2018江蘇高考數(shù)學(xué)試題[含答案解析]

1、2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷.填空題1 . （5分）已知集合A=1, 2, B=a, a2+3.若AH B=1,則實(shí)數(shù)a的值為2. （5分）已知復(fù)數(shù)z=（1+i） （1+2i）,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是3. （5分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為 200, 400, 300, 100件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取 件.4. （5分）如圖是一個(gè)算法流程圖：若輸入 x的值為，則輸出y的值是（結(jié)束）5. （5 分）若 tan （ a一）/.貝 tan a =66. （5分）如圖，在圓柱 O1O2內(nèi)有

2、一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線的值是均相切，記圓柱。1。2的體積為V1,球。的體積為V2,則r 17. （5分）記函數(shù)f （x）16+工-/定義域?yàn)镈.在區(qū)間-4, 5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則xC D的概率是.I 28. （5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸'-1近線分別交于點(diǎn)P,Q,其焦點(diǎn)是Fi,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是.9. （5分）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)為3,已知S3=, S6=,則 4a8=10. （5分）某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存

3、儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則 x的值是.11. （5分）已知函數(shù)f （x） =x3 - 2x+e< ,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f （a e-1） +f （2a2） <0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.12. （5分）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，的模分別為1,1,與的夾角為a,45°. Jr=m+n (m, n C R),貝U m+n=13. （5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A （-12, 0）, B （0, 6）,點(diǎn)P在圓O: x2+y2=50上.若近天晨20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .14. （5分）設(shè)f （x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0, 1）上，f （x）rY2

4、n*=',其中集合 D=x|x=, n C N*,則方程f （x） - lgx=0的解的個(gè)數(shù)1x. x卸是.二.解答題15. （14分）如圖，在三棱錐 A- BCD中，AB±AD, BC± BD,平面 ABDL平面 BCD,點(diǎn)E、F （E與A、D不重合）分別在棱 AD, BD上，且EF!AD.求證：（1） EF/平面ABC;(2) ADI AC.16. (14 分)已知向量 3= (cosx, sinx),國(guó)=(3, 一 ), x 0 ,句.(1)若W/E,求x的值；(2)記f (x) 3,求f (x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.17. (14分)如圖，在平面

5、直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓E：m+彳!=1 (a> b>0) 的左、右焦點(diǎn)分別為Fi, E,離心率為卷，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓 E上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn) Fi作直線PF1的垂線li,過(guò)點(diǎn)F2作直線PE的垂線12.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).18. (16分)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I和正四棱臺(tái)形玻璃容器n 的高均為32cm,容器I的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10cm,容器H的兩底面對(duì)角線 EG, E1G1的長(zhǎng)分別為14cm和62cm.分別在容器I和容器H中注入水，水深均 為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒1,其長(zhǎng)度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略

6、不 計(jì))(1)將1放在容器I中，1的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CQ上，求1沒 入水中部分的長(zhǎng)度；(2)將1放在容器II中，1的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG上，求1沒 入水中部分的長(zhǎng)度,+an l+an+l+an+k“P(k)數(shù)列”.an是等差數(shù)列.19. (16分)對(duì)于給定白正整數(shù)k,若數(shù)歹1面剛足：an k+an k+i+-i+an+k=2ka對(duì)任意正整數(shù)n (n>k)總成立，則稱數(shù)列an是(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明:20. (16分)已知函數(shù)f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0

7、, b C R)有極值，且導(dǎo)函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)是f (x)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)證明：b2>3a；(3)若f (x), f'(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-求a的取值范圍.二.非選擇題，附加題（21-24選做題）【選修4-1:幾何證明選講】（本小題滿分0分）21.如圖，AB為半圓。的直徑，直線PC切半圓。于點(diǎn)C, API PC, P為垂足.求證：（1） /PACW CAB（2） AC?=APAB選彳4-2:矩陣與變換22.已知矩陣 A= ； "，B= :(1)求 AB；22(2)若曲

8、線Ci：二+匚=1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線 C2,求82C2的方程.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程宜二產(chǎn)J_(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為卜二2= (s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到l.y=2V2s直線l的距離的最小值.選修4-5：不等式選講24 .已知 a, b, c, d 為實(shí)數(shù)，且 a2+b2=4, c2+d2=16,證明 ac+bd<8.【必做題】25 .如圖，在平行六面體 ABCA A1B1C1D1中，AAi,平面 ABCR 且 AB=AD=2AAi=, /BAD=120.（ 1）求異面直線A1B 與 AC1 所成角的余弦值；(2)求二面角B-AiD-A

