動量守恒定律動量守恒定律

1、第4章 守恒定律本章要點：1沖量 、動量定理、動量守恒定律及應用；2功、動能定理、功能原理、機械能守恒定律及應用；3動量守恒定律及機械能守恒定律在碰撞問題中的應用；4力矩、角動量、角動量守恒定律及應用；5對稱性與守恒定律。動量守恒和能量守恒以及角動量守恒不僅是力學也是物理學中各種運動所遵循的普遍規(guī)律，本章介紹動量、能量、角動量等重要概念，以及相應的守恒定律及其應用。4.1 動量守恒 質點和質點系的動量定理1沖量 質點的動量定理由牛頓第二定律得 上式的積分為          （4-1）式中和是質點在時刻的

2、速度和動量，和是質點在時刻的速度和動量。為力對時間的積分，稱為力的沖量，用符號I表示。式（4-1）的物理意義是：在給定時間間隔內，外力作用在質點上的沖量，等于質點在此時間內動量的增量。這就是質點的動量定理。式（4-1）是質點動量定理的矢量表達式，在直角坐標系中，其分量式為          （4-2）顯然，質點在某一軸線上的動量增量，僅與該質點在此軸線上的受的外力的沖量有關。動量比速度能更恰當地反映物體的運動狀態(tài)。2質點系的動量定理如圖4-1所示，在系統(tǒng)S內有兩個質點1和2，它們的質量分別為和。系統(tǒng)外的質

3、點對它們作用的力叫做外力，系統(tǒng)內質點間的相互作用力則叫內力。設作用在質點上的外力分別是和，而兩質點相互作用的內力分別為和。根據質點的動量定理，在時間內，兩質點所受力的沖量和動量增量分別為圖4-1和          將上兩式相加，有        （4-3）由牛頓第三定律知，所以系統(tǒng)內兩質點間的內力之和，故上式為上式表明，作用于兩質點組成系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內兩質點動量之和的增量，亦即系統(tǒng)的動量增量。上述結論容易推廣到由個質點所組

4、成的系統(tǒng)。如果系統(tǒng)內含有個質點，那么式（4-3）可改寫成考慮到內力總是成對出現，且大小相等、方向相反，故其矢量和必為零，即  設作用于系統(tǒng)的合外力用表示，且系統(tǒng)的初動量和末動量各為和，那么上式可改寫為            （4-4a）或          （4-4b）式（4-4）表明，作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量。這就是質點系的動量定理。對于在無限小的時間間隔內，質點系的動量定理可

5、寫成或                    （4-4c）上式表明，作用于質點系的合外力等于質點系的動量隨時間的變化率。例 質量為的物體，由水平面上點以初速為拋出，與水平面成仰角。若不計空氣阻力，求：（1）物體從發(fā)射點到最高點的過程中，重力的沖量；（2）物體從發(fā)射點到落回至同一水平面的過程中，重力的沖量。圖4-2分析：重力是恒力，因此，求其在一段時間內的沖量時，只需求出時間間隔即可。由拋體運動規(guī)律可知，物體

6、到達最高點的時間，物體從出發(fā)到落回至同一水平面所需的時間是到達最高點時間的兩倍。這樣，按沖量的定義即可求出結果。另一種解的方法是根據過程的始、末動量，由動量定理求出。解1：物體從出發(fā)到達最高點所需的時間為則物體落回地面的時間為于是，在相應的過程中重力的沖量分別為解2：根據動量定理，物體由發(fā)射點O運動到A、B的過程中，重力的沖量分別為 4.1.2 動量守恒定律1 動量守恒定律動量守恒定律，是最早發(fā)現的一條守恒定律，它淵源于十六、七世紀西歐的哲學思想，法國哲學家兼數學、物理學家笛卡兒，對這一定律的發(fā)現做出了重要貢獻。觀察周圍運動著的物體，我們看到它們中的大多數終歸會停下來。整個宇宙是不是

