【步步高】2014屆高三數(shù)學一輪 1.1 集合的概念與運算導學案 理 北師大版

1、§1.1集合的概念與運算2014高考會這樣考1.考查集合中元素的互異性，以集合中含參數(shù)的元素為背景，探求參數(shù)的值；2.求幾個集合的交、并、補集；3.通過集合中的新定義問題考查創(chuàng)新能力復習備考要這樣做1.注意分類討論，重視空集的特殊性；2.會利用Venn圖、數(shù)軸等工具對集合進行運算；3.重視對集合中新定義問題的理解1 集合與元素(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于關系，用符號或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N)ZQR(5)集合的分類：按集合中元素個數(shù)

2、劃分，集合可以分為有限集、無限集、空集2 集合間的關系(1)子集：對任意的xA，都有xB，則AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，則AB(或BA)(3)空集：空集是任意一個集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若A含有n個元素，則A的子集有2n個，A的非空子集有2n1個(5)集合相等：若AB，且BA，則AB.3 集合的運算集合的并集集合的交集集合的補集圖形符號ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4. 集合的運算性質并集的性質：AA；AAA；ABBA；ABABA.交集的性質：A；AAA；ABBA；ABAAB.補集的性質：A(UA)U；A(UA)；U(UA

3、)A.難點正本疑點清源1 正確理解集合的概念正確理解集合的有關概念，特別是集合中元素的三個特征，尤其是“確定性和互異性”在解題中要注意運用在解決含參數(shù)問題時，要注意檢驗，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致結論錯誤2 注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解題時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性例如：AB，則需考慮A和A兩種可能的情況3 正確區(qū)分，0，是不含任何元素的集合，即空集0是含有一個元素0的集合，它不是空集，因為它有一個元素，這個元素是0.是含有一個元素的集合0，0.1 (2012·江蘇)已知集合A1,2,4，B2,4,6，則AB

4、_.答案1,2,4,6解析AB是由A，B的所有元素組成的AB1,2,4,62 已知集合Ax|a1x1a，Bx|x25x40，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(2,3)解析集合B中，x25x40，x4或x1.又集合A中a1x1a.AB，a1<4且a1>1，2<a<3.3 已知集合A1,2，Bx|mx10，若ABA，則m的可能取值組成的集合為_答案解析ABA，BA，當B時，m0；當1B時，m1；當2B時，m.m的值為0,1，.4 (2012·江西)若集合A1,1，B0,2，則集合z|zxy，xA，yB中的元素的個數(shù)為()A5 B4 C3 D2答案C解析當x1，y

5、0時，zxy1；當x1，y0時，zxy1；當x1，y2時，zxy1；當x1，y2時，zxy3，由集合中元素的互異性可知集合z|zxy，xA，yB1,1,3，即元素的個數(shù)為3.5 (2011·北京)已知集合Px|x21，Ma若PMP，則a的取值范圍為()A(，1 B1，)C1,1 D(，11，)答案C解析由Px|x21得Px|1x1由PMP得MP.又Ma，1a1.題型一集合的基本概念例1(1)下列集合中表示同一集合的是 ()AM(3,2)，N(2,3)BM2,3，N3,2CM(x，y)|xy1，Ny|xy1DM2,3，N(2,3)(2)設a，bR，集合1，ab，a，則ba等于()A1

6、B1 C2 D2思維啟迪：解決集合問題首先要考慮集合的“三性”：確定性、互異性、無序性，理解集合中元素的特征答案(1)B(2)C解析(1)選項A中的集合M表示由點(3,2)所組成的單點集，集合N表示由點(2,3)所組成的單點集，故集合M與N不是同一個集合選項C中的集合M表示由直線xy1上的所有的點組成的集合，集合N表示由直線xy1上的所有的點的縱坐標組成的集合，即Ny|xy1R，故集合M與N不是同一個集合選項D中的集合M有兩個元素，而集合N只含有一個元素，故集合M與N不是同一個集合對選項B，由集合元素的無序性，可知M，N表示同一個集合(2)因為1，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，b

7、1.所以ba2.探究提高(1)用描述法表示集合時要把握元素的特征，分清點集、數(shù)集；(2)要特別注意集合中元素的互異性，在解題過程中最容易被忽視，因此要對計算結果進行檢驗，防止所得結果違背集合中元素的互異性若集合Ax|ax23x20的子集只有兩個，則實數(shù)a_.答案0或解析集合A的子集只有兩個，A中只有一個元素當a0時，x符合要求當a0時，(3)24a×20，a.故a0或.題型二集合間的基本關系例2已知集合Ax|2x7，Bx|m1<x<2m1，若BA，求實數(shù)m的取值范圍思維啟迪：若BA，則B或B，要分兩種情況討論解當B時，有m12m1，則m2.當B時，若BA，如圖則，解得2&