9、的正弦值.26.已知一個(gè)口袋有 m個(gè)白球，n個(gè)黑球(m, n C N*, n>2), 全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編 m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k=1,123m+n(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機(jī)變量x表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),這些球除顏色外號(hào)為1,2,3,2, 3,，m+n).E (X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明E (X) <2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.填空題1. （5 分）（2017 江蘇）已知集合 A=1, 2, B=a, a2+3.若 AH B=1,則實(shí)數(shù) a的值

10、為 1 .【分析】利用交集定義直接求解.【解答】解：.集合 A=1, 2, B=a, a2+3. AH B=1,a=1 或 a2+3=1,解得a=1.故答案為：1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義 及性質(zhì)的合理運(yùn)用.2. （5分）（2017江蘇）已知復(fù)數(shù)z= （1+i） （1+2i）,其中i是虛數(shù)單位，則z的 模是.【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出.【解答】 解：復(fù)數(shù) z= （1+i） （1+2i） =1-2+3i=- 1+3i, |z|=、J，_| . -.j =故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與

11、計(jì)算能 力，屬于基礎(chǔ)題.3. （5分）（2017江蘇）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量 分別為200, 400, 300, 100件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以 上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取18件.【分析】由題意先求出抽樣比例即為，再由此比例計(jì)算出應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中 抽取的數(shù)目.【解答】解：產(chǎn)品總數(shù)為200+400+300+100=1000件，而抽取60輛進(jìn)行檢驗(yàn)，抽樣比例為二,則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取 300 X =18件，故答案為：18【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是分層抽樣.分層抽樣即要抽樣時(shí)保證樣本的結(jié)構(gòu)和總體的 結(jié)構(gòu)保持一致，按照

12、一定的比例，即樣本容量和總體容量的比值，在各層中進(jìn)行 抽取.4. （5分）（2017江蘇）如圖是一個(gè)算法流程圖：若輸入 x的值為，則輸出y的值是 一2（開始）:+j輸入n/J輸郢/【分析】直接模擬程序即得結(jié)論.【解答】解：初始值x=,不滿足x>1, 所以 y=2+log2=2- 1口呂？2°=-2,故答案為：-2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查程序框圖，模擬程序是解決此類問(wèn)題的常用方法，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題.5. （5 分）（2017 江蘇）若 tan （a-=1=67a =- ,一5 一【分析】直接根據(jù)兩角差的正切公式計(jì)算即可【解答】解：tan （ a一）7T tanU arr

13、' IT1+tan lan-=二二式tan Cl 4-1 66tan a 6=tan 廿1, 解得tan a;，故答案為：1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題6. （5分）（2017江蘇）如圖，在圓柱 O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱 O1O2的體積為Vi,球。的體積為V2,則士的值是V o【分析】設(shè)出球的半徑，求出圓柱的體積以及球的體積即可得到結(jié)果.【解答】解：設(shè)球的半徑為R,則球的體積為：R3,圓柱的體積為：兀22R=2兀t/ 27TR3 3貝Uh=尸土V2 4八/2故答案為：y.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積以及圓柱的體積的求法， 考查空間

14、想象能力以及計(jì)算 能力.7. （5分）（2017江蘇）記函數(shù)f （x） 癡二，定義域?yàn)镈.在區(qū)間-4, 5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則xC D的概率是 反.9-【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解：由6+xx所以 P 啥,),Q (卷，-),Fi (-2, 0). F2 (2, 0).>0得x2 x - 600,得2&x& 3,則 D=-2, 3,則在區(qū)間-4, 5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則xC D的概率p=-C-2） =5-7） 9故答案為：一D,【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的概率公式的計(jì)算，結(jié)合函數(shù)的定義域求出 以及利用幾何概型的概率公式是解決本