7、也像一架機器那樣，總有一天會停下來呢？但是，千百年對天體運動的觀測，并沒有發(fā)現宇宙運動有減少的現象，十六、七世紀的許多哲學家都認為，宇宙間運動的總量是不會減少的，只要我們能夠找到一個合適的物理量來量度運動，就會看到運動的總量是守恒的，那么，這個合適的物理量到底是什么呢？法國的哲學家笛卡兒曾經提出，質量和速率的乘積是一個合適的物理量。但速率是個沒有方向的標量。后來，牛頓把笛卡兒的定義略作修改，即不用質量和速率的乘積，而用質量和速度的乘積，這樣就得到量度運動的一個合適的物理量，這個量牛頓叫做“運動量”，現在我們叫做動量，笛卡幾由于忽略了動量的矢量性而沒有找到量度運動的合適的物理量，但他的工作給后來

8、的人繼續(xù)探索打下了很好的基礎。從式（4-4）可以看出，當系統(tǒng)所受合外力為零，即時，系統(tǒng)的總動量的增量亦為零，即。這時系統(tǒng)的總動量保持不變，即               恒矢量          （4-5a）這就是動量守恒定律，它的表述為：當系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量將保持不變，式（4-5a）是動量守恒定律的矢量式。在直角坐標系中，其分量式為 

9、60;          （4-5b）式中、和均為恒量。 2幾點說明：(1)動量是與慣性系選取有關的物理量，因此在計算系統(tǒng)動量時，各質點的動量必須取同一個慣性系；(2)當系統(tǒng)所受合外力不為零時，雖然不滿足動量守恒條件，但由于垂直合外力方向上系統(tǒng)受力為零，故系統(tǒng)動量在該方向的分量將保持不變；(3)在某些碰撞問題中，出于外力遠遠小于內力，因而外力可以忽略不計，此時仍然可以應用動量守恒定律解決問題；(4)動量守恒定律是物理學最普遍、最基本的定律之一。動量守恒定律雖然是從表述宏觀物體運動規(guī)律的牛頓運動定律導出的，

10、但近代的科學實驗和理論分析都表明：在自然界中，大到天體間的相互作用，小到質子、中子、電子等微觀粒子間的相互作用都遵守動量守恒定律；而在原子、原子核等微觀領域中，牛頓運動定律卻是不適用的。因此，動量守恒定律比牛頓運動定律更加基本，它與能量守恒定律一樣，是自然界中最普遍、最基本的定律之一。()動量定理和動量守恒定律只在慣性系中才成立。因此運用它們來求解問題時，要選定一慣性系作為參考系。 例  設有一靜止的原子核，衰變輻射出一個電子和一個中微子后成為一個新的原子核。已知電子和中微子的運動方向相互垂直，且電子的動量的值為，中微子的動量的值為。問新的原子核的動量的值和方向如何？圖4-3解： &

11、#160;以、和分別代表電子、中微子和新原子核的動量，且與相互垂直（ 上圖所示）。在原子核衰變的短暫時間內，粒子間的內力大于外界作用于該粒子系統(tǒng)上的外力。故粒子系統(tǒng)在衰變前后的動量是守恒的。考慮到原子核在衰變前是靜止的，所以衰變后電子、中微子和新原子核的動量之和亦應為零，即由于與垂直，有代入已知數據，得圖中的角為或者新原子核的動量與中微子動量之間的夾角為 例 質量為的人手里拿著一個質量為的物體，此人用與水平面成角的速率向前跳去。當他達到最高點時，他將物體以相對于人為的水平速率向后拋出。問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設人可視為質點） 圖4-4解：取如圖所示坐標。把人與物體視為一

12、系統(tǒng)，當人跳躍到最高點處，在向左拋物過程中，滿足動量守恒，故有式中v為人拋物后相對地面的水平速度，vu為拋出物對地面的水平速度。得人的水平速度的增量為而人從最高點到地面的運動時間為所以，人跳躍后增加的距離在火箭(rocket)發(fā)射過程中，燃料不斷燃燒變成熱氣體，并以高速從火箭尾部向后噴出，因而推動火箭向前作加速運動。設火箭在外層空間飛行，火箭在t0 時刻的速度為0 ，火箭(包括燃料)的總質量為M0，熱氣體相對火箭的噴射速度為u 。隨著燃料消耗，火箭質量不斷減少，火箭速度不斷加快，當燃料用盡后的火箭質量為M，此時火箭所獲得的速度是多少呢？下面具體計算。第一步：討論在任意時刻火箭飛行情況，選取某一

