高中數(shù)學《導數(shù)的運算法則及基本公式應(yīng)用》學案1 新人教A版選修1-1

1、導數(shù)的運算法則及基本公式應(yīng)用導數(shù)是中學限選內(nèi)容中較為重要的知識，本節(jié)內(nèi)容主要是在導數(shù)的定義，常用求等公式.四則運算求導法則和復合函數(shù)求導法則等問題上對考生進行訓練與指導.例1求函數(shù)的導數(shù)：命題意圖：本題3個小題分別考查了導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)求導的方法，以及抽象函數(shù)求導的思想方法.這是導數(shù)中比較典型的求導類型.知識依托：解答本題的閃光點是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導數(shù).錯解分析：本題難點在求導過程中符號判斷不清，復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯.技巧與方法：先分析函數(shù)式結(jié)構(gòu)，找準復合函數(shù)的式子特征，按照求導法則進行求導.(2)解：y=3,=axbs

2、in2x,=avbyv=x,y=sin =xy=(3)=32·=32(avby)=32(avby)=32(avby)=3(axbsin2x)2(absin2x)(3)解法一：設(shè)y=f(),=,v=x2+1,則yx=yv·vx=f()·v·2x=f()··2x=解法二：y=f()=f()·()=f()·(x2+1)·(x2+1)=f()·(x2+1) ·2x=f()例2利用導數(shù)求和(1)Sn=1+2x+3x2+nxn1(x0,nN*)(2)Sn=C+2C+3C+nC,(nN*)命題意圖：

3、培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力.知識依托：通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用逆向思維.由求導公式(xn)=nxn1,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù).關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項的形式結(jié)構(gòu).錯解分析：本題難點是考生易犯思維定勢的錯誤，受此影響而不善于聯(lián)想.技巧與方法：第(1)題要分x=1和x1討論，等式兩邊都求導.解：(1)當x=1時Sn=1+2+3+n=n(n+1);當x1時，x+x2+x3+xn=,兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導得(x+x2+x3+xn)=()即Sn=1+2x+3x2+nxn1=(2)(1+x)n=1+Cx+Cx2+Cxn,兩邊都是關(guān)于x的可導函數(shù)，求導得

4、n(1+x)n1=C+2Cx+3Cx2+nCxn1,令x=1得，n·2n1=C+2C+3C+nC,即Sn=C+2C+nC=n·2n1知識歸納1.深刻理解導數(shù)的概念，了解用定義求簡單的導數(shù).表示函數(shù)的平均改變量，它是x的函數(shù)，而f(x0)表示一個數(shù)值，即f(x)=，知道導數(shù)的等價形式：.2.求導其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導數(shù)的定義，這是順利求導的關(guān)鍵.3.對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免

5、不必要的運算失誤.4.復合函數(shù)求導法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán).必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關(guān)系.一、選擇題1. y=esinxcos(sinx)，則y(0)等于( )A.0B.1C.1D.22.經(jīng)過原點且與曲線y=相切的方程是( )A.x+y=0或+y=0B.xy=0或+y=0C.x+y=0或y=0D.xy=0或y=0二、填空題3.若f(x0)=2, =_.4.設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則f(0)=_.三、解答題5.已知曲線C1:y=x2與C2:y=(x2)2,直線l與C1、C2都相切，求直線l

6、的方程.6.求函數(shù)的導數(shù)(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y=.7.有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度.8.求和Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN*).參考答案一、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1答案：B2.解析：設(shè)切點為(x0,y0),則切線的斜率為k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=3,y0(2)=15,對應(yīng)有y0(1)=3,y0(2)

7、=,因此得兩個切點A(3，3)或B(15,),從而得y(A)= =1及y(B)= ,由于切線過原點，故得切線：lA:y=x或lB:y=.答案：A二、3.解析：根據(jù)導數(shù)的定義：f(x0)=(這時)答案：14.解析：設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0·g(0)=g(0)=1·2·n=n！答案：n!三、5.解：設(shè)l與C1相切于點P(x1,x12),與C2相切于Q(x2,(x22)2)對于C1：y=2x,則與C1相切于點P的切線方程為yx12=2x1(xx1),即y=2x1xx12

8、對于C2：y=2(x2),與C2相切于點Q的切線方程為y+(x22)2=2(x22)(xx2),即y=2(x22)x+x224兩切線重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0直線l方程為y=0或y=4x46.解：(1)注意到y(tǒng)0,兩端取對數(shù)，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x (2)兩端取對數(shù)，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|),兩邊解x求導，得7.解：設(shè)經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5,當下端移開1.4 m時，t0=,又s= (259t2)·(9·2t)=9t,所以s(t0)=9×=0.875(m