15、題的關(guān)鍵.28. （5分）（2017江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線至- -y2=1的右準(zhǔn)線與3它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,Q,其焦點(diǎn)是Fi,F2,則四邊形FiPF2Q的面積是【分析】求出雙曲線的準(zhǔn)線方程和漸近線方程， 得到P, Q坐標(biāo)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解四邊形的面積.2【解答】解：雙曲線-y2=1的右準(zhǔn)線:,雙曲線漸近線方程為：y=x,則四邊形FiPF2Q的面積是:yX4X=2.故答案為：2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.9. （5分）（2017江蘇）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)為8,已知&=1Ss=,則 a8= 32 .7a i Ci -q

16、?【分析】 設(shè)等比數(shù)列an的公比為qwl, S3，&二,可得: " 一, 41-Q41-Q二,聯(lián)立解出即可得出.【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為qw1,q=2.力(1-q )貝 U a8=L二=32.故答案為：32.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能 力，屬于中檔題.10. (5分)(2017江蘇)某公司一年購(gòu)買某種貨物 600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi) 為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之 和最小，則x的值是 30 .【分析】由題意可得：一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和 皿xj+4x,利用基本不等式的性質(zhì)即可

17、得出.【解答】解：由題意可得：一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和 =H><6+4x>4X2當(dāng)且僅當(dāng)x=30時(shí)取等號(hào).故答案為：30.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力， 屬于基礎(chǔ)題.11. (5分)(2017江蘇)已知函數(shù)f (x) =x3- 2x+ex,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f (a- 1) +f (2a2) <0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 -1, yJ_.【分析】求出f (x)的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得 f (x)在R 上遞增；再由奇偶性的定義，可得 f (x)為奇函數(shù)，原不等式即為2a2< 1 - a, 運(yùn)用二次不

18、等式的解法即可得到所求范圍.【解答】解：函數(shù)f (x) =x3-2x+-4的導(dǎo)數(shù)為：f，(x) =3x2 - 2+ex+L> - 2+2 hTJ=0,可得f (x)在R上遞增；又 f ( x) +f (x) = ( x) 3+2x+e x - ex+X3 2x+ex -=0,e可得f (x)為奇函數(shù)，貝U f (a- 1) +f (2a2) <0,即有 f (2印)< -f (a- 1) =f (1 a),即有 2a20 1 - a,解得-1&a&L,2故答案為：T，即【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應(yīng)用， 注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和定義法, 考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)

19、用和二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.12. (5分)(2017江蘇)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，的模分別為1,1, 與的夾角為 %且tan a =7與的夾角為45°. 若=m+n (m, nC R),貝U m+n= 3【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A (1,0).由與的夾角為a,且tana = 7可得 cos a = sin a fC(s 工).可得 cos( a+45) =. sin( a+45) . B(工，).禾I 5555 區(qū)用=m+n (m, nCR),即可得出.【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A (1, 0).由與的夾角為 %且tan a = 7/

20、- 4 / _ ' _ cos ( a+45) = (cos a Sin a =.sin ( a+45) = (sin +cosa) =1.5n,=odn解得n=貝U m+n=3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力, 屬于中檔題.13. （5分）（2。17江蘇）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，A （ -12,。），B （。，6）,點(diǎn)P在圓O: x2+y2=5o上.若FQPB&2o,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是5,J .【分析】根據(jù)題意，設(shè)P （xo, yo）,由數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式化簡(jiǎn)變形可得 2xo+yo+5<o,分析可得其表示表示直線 2

21、x+y+5< o以及直線下方的區(qū)域，聯(lián)立直線與圓 的方程可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖形分析可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)P （xo, yo）,則有xo2+yo2=5o,* 1PA PB= ( - 12 - xo, - yo) ( xo, 6 y0)= (12+X0)xo - yo (6 - yo) =12xo+6y+xo2+yo2 <2o,化為：12xo 6yo+3o& o,即2xo-yo+5& o,表示直線2x+y+5<o以及直線下方的區(qū)域,22 f,解可得xo=- 5或X0=1,杭口十兀=5。2x0-y0+5=0結(jié)合圖形分析可得：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xo的取值范圍

22、是-5, 1,關(guān)鍵是利用數(shù)量積化【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)量積的運(yùn)算以及直線與圓的位置關(guān)系, 簡(jiǎn)變形得到關(guān)于X0、yo的關(guān)系式.14. (5分)(2017江蘇)設(shè)f (x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f (x) =1 ' '其中集合 D=x|x=, nCN*,則方程 f (x) - lgx=0的解的個(gè)數(shù)是 8 .【分析】由已知中f (x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f r 2 匯(x)=''"”,其中集合D=x|x=, nCN*,分析f (x)的圖象與y=lgx圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得答案.2 工口【解答】解：在區(qū)間0,