13、時刻和時刻的火箭原質量，噴出的質量和噴出氣體后火箭質量為研究對象，分析此系統(tǒng)的運動情況。 設某一時刻，火箭質量為，相對地面速度為；在時間，火箭噴出的質量為 (是質量在dt時間內所噴出的質量)的氣體。噴出的氣體相對火箭的速度為u，方向與相反；選擇火箭和噴氣所組成的部分為系統(tǒng)： 噴氣前：總動量為；噴氣后：火箭動量；噴出的氣的動量;忽略空氣阻力和重力，系統(tǒng)動量守恒。第二步：應用動量守恒列式：忽略高階無窮小，并整理后得，即：對上式兩邊積分，t0t時間，其速度變化為0，其質量由M0變化為M，于是有： 所以： 即： 這就是當t0t時刻，火箭的質量從M0M時火箭的速度公式。第三步：要求火箭在全部燃

14、料用完時的速度。如果設火箭開始飛行時速度為零(00)，燃料用盡時質量為M，那么根據上式解得火箭能夠達到的速度為：（-）式中稱為火箭的質量比。要把航天器發(fā)射上天，則火箭獲得的速度至少要大于第一宇宙速度。若要使航天器離開地球到達其他行星或脫離太陽系到其他星系，則火箭獲得的速度應分別大于第二宇宙速度和第三宇宙速度。但是按計算可得一級火箭的速度是f10.8（千米/秒），由于此式導出時未計入地球引力和空氣摩擦力產生的影響，加上各種技術的原因，單級火箭的末速度f將小于第一宇宙速度1=7.9千米/秒；這就是說，單級火箭并不能把航天器送上天。運載火箭通常為多級火箭，多級火箭是用多個單級火箭經串聯、并聯或串并聯

15、組合而成的一個飛行整體。圖4-是串聯式三級火箭的示意圖。圖4-是中國“長征”號運載火箭的部位安排。 圖4-5多級火箭 圖4-64.2 能量守恒功、質點的動能定理1功在歷史上，功的概念是在使用簡單機械的生產經驗基礎上逐步發(fā)展為科學概念的。人們在從事推車、提水等勞動時，都用力操作，并完成一定的工作量。那時把“工作”認為“作功”，凡用力的操作都稱為作功。爾后，又逐步認識到，在工作過程中，總在力在作用，而且物體總要發(fā)生一定的位移。作用力和位移越大，完成的工作量就越多。這些感性知識，通過總結反映到物理學中，從而形成了功的科學概念。如有一質點在力的作用下，沿圖-所示的路徑運動。設在時刻、質點位于，經過時間

16、間隔，質點的位移為。力與質點位移之間的夾角為。在物理學中，功的定義是：力對質點所作的功為力在質點位移方向的分矢量與位移大小的乘積。按此定義，該力所作的元功為（-a）從上式可以看出，當90o0o時，功為正值，即力對質點作正功；當90o180o時，功為負值，即力對質點作了負功。由于力與位移均為矢量，從矢量的標積定義知，上式等號右邊為與標積，即（-b）圖4-7質點由點運動到點，在這過程中作用質點上的力的大小和方向都可能在改變。為求得在這過程中變力所作的功。我們把路徑分成很多段的多個位移元，使得在這些位移元內，力可近似地看成是不變的。于是，質點從點移到點時，變力所作的功應等于力在每段位移元上所作元功的