8、lt;m4.綜上，m的取值范圍為m4.探究提高(1)集合中元素的互異性，可以作為解題的依據(jù)和突破口；(2)對于數(shù)集關系問題，往往利用數(shù)軸進行分析；(3)對含參數(shù)的方程或不等式求解，要對參數(shù)進行分類討論 已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是(c，)，其中c_.答案4解析由log2x2，得0<x4，即Ax|0<x4，而B(，a)，由于AB，如圖所示，則a>4，即c4.題型三集合的基本運算例3設UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，則m的值是_思維啟迪：本題中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程

9、含有不確定的參數(shù)m，需要對這個參數(shù)進行分類討論，同時需要根據(jù)(UA)B對集合A，B的關系進行轉化答案1或2解析A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，則m1；若B2，則應有(m1)(2)(2)4，且m(2)·(2)4，這兩式不能同時成立，B2；若B1，2，則應有(m1)(1)(2)3，且m(1)·(2)2，由這兩式得m2.經(jīng)檢驗知m1和m2符合條件m1或2.探究提高本題的主要難點有兩個：一是集合A，B之間關系的確定；二是對集合B中方程的分類求解集合的交、并、補運算和集合的包含關系存在著一些必然

10、的聯(lián)系，這些聯(lián)系通過Venn圖進行直觀的分析不難找出來，如ABABA，(UA)BBA等，在解題中碰到這種情況時要善于轉化，這是破解這類難點的一種極為有效的方法設全集是實數(shù)集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a<0(1)當a4時，求AB和AB；(2)若(RA)BB，求實數(shù)a的取值范圍解(1)Ax|x3，當a4時，Bx|2<x<2，ABx|x<2，ABx|2<x3(2)RAx|x<或x>3，當(RA)BB時，BRA，即AB.當B，即a0時，滿足BRA；當B，即a<0時，Bx|<x<，要使BRA，需，解得a<0.綜上可得，實數(shù)a的取

11、值范圍是a.題型四集合中的新定義問題例4(2011·廣東)設S是整數(shù)集Z的非空子集，如果a，bS，有abS，則稱S關于數(shù)的乘法是封閉的若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，TVZ，且a，b，cT，有abcT；x，y，zV，有xyzV，則下列結論恒成立的是()AT，V中至少有一個關于乘法是封閉的BT，V中至多有一個關于乘法是封閉的CT，V中有且只有一個關于乘法是封閉的DT，V中每一個關于乘法都是封閉的思維啟迪：本題是一道新定義問題試題，較為抽象，題意難以理解，但若“以退為進”，取一些特殊的數(shù)集代入檢驗，即可解決答案A解析不妨設1T，則對于a，bT，a，b，cT，都有abcT，不妨令c1，

12、則abT，故T關于乘法是封閉的，故T、V中至少有一個關于乘法是封閉的；若T為偶數(shù)集，V為奇數(shù)集，則它們符合題意，且均是關于乘法是封閉的，從而B、C錯誤；若T為非負整數(shù)集，V為負整數(shù)集，顯然T、V是Z的兩個不相交的非空子集，TVZ，且a，b，cT，有abcT，x，y，zV，有xyzV，但是對于x，yV，有xy>0，xyV，D錯誤故選A.探究提高本題旨在考查我們接受和處理新信息的能力，解題時要充分理解題目的含義，進行全面分析，靈活處理已知集合S0,1,2,3,4,5，A是S的一個子集，當xA時，若有x1A，且x1A，則稱x為A的一個“孤立元素”，那么S中無“孤立元素”的4個元素的子集共有_個

13、答案6解析由成對的相鄰元素組成的四元子集都沒有“孤立元素”，如0,1,2,3，0,1,3,4，0,1,4,5，1,2,3,4，1,2,4,5，2,3,4,5，這樣的集合共有6個對集合中的元素特征認識不明致誤典例：(5分)(2012·課標全國)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個數(shù)為()A3B6C8D10易錯分析本題屬于創(chuàng)新型的概念理解題，準確地理解集合B是解決本題的關鍵，該題解題過程易出錯的原因有兩個，一是誤以為集合B中的元素(x，y)不是有序數(shù)對，而是無序的兩個數(shù)值；二是對于集合B的元素的性質中的“xA，yA，xyA”，只關注“xA，y