23、 1)上，f (x) = * ' 口 ，第一段函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，又f (x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，2 貨Fn在區(qū)間1, 2)上，f (x) = 8'工,此時(shí)f (x)的圖象與y=lgx有且只x由有一個(gè)交點(diǎn)；同理：區(qū)間2, 3)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間3, 4)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間4, 5)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間5, 6)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間6, 7)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間7, 8)上，f (x)的

24、圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間8, 9)上，f (x)的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；在區(qū)間9, +00)上，f (x)的圖象與y=lgx無(wú)交點(diǎn)；故f (x)的圖象與y=lgx有8個(gè)交點(diǎn)；即方程f (x) - lgx=0的解的個(gè)數(shù)是8,故答案為：8【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 轉(zhuǎn)化思想，難度中檔.二.解答題15. (14分)(2017江蘇)如圖，在三棱錐 A-BCD中，AB±AD, BC±BD,平面 ABD，平面BCD,點(diǎn)E、F (E與A、D不重合)分別在棱 AD, BD上，且EF± AD. 求證：(1) EF

25、/平面ABC;(2) AD± AC.【分析】(1)利用AB/ EF及線面平行判定定理可得結(jié)論；(2)通過(guò)取線段CD上點(diǎn)G,連結(jié)FG EG使得FG/ BC,則EG/ AC,利用線面 垂直的性質(zhì)定理可知FG±AD,結(jié)合線面垂直白判定定理可知 AD，平面EFG從 而可得結(jié)論.【解答】證明：(1)因?yàn)锳B，AD, EF!AD,且A、B、E、F四點(diǎn)共面，所以 AB/ EF,又因?yàn)镋F平面ABC, AB平面ABC,所以由線面平行/U定定理可知：EF平面ABC;(2)在線段CD上取點(diǎn)G,連結(jié)FG EG使得FG/ BC,則EG/ AC, 因?yàn)?BC± BD,所以 FG/ BC,又

26、因?yàn)槠矫鍭BD±¥面BCR所以FGL平面ABD,所以FG±AD,又因?yàn)?AD±EF,且 EFA FG=B所以ADL平面EFG所以AD± EG,故 ADLAC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化思 想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累， 屬于中檔題.16. (14 分)(2017 江蘇)已知向量 W= (cosx, sinx),吊=(3, - ), xC0,句.(1)若/5,求x的值；(2)記f (x) =a,求f (x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.【分析】(1)根據(jù)向量的

27、平行即可得到tanx=-，問(wèn)題得以解決，(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和余弦公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出【解答】解：(1)a= (cosx, sinx), 口=(3, ), a / b ,一 cosx=3sinx . tanx=一,x 0,句,x二,I-"I(2)f (xLgcoSx- sinx=2 (cosx-薩nx)=2cos (X+),x 0,句, x+e ,一 1 <cos (x+) < ,當(dāng)x=0時(shí)，f (x)有最大值，最大值3,當(dāng)x=W, f (x)有最小值，最大值-2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題22

28、17. (14分)(2017江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓E:三+J=1|aZ b2(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,離心率為-兩準(zhǔn)線之間的距離為8點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線11,過(guò)點(diǎn)F2作直線PE 的垂線12.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線11, 12的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【分析】(1)由橢圓的離心率公式求得a=2c,由橢圓的準(zhǔn)線方程x=±W1,則2 x24=8,即可求得a和c的值，則b2=a2-c2=3,即可求得橢圓方程；(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得直線 PF2的斜率及直線PF的斜率，則即可求得

29、12 及11的斜率及方程，聯(lián)立求得 Q點(diǎn)坐標(biāo)，由Q在橢圓方程，求得yo2=x32 - 1,聯(lián) 立即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；方法二：設(shè)P (m, n),當(dāng)m*1時(shí)，=,求得直線li及l(fā)i的方程，聯(lián)立求得P點(diǎn)坐標(biāo).Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可得 產(chǎn)±=±n2,聯(lián)立橢圓方程，即可求得 n【解答】解：(1)由題意可知：橢圓的離心率,貝U a=2c,22橢圓的準(zhǔn)線方程x=±色一，由2X=8,CC由解得：a=2, c=1,則 b2=a2 - c2=3,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 京+二1；(2)方法一：設(shè)P (xo, yo),則直線PE的斜率=_, |為-1貝U直線12的斜率k2=三土，直線12的方

