GG上的點為M,玻璃棒與水面的交點為N,過點N作NP, EG 交EG于點P,過點E作EQUEiGi,交日Gi于點Q,推導出EEiGiG為等腰梯形， 求出EiQ=24cm, EiE=40cm,由正弦定理求出sinZGEM4,由此能求出玻璃棒1 5沒入水中部分的長度.【解答】解：(i)設玻璃棒在CC上的點為M,玻璃棒與水面的交點為N, 在平面ACM中，過N作NP/ MC,交AC于點P,.ABCA AiBiCiDi 為正四棱柱，. CCL平面 ABCD又AC 平面 ABCD .CCLAC, a NP± AC, .NP=i2cm,且 AM2=AC?+MC2,解得 MC=30cm

34、,. NP/ MC, .AN'AAMC,._N得 AN=i6cm.40 3。玻璃棒1沒入水中部分的長度為16cm.(2)設玻璃棒在GG上的點為M,玻璃棒與水面的交點為 N,在平面EiEGG中，過點N作NP± EG 交EG于點P,過點E作EQ± E1G1,交EiGi于點Q,. EFGI+ E1F1G1H1 為正四棱臺，EE=GG, EG/ E1G1EGw E1G1, EEGiG為等腰梯形，畫出平面EiEGG的平面圖, : EiGi=62cm, EG=14cnrj EQ=32cn)NP=12cm,二 EiQ=24cm, .sin/ EBGij1根據正弦定理得：由勾股定理

35、得：Ei E=40cm,sin/EGM=sinZ EEGi，cos/gQif-,55s%EMG二圭，co叱EMG二弟sin/ GEM=sin (/ EGM+/ EMG) =sin/ EGMcosZ EMG+cosZ EGMsinZ EMG二,ENj12 “ =20cm.玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm.【點評】本題考查玻璃棒l沒入水中部分的長度的求法，考查空間中線線、線面、 面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能 力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題.19. （16分）（2017江蘇）對于給定的正整數k,若數列an滿足:an k+an k+i+.+

36、a-i+an+i+an+k-i+an+"2ka對任意正整數n (n>k)總成立，則稱數列an是“P(k) 數列”.(1)證明：等差數列an是¥(3)數列”；(2)若數列an既是¥(2)數列”，又是¥(3)數列”，證明：an是等差數列.【分析】(1)由題意可知根據等差數列的性質，an 3+an 2+an l+an+H-an+2+an+3= (ai 34-an+3)+ (an 24-an+2)+ (an 1+an+l) -2 x 3an,根據 “P(k)數列”的定義，可得 數列an是“P(3)數列”；(2)由 “P(k)數列”的定義，則 an 2+an

37、 1 +an+1 +an+2=4an , an 3+an 2+an1+3i+l+an+2+3n+3=63n ,變形整理即可求得 2an=an-l+3n+1,即可證明數列an是等差 數列.【解答】解：(1)證明：設等差數列an首項為ai,公差為d,則a=a+ (n-1) d,貝U 3n 3+an 2+an 1 +3n+l+an+2+an+3,=(an 3+an+3) + (3n 2+a1+2) + (3n 1 +31+1),=23i+23i+2ai,2 x 3 an,.等差數列an是“P(3)數列”；(2)證明：由數列an是 “P(2)數列”則 an-2+an-l+an+l+an+2=4an,數

38、列an是 “P(3)數列" il 3+an 2+an 1 +an+l+an+2+an+3=6an,由可知：ai 3+ai 2+ai+an+i=4an 1,an 1 +ai+ai+2+ai+3=4a+i, 由( +)：-2ai=6ai - 4a)1 - 4an+i,整理得：2=an -i+ai+i, ;數列an是等差數列.【點評】本題考查等差數列的性質，考查數列的新定義的性質，考查數列的運算， 考查轉化思想，屬于中檔題.20. (16分)(2017江蘇)已知函數 f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, b R)有極值, 且導函數f'(x)的極值點是f(X)的零點

39、.(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)(1)求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；(2)證明：b2>3a；(3)若f (x), f'(x)這兩個函數的所有極值之和不小于- 二，求a的取值范圍.2|【分析】(1)通過對 f (x) =x3+aX2+bx+1 求導可知 g (x) =f'(x) =3X2+2ax+b,進而再求導可知g'(x) =6x+2a,通過令g'(x) =0進而可知f' (x)的極小值點為x=一-y,從而f (-5)=0,整理可知b=(a>0),結合 f (x) =x3+ax2+bx+1(a>0, bCR)有極值可

40、知f'(x) =0有兩個不等的實根，進而可知 a>3.(2)通過(1)構造函數 h (a) =b2 3a=4® 總一(4a3-27) (a3 - 27), 81亙2 81相結合a>3可知h (a) >0,從而可得結論；(3)通過(1)可知f'(x)的極小值為f'(-半)=b-,利用韋達定理及完 全平方關系可知y=f (x)的兩個極值之和為若 -+2,進而問題轉化為解不等式 b-V+坐二-+23因式分解即得結論.327 a 92【解答】(1)解：因為f (x) =x3+ax2+bx+1,所以 g (x) =f'(x) =3%+2ax+b