17、代數和，即 （-）上式是變力作功的表達式。圖4-8功常用圖示法來計算。如圖-所示，圖中的曲線表示隨路徑變化的函數關系。曲線下面的面積等于變力作功的代數值。    在直角坐標系中，和都是坐標、的函數，即和      因此式（-）亦可寫成2質點的動能定理（1） 質點的動能定理力對物體作功，則要使物體的運動狀態(tài)發(fā)生變化。它們之間的關系如何呢？圖4-9如圖-所示，一質量為的質點在合外力作用下，自點沿曲線移動到點。它在點和點的速率分別為。設作用在位移元上的合外力與之間的夾角為。由式（-）可得，合外力對質點所作的元功

18、為        （-9）由牛頓第二定律及切向加速度的定義,有   故可得于是，質點自點移動至點這一過程中，合外力所作的總功為             （-9a）我們把叫做質點的動能，用表示，即     這樣，和分別表示質點在起始和終了位置時的動能。式（-9a）可寫成（-9b）上式表明，合外力對質點所作的功，等于質點動能的增量。這個結論就叫做質點的

19、動能定理。稱為初動能，而稱為末動能。（2）關于質點的動能定理幾點說明  a.功與動能之間的聯系和區(qū)別。只有合外力對質點作功，才能使質點的動能發(fā)生變化。功是能量變化的量度，功是與在外力作用下質點的位置移動過程相聯系的，故功是一個過程量。而質點的運動狀態(tài)一旦確定，即m、v確定，則動能就唯一地確定。故動能是決定于質點的運動狀態(tài)的，它是運動狀態(tài)的函數。b.功和動能與參考系有關。與牛頓第二定律一樣，動能定理也適用于慣性系。此外，在不同的慣性系中，質點的位移和速度是不同的，因此，功和動能依賴于慣性系的選擇。c.功和動能是標量。例一物體在介質中按規(guī)律作直線運動，為一常量。設介質對物體的阻力正比于速

20、度的平方。試求物體由運動到時，阻力所作的功。（已知阻力系數為）解：由運動學方程，可得物體的速度按題意及上述關系，物體所受阻力的大小為則阻力的功為例一質量為的球，系在長為的細繩上，細繩的另一端系在天花板上。把小球移至使細繩與豎直方向成角的位置，然后由靜止放開。求：（1）在繩索從角到角的過程中，重力和張力所作的功；（2）物體在最低位置時的動能和速率；（3）在最低位置時的張力。解：（1）如圖-所示，重力對小球所作的功只與始末位置有關，即在小球擺動過程中，張力FT的方向總是與運動方向垂直， 所以張力的功 （2）根據動能定理，小球擺動過程中，其動能的增量是由于重力對它作功的結果。初始時動能為零，因而，在

21、最低位置時的動能為圖小球在最低位置時的速率為   圖4-10（）當小球在最低位置時，由牛頓定律可得   保守力與非保守力 勢能1. 萬有引力、重力、彈性力作功的特點（1）.萬有引力作功 圖4-11如圖-所示，有兩個質量為的質點，其中質點固定不動。取的位置為坐標原點，、兩點對的距離分別為經任一路徑由點運動到點，萬有引力作的功為 ：設在某一時刻質點距質點的距離為，其位矢為，這時質點受到質點的萬有引力為為沿位矢的單位矢量，當沿路徑移動位移元時，萬有引力作的功為從圖可以看出于是，上式為所以，質點從點沿任一路徑到達點的過程中，萬有引力

22、作的功為（-）   上式表明，當質點的質量均給定時，萬有引力作的功只取決于質點的起始和終了的位置，而與所經過的路徑無關。這是萬有引力作功的一個重要特點。（2） .重力作功如圖-所示，一個質量為的質點，在重力作用下從點沿路徑至點，點和點距地面的高度分別為，因為質點運動的路徑為一曲線，所以重力和質點運動方向之間的夾角是不斷變化的。我們把路徑分成許多位移元，在位移元中，重力所作的功為 圖4-12若質點在平面內運動，按圖所選坐標，并取地面上某一點為坐標原點，有且。于是，前式為質點由點移至點的過程中，重力作的總功為 即    