30、程丫=之，(X 1),直線PFi的斜率-外,直線12的方程y=貝U直線12的斜率k2=-(x+1),則 Q ( X0,Kn 由P, Q在橢圓上，P, Q的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)應(yīng)相等，則 yo- 2yy"17+-o2 OV-11一一Jl則I .2 oX=-2 o y又P在第一象BM,所以P的坐標(biāo)為:P (,).Ar方法二：設(shè)P (m, n),由P在第一象限，則m>0, n>0, 當(dāng)m=1時(shí)，不存在，解得：Q與Fi重合，不滿足題意，當(dāng) mw 1 時(shí)，=,=,由 11±PF, 12±PF2,則=,=直線li的方程y=- (x+1),直線12的方程y=-

31、(x-1),聯(lián)立解得：x=- m,則Q ( - m,),由Q在橢圓方程，由對(duì)稱性可得:=± n2即 m2 - n2=1,或 m2+n2=1,由P (m, n),在橢圓方程,id -1 -n-2243 112_ 21-m -n22J JI 4 3 1解，又P在第一象B所以P的坐標(biāo)為:P (,).考查直線的斜率公【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系, 式，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.18. (16分)(2017江蘇)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I和正四棱臺(tái) 形玻璃容器II的高均為32cm,容器I的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10cm,容器H的 兩底面對(duì)角線

32、EG E1G1的長(zhǎng)分別為14cm和62cm.分別在容器I和容器II中注 入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒1,其長(zhǎng)度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))(1)將1放在容器I中，1的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CG上，求1沒 入水中部分的長(zhǎng)度；(2)將1放在容器II中，1的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG上，求1沒 入水中部分的長(zhǎng)度.【分析】(1)設(shè)玻璃棒在CC上的點(diǎn)為M,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為 N,過(guò)N作 NP/ MC,交AC于點(diǎn) P,推導(dǎo)出 CC，平面 ABCRCCAC,NP±AC,求出 MC=30cm, 推導(dǎo)出AN匕AAMC,由此能出玻璃棒1沒入水中部分的長(zhǎng)度.(

33、2)設(shè)玻璃棒在GG上的點(diǎn)為M,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N,過(guò)點(diǎn)N作NP, EG 交EG于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)E作EQUEiGi,交日Gi于點(diǎn)Q,推導(dǎo)出EEiGiG為等腰梯形， 求出EiQ=24cm, EiE=40cm,由正弦定理求出sinZGEM4,由此能求出玻璃棒1 5沒入水中部分的長(zhǎng)度.【解答】解：(i)設(shè)玻璃棒在CC上的點(diǎn)為M,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N, 在平面ACM中，過(guò)N作NP/ MC,交AC于點(diǎn)P,.ABCA AiBiCiDi 為正四棱柱，. CCL平面 ABCD又AC 平面 ABCD .CCLAC, a NP± AC, .NP=i2cm,且 AM2=AC?+MC2,解得 MC=30cm

34、,. NP/ MC, .AN'AAMC,._N得 AN=i6cm.40 3。玻璃棒1沒入水中部分的長(zhǎng)度為16cm.(2)設(shè)玻璃棒在GG上的點(diǎn)為M,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為 N,在平面EiEGG中，過(guò)點(diǎn)N作NP± EG 交EG于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)E作EQ± E1G1,交EiGi于點(diǎn)Q,. EFGI+ E1F1G1H1 為正四棱臺(tái)，EE=GG, EG/ E1G1EGw E1G1, EEGiG為等腰梯形，畫出平面EiEGG的平面圖, : EiGi=62cm, EG=14cnrj EQ=32cn)NP=12cm,二 EiQ=24cm, .sin/ EBGij1根據(jù)正弦定理得：由勾股定理