14、A”，而忽視“xyA”的限制條件導致錯解解析B(x，y)|xA，yA，xyA，A1,2,3,4,5，x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4.B(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，B中所含元素的個數(shù)為10.答案D溫馨提醒判斷集合中元素的性質時要注意兩個方面：一是要注意集合中代表元素的字母符號，區(qū)分x、y、(x，y)；二是準確把握元素所具有的性質特征，如集合x|yf(x)表示函數(shù)yf(x)的定義域，y|yf(x)表示函數(shù)yf(x)的值域，(x，y)|yf(x)表示函數(shù)yf(x)圖像上

15、的點遺忘空集致誤典例：(5分)若集合Px|x2x60，Sx|ax10，且SP，則由a的可取值組成的集合為_易錯分析從集合的關系看，SP，則S或S，易遺忘S的情況解析(1)P3,2當a0時，S，滿足SP；當a0時，方程ax10的解集為x，為滿足SP可使3或2，即a或a.故所求集合為.答案溫馨提醒(1)根據(jù)集合間的關系求參數(shù)是高考的一個重點內(nèi)容解答此類問題的關鍵是抓住集合間的關系以及集合元素的特征(2)在解答本題時，存在兩個典型錯誤一是忽略對空集的討論，如S時，a0；二是易忽略對字母的討論如可以為3或2.因此，在解答此類問題時，一定要注意分類討論，避免漏解.方法與技巧1集合中的元素的三個特征，特別

16、是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到解題后要進行檢驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉化2對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號3對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖這是數(shù)形結合思想的又一體現(xiàn)失誤與防范1空集在解題時有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集時刻關注對空集的討論，防止漏解2解題時注意區(qū)分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系3解答集合題目，認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件4Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示

17、法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心5要注意AB、ABA、ABB、UAUB、A(UB)這五個關系式的等價性A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 2012·廣東)設集合U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，則UM等于()AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6答案C解析U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，UM3,5,62 (2011·課標全國)已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，則P的子集共有()A2個 B4個 C6個 D8個答案B解析M0,1,2,3,

18、4，N1,3,5，MN1,3MN的子集共有224個3 (2012·山東)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B為()A1,2,4 B2,3,4C0,2,4 D0,2,3,4答案C解析UA0,4，B2,4，(UA)B0,2,44 已知集合Mx|0，xR，Ny|y3x21，xR，則MN等于()A Bx|x1Cx|x>1 Dx|x1或x<0答案C解析由0，得x>1或x0，Mx|x>1或x0，Ny|y1，MNx|x>1二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知集合A1,3，a，B1，a2a1，且BA，則a_.答案1或2解析由a2a

19、13，得a1或a2，經(jīng)檢驗符合由a2a1a，得a1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去故a1或2.6 已知集合A(0,1)，(1,1)，(1，2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，則AB_.答案(0,1)，(1,2)解析A、B都表示點集，AB即是由A中在直線xy10上的所有點組成的集合，代入驗證即可7 (2012·天津)已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，則m_，n_.答案11解析Ax|5<x<1，因為ABx|1<x<n，Bx|(xm)(x2)<0，所以m1，n1.三、解答題(共22分)8 (10

20、分)已知集合Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若AB0,3，求實數(shù)m的值；(2)若ARB，求實數(shù)m的取值范圍解由已知得Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)AB0,3，m2.(2)RBx|x<m2或x>m2，ARB，m2>3或m2<1，即m>5或m<3.9 (12分)設符號是數(shù)集A中的一種運算：如果對于任意的x，yA，都有xyxyA，則稱運算對集合A是封閉的設Ax|xmn，m、nZ，判斷A對通常的實數(shù)的乘法運算是否封閉？解設xm1n1，ym2n2，那么xy(m1n1)×(m2n2)(m1n2m2n1)m1m22n1n2.令

21、mm1m22n1n2，nm1n2m2n1，則xymn，由于m1，n1，m2，n2R，所以m，nR.故A對通常的實數(shù)的乘法運算是封閉的B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (2012·湖北)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案D解析用列舉法表示集合A，B，根據(jù)集合關系求出集合C的個數(shù)由x23x20得x1或x2，A1,2由題意知B1,2,3,4，滿足條件的C可為1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,42 (2011·安徽)設集合A1,2,3,4,5,6，B4,5,6,7,8，則滿足SA且SB的集合S的個數(shù)是()A57 B56 C49 D8答案B解析由SA知S是A的子集，又A1,2,3,4,5,6，滿足條件SA的S共有2664(種)可能又SB，B4,5,6,7,8，S中必含4,5,6中至少一個元素，而在滿足SA的所有子集S中，不含4,5,6的子集共有238(種)，滿足題意的集合S的可能個數(shù)為64856.3 若集合A具有以下性質：()0A,1A；()若xA，yA，則xyA，且x0時，A.則稱集合A是“好集”下列命題正確的個數(shù)是()(1)集合B1,0,1是“好集