23、0;                   （-）上式表明，重力作功只與質點的起始和終了位置有關，而與所經過的路徑無關，這是重力作功的一個重要特點。（3） 彈性力作功圖-所示是一放置在光滑平面上的彈簧，彈簧的一端固定，另一端與一質量為的物體相連接。當彈簧在水平方向不受外力作用時，它將不發(fā)生形變，此時物體位于點（即位于處），這個位置叫做平衡位置。現以平衡位置為坐標原點，向右為軸正向。彈簧伸長量由變到時，彈性力對物體的作的

24、功為：若物體受到沿軸正向的外力作用，彈簧將沿軸正向被拉長，彈簧的伸長量即其位移為。根據胡克定律，在彈性限度內，彈簧的彈性力與彈簧的伸長量之間的關系為式中稱為彈簧的勁度系數。在彈簧被拉長的過程中，彈性力是變力。但彈簧位移為時的彈性力可近似看成是不變的。于是，彈簧位移為時，彈性力作的元功為有                          

25、 這樣，彈簧的伸長量由時，彈性力所作的功就等于各個元功之和。由積分計算可得 計算彈性力對物體的作的功為          （-12）式中為彈簧的勁度系數。圖4-13從式（-12）可以看出，對在彈性限度內具有給定勁度系數的彈簧來說，彈性力作的功只由彈簧起始和終了的位置（和）決定，而與彈性形變的過程無關。2 保守力與非保守力從上述對重力、萬有引力和彈性力作功的討論中可以看出，它們所作的功只與物體（或彈簧）的始、末位置有關，而與路徑無關。這是它們作功的一個共同特點。我們把具有這種特點的力叫做保守力。除了上面所講

26、的重力、萬有引力和彈性力是保守力外，電荷間相互作用的庫侖力和原子間相互作用的分子力也是保守力。   保守力作功與路徑無關的特性還可以用另一種方式來表示：物體沿任意閉合路徑運動一周時，保守力對它作功為零，即          （-13）式（-13）是反映保守力作功特點的數學表達式。    然而，在物理學中并非所有的力都具有作功與路徑無關這一特點，例如常見的摩擦力，它所作的功就與路徑有關，路徑越長，摩擦力作的功也越大。顯然，摩擦力就不具有保

27、守力作功的特點。3、勢能（1）勢能的定義從上面關于萬有引力、重力和彈性力作功的討論中，我們知道這些保守力作功均只與物體的始末位置有關，為此，可以引入一物理量，它是位置的函數，并使這個函數在始末位置的增量恰好決定于保守力的功，這個位置函數就是我們要引人的勢能。把與物體位置有關的能量稱作物體的勢能，用符號表示。     (4-14)    即保守力對物體作的功等于物體勢能增量的負值。于是，三種勢能分別為重力勢能        &#

28、160;      引力勢能                         （-15）彈性勢能              (2). 對勢能概念的進一步討論（a)勢能是狀態(tài)的函數。

29、在保守力作用下，只要物體的起始和終了位置確定了，保守力所作的功也就確定了，而與所經過的路徑是無關的。所以說，勢能是坐標函數，亦即是狀態(tài)的函數，即。前面還說過，動能亦是狀態(tài)的函數，。(b)勢能的相對性。勢能的值與勢能零點的選取有關。一般選地面的重力勢能為零，引力勢能的零點取在無限遠處，而水平放置的彈簧處于平衡位置時，其彈性勢能為零。當然，勢能零點也可以任意選取，選取不同的勢能零點，物體的勢能就將具有不同的值。勢能可正可負，勢能為負只不過表明其勢能大小比選作零點的勢能小。所以，通常說勢能具有相對意義。但也應當注意，任意兩點間的勢能之差卻是具有絕對性的。(c)勢能是屬于系統(tǒng)的。勢能是由于系統(tǒng)內各物體