35、得：Ei E=40cm,sin/EGM=sinZ EEGi，cos/gQif-,55s%EMG二圭，co叱EMG二弟sin/ GEM=sin (/ EGM+/ EMG) =sin/ EGMcosZ EMG+cosZ EGMsinZ EMG二,ENj12 “ =20cm.玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm.【點(diǎn)評(píng)】本題考查玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度的求法，考查空間中線線、線面、 面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能 力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.19. （16分）（2017江蘇）對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列an滿足:an k+an k+i+.+

36、a-i+an+i+an+k-i+an+"2ka對(duì)任意正整數(shù)n (n>k)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k) 數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列an是¥(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是¥(2)數(shù)列”，又是¥(3)數(shù)列”，證明：an是等差數(shù)列.【分析】(1)由題意可知根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，an 3+an 2+an l+an+H-an+2+an+3= (ai 34-an+3)+ (an 24-an+2)+ (an 1+an+l) -2 x 3an,根據(jù) “P(k)數(shù)列”的定義，可得 數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；(2)由 “P(k)數(shù)列”的定義，則 an 2+an

37、 1 +an+1 +an+2=4an , an 3+an 2+an1+3i+l+an+2+3n+3=63n ,變形整理即可求得 2an=an-l+3n+1,即可證明數(shù)列an是等差 數(shù)列.【解答】解：(1)證明：設(shè)等差數(shù)列an首項(xiàng)為ai,公差為d,則a=a+ (n-1) d,貝U 3n 3+an 2+an 1 +3n+l+an+2+an+3,=(an 3+an+3) + (3n 2+a1+2) + (3n 1 +31+1),=23i+23i+2ai,2 x 3 an,.等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；(2)證明：由數(shù)列an是 “P(2)數(shù)列”則 an-2+an-l+an+l+an+2=4an,數(shù)

38、列an是 “P(3)數(shù)列" il 3+an 2+an 1 +an+l+an+2+an+3=6an,由可知：ai 3+ai 2+ai+an+i=4an 1,an 1 +ai+ai+2+ai+3=4a+i, 由( +)：-2ai=6ai - 4a)1 - 4an+i,整理得：2=an -i+ai+i, ;數(shù)列an是等差數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的新定義的性質(zhì)，考查數(shù)列的運(yùn)算， 考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20. (16分)(2017江蘇)已知函數(shù) f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, b R)有極值, 且導(dǎo)函數(shù)f'(x)的極值點(diǎn)是f(X)的零點(diǎn)

39、.(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)證明：b2>3a；(3)若f (x), f'(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于- 二，求a的取值范圍.2|【分析】(1)通過(guò)對(duì) f (x) =x3+aX2+bx+1 求導(dǎo)可知 g (x) =f'(x) =3X2+2ax+b,進(jìn)而再求導(dǎo)可知g'(x) =6x+2a,通過(guò)令g'(x) =0進(jìn)而可知f' (x)的極小值點(diǎn)為x=一-y,從而f (-5)=0,整理可知b=(a>0),結(jié)合 f (x) =x3+ax2+bx+1(a>0, bCR)有極值可

40、知f'(x) =0有兩個(gè)不等的實(shí)根，進(jìn)而可知 a>3.(2)通過(guò)(1)構(gòu)造函數(shù) h (a) =b2 3a=4® 總一(4a3-27) (a3 - 27), 81亙2 81相結(jié)合a>3可知h (a) >0,從而可得結(jié)論；(3)通過(guò)(1)可知f'(x)的極小值為f'(-半)=b-,利用韋達(dá)定理及完 全平方關(guān)系可知y=f (x)的兩個(gè)極值之和為若 -+2,進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式 b-V+坐二-+23因式分解即得結(jié)論.327 a 92【解答】(1)解：因?yàn)閒 (x) =x3+ax2+bx+1,所以 g (x) =f'(x) =3%+2ax+b

41、, g'(x) =6x+2a,令 g' (x) =0,解得 x=-由于當(dāng)x>-時(shí) g'(x) >0, g (x) =f'(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x<一時(shí) g'(x) < 0, g (x) =f'(x)單調(diào)遞減；所以f'(x)的極小值點(diǎn)為x= 由于導(dǎo)函數(shù)f'(x)的極值點(diǎn)是原函數(shù)f (x)的零點(diǎn),3-+1=0,所以f (-) =0,即-二所以b旦屋& (a>0).9 a因?yàn)?f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, b C R)有極值,所以f' (x) =3x2+2ax+b=0