41、, g'(x) =6x+2a,令 g' (x) =0,解得 x=-由于當x>-時 g'(x) >0, g (x) =f'(x)單調遞增；當 x<一時 g'(x) < 0, g (x) =f'(x)單調遞減；所以f'(x)的極小值點為x= 由于導函數f'(x)的極值點是原函數f (x)的零點,3-+1=0,所以f (-) =0,即-二所以b旦屋& (a>0).9 a因為 f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, b C R)有極值,所以f' (x) =3x2+2ax+b=0

42、有兩個不等的實根，所以 4a212b>0,即 a2_21+9>0,解得 a>3,3 a2所以 b=2a +苣_ (a>3).9 a(2)證明：由(1)可知 h (a) =b2 - 3a=ikL - + 9 = 1(4a327) (a3 27),81 a2 81 a2由于 a>3,所以 h (a) >0,即 b2>3a；(3)解：由(i)可知f'(x)的極小值為(-母)=b-設 xi, x2是 y=f (x)的兩個極值點，則xi +x2=,Lxix23所以 f (xi) +f(X2)=(X1+X2) (xi+x2)=+a (+) +b (xi+x

43、2)+22- 3xix2+a (xi+x2)2- 2xix2+b (xi+x2)+2=27一+2,又因為f (x), f'(x)這兩個函數的所有極值之和不小于-+2=- a23 所以b-三+*_3 2Y因為 a>3,所以 2a3 63a 54<0,所以 2a (a2-36) +9 (a-6) < 0,所以(a- 6) (2a2+I2a+9)00,由于 a>3 時 2a2+I2a+9>0,所以a-6<0,解得a<6,所以a的取值范圍是(3, 6.【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性、極值，考查運算求解能力，考查 轉化思想，注意解題方法的積累，

44、屬于難題.二.非選擇題，附加題(2I-24選做題)【選修4-I:幾何證明選講】(本小題滿分0分)21. (20I7江蘇)如圖，AB為半圓。的直徑，直線PC切半圓。于點C, API PC, P為垂足.求證：(i) /PACW CAB(2) AC?=APAB【分析】（1）利用弦切角定理可得：/ACP=/ ABC.利用圓的性質可得/ACB=90.再利用三角形內角和定理即可證明.（2）由（1）可得：/XAPBAACE5,即可證明.【解答】證明：（1）二.直線PC切半圓。于點C,./ACPq ABC.AB為半圓。的直徑，./ ACB=90.v API PC, . ./APC=90.丁. / PAC=90

45、- / AC" / CAB=90 - / ABC, . / PAC=/ CAB.（2）由（1）可得：APBAACB,. AC2 =APAB【點評】本題考查了弦切角定理、圓的性質、三角形內角和定理、三角形相似的 判定與性質定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.選彳4-2:矩陣與變換22. （2017 江蘇）已知矩陣 A=0 1, B=1 0.11 Oj IO 2（1）求 AB;22（2）若曲線G： *+J=1在矩陣AB對應的變換作用下得到另一曲線 C2,求 o ZC2的方程.【分析】（1）按矩陣乘法規(guī)律計算；（2）求出變換前后的坐標變換規(guī)律，代入曲線 C1的方程化簡即可.I解劄解

46、:（1）叫）毗北（2）設點P （x, y）為曲線G的任意一點,點P在矩陣AB的變換下得到點P' （xo, yo）,0 2。1 0=,即 X0=2y, y0=x,x=y）, y=-二,即 xo2+yo2=8:曲線C2的方程為x2+y2=8.【點評】本題考查了矩陣乘法與矩陣變換，屬于中檔題.選彳4-4:坐標系與參數方程（宜二一2H23. （2017江蘇）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為t（t院尸_2為參數），曲線C的參數方程為,“二2二 （s為參數）.設P為曲線C上的動點，Ly=2V2s求點P到直線l的距離的最小值.【分析】求出直線l的直角坐標方程，代入距離公式化簡得出距離

47、 d關于參數s 的函數，從而得出最短距離.【解答】解：直線l的直角坐標方程為x-2y+8=0,. p到直線l的距離d-3'-霄+> =血學* Vs Vb當s=寸,d取得最小值=.【點評】本題考查了參數方程的應用，屬于基礎題.選修4-5:不等式選講24. （2017 江蘇）已知 a, b, c, d 為實數，且 a2+b2=4, c2+d2=16,證明 ac+bd<8.【分析】a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cos 4 b=2sin /c=4cos 0 d=4sin .0 代入 ac+bd化簡，利用三角函數的單調性即可證明.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2),即可得出.【解答】證明：: a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cos為 b=2sin 勾 c=4cos ft d=4sin 0ac+bd=8 (cos a cos+sin a sin) p=8cos (a一位 < 8.當且僅當 cos ( a 0) =1 時取等號.因止匕ac+bd< 8.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2w (a2+b