42、有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以 4a212b>0,即 a2_21+9>0,解得 a>3,3 a2所以 b=2a +苣_ (a>3).9 a(2)證明：由(1)可知 h (a) =b2 - 3a=ikL - + 9 = 1(4a327) (a3 27),81 a2 81 a2由于 a>3,所以 h (a) >0,即 b2>3a；(3)解：由(i)可知f'(x)的極小值為(-母)=b-設(shè) xi, x2是 y=f (x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則xi +x2=,Lxix23所以 f (xi) +f(X2)=(X1+X2) (xi+x2)=+a (+) +b (xi+x

43、2)+22- 3xix2+a (xi+x2)2- 2xix2+b (xi+x2)+2=27一+2,又因?yàn)閒 (x), f'(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-+2=- a23 所以b-三+*_3 2Y因?yàn)?a>3,所以 2a3 63a 54<0,所以 2a (a2-36) +9 (a-6) < 0,所以(a- 6) (2a2+I2a+9)00,由于 a>3 時(shí) 2a2+I2a+9>0,所以a-6<0,解得a<6,所以a的取值范圍是(3, 6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查運(yùn)算求解能力，考查 轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，

44、屬于難題.二.非選擇題，附加題(2I-24選做題)【選修4-I:幾何證明選講】(本小題滿分0分)21. (20I7江蘇)如圖，AB為半圓。的直徑，直線PC切半圓。于點(diǎn)C, API PC, P為垂足.求證：(i) /PACW CAB(2) AC?=APAB【分析】（1）利用弦切角定理可得：/ACP=/ ABC.利用圓的性質(zhì)可得/ACB=90.再利用三角形內(nèi)角和定理即可證明.（2）由（1）可得：/XAPBAACE5,即可證明.【解答】證明：（1）二.直線PC切半圓。于點(diǎn)C,./ACPq ABC.AB為半圓。的直徑，./ ACB=90.v API PC, . ./APC=90.丁. / PAC=90

45、- / AC" / CAB=90 - / ABC, . / PAC=/ CAB.（2）由（1）可得：APBAACB,. AC2 =APAB【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弦切角定理、圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形相似的 判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.選彳4-2:矩陣與變換22. （2017 江蘇）已知矩陣 A=0 1, B=1 0.11 Oj IO 2（1）求 AB;22（2）若曲線G： *+J=1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線 C2,求 o ZC2的方程.【分析】（1）按矩陣乘法規(guī)律計(jì)算；（2）求出變換前后的坐標(biāo)變換規(guī)律，代入曲線 C1的方程化簡(jiǎn)即可.I解劄解

46、:（1）叫）毗北（2）設(shè)點(diǎn)P （x, y）為曲線G的任意一點(diǎn),點(diǎn)P在矩陣AB的變換下得到點(diǎn)P' （xo, yo）,0 2。1 0=,即 X0=2y, y0=x,x=y）, y=-二,即 xo2+yo2=8:曲線C2的方程為x2+y2=8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩陣乘法與矩陣變換，屬于中檔題.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程（宜二一2H23. （2017江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為t（t院尸_2為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為,“二2二 （s為參數(shù)）.設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，Ly=2V2s求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.【分析】求出直線l的直角坐標(biāo)方程，代入距離公式化簡(jiǎn)得出距離

47、 d關(guān)于參數(shù)s 的函數(shù)，從而得出最短距離.【解答】解：直線l的直角坐標(biāo)方程為x-2y+8=0,. p到直線l的距離d-3'-霄+> =血學(xué)* Vs Vb當(dāng)s=寸,d取得最小值=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.選修4-5:不等式選講24. （2017 江蘇）已知 a, b, c, d 為實(shí)數(shù)，且 a2+b2=4, c2+d2=16,證明 ac+bd<8.【分析】a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cos 4 b=2sin /c=4cos 0 d=4sin .0 代入 ac+bd化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可證明.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2),即可得出.【解答】證明：: a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cos為 b=2sin 勾 c=4cos ft d=4sin 0ac+bd=8 (cos a cos+sin a sin) p=8cos (a一位 < 8.當(dāng)且僅當(dāng) cos ( a 0) =1 時(shí)取等號(hào).因止匕ac+bd< 8.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2w (a2+b