30、間具有保守力作用而產生的。因而它是屬于系統(tǒng)的。單獨談單個物體的勢能是沒有意義的。例如重力勢能就是屬于地球和物體所組成的系統(tǒng)的。如果沒有地球對物體的作用，也就談不上重力作功和重力勢能問題，離開了地球作用范圍的宇宙飛船，也就無所謂重力勢能。同樣，彈性勢能和引力勢能也是屬于有彈性力和引力作用的系統(tǒng)的。應當注意，在平常敘述時，常將地球與物體系統(tǒng)的重力勢能說成是物體的，這只是為了敘述上的簡便，其實它是屬于地球和物體系統(tǒng)的。至于物體的引力勢能和彈性勢能，也都是這樣。功能原理1 質點系的動能定理（1） 質點系的動能定理設一系統(tǒng)內有個質點，作用于各個質點的力所作的功分別為：、，使各質點由初

31、動能、改變?yōu)槟﹦幽堋?，由質點的動能定理式（-9），可得以上各式相加，有          （-16）式中是系統(tǒng)內個質點的初動能之和，是這些質點的末動能之和，則是作用在個質點上的力所作的功之和。因此，上式的物理意義是:作用于質點系的力所作之功，等于該質點系的動能增量。這也叫做質點系的動能定理。（2）外力作的功與內力作的功正如前面所說，系統(tǒng)內的質點所受的力，既有來自系統(tǒng)外的力，也有來自系統(tǒng)內各質點間相互作用的內力，因此，作用于質點系的力所作的功，應是一切外力對質點系所作的功與質點系內一切內力所作的功之和，即這

32、樣式(-16)亦可寫成           （-17）這是質點系動能定理的另一數學表達式，它表明，質點系的動能的增量等于作用于質點系的一切外力作的功與一切內力作的功之和。（3）質點系的功能原理a. 質點系的功能原理前面已經指出，如果按力的特點來區(qū)分，作用于質點系的力，有保守力與非保守力之分。無論是外力或者是內力都可以是保守力或非保守力。因此，如以表示質點系內各保守內力作功之和，表示質點系內各非保守內力作功之和，那么，質點系內一切內力所作的功則應為此外，從式(4-14)已知，系統(tǒng)內保守力作的功等于勢能增量的

33、負值，因此，質點系內各內力的保守力所作的功應為考慮了以上兩點，式(-17)可寫為   （4-18）在力學中，動能和勢能統(tǒng)稱為機械能。若以和分別代表質點系的初機械能和末機械能，即，那么，式(4-18)可寫成          （4-19） 上式表明，質點系的機械能的增量等于外力與非保守內力作功之和。這就是質點系的功能原理。例 如圖-4所示，有一自動卸貨礦車，滿載時的質量為，從與水平成傾角斜面上的點由靜止下滑。設斜面對車的阻力為車重的倍，礦車下滑距離時，礦車與緩沖彈簧一道沿斜面運動。當礦車

34、使彈簧產生最大壓縮形變時，礦車自動卸貨，然后礦車借助彈簧的彈性力作用，使之返回原位置再裝貨。試問要完成這一過程，空載時與滿載時車的質量之比應為多大？圖4-14解：取沿斜面向上為x軸正方向。彈簧被壓縮到最大形變時彈簧上端為坐標原點O。礦車在下滑和上行的全過程中，按題意，摩擦力所作的功為         （1）式中m¢和m分別為礦車滿載和空載時的質量，x為彈簧最大被壓縮量。    根據功能原理，在礦車運動的全過程中，摩擦力所作的功應等于系統(tǒng)機械能增量的負值，故有由于礦車返回原位時

35、速度為零，故；而 ，故有         （2）由式（1）、（2）可解得b.質點系的功能原理的討論i.功能原理與動能定理無本質區(qū)別 功能原理是從動能定理中推得的，無非是用勢能代替內保守力的功，兩者無本質區(qū)別。但這在對能量的認識上進了一步，我們又引入了機械能動能和勢能之和，這是力學中所涉及的能量的一種形式，引入機械能更能從“能”的角度來討論問題。另外，用功能原理在計算上更為簡單，因為勢能比內保守力的功易于計算。但這需注意，應用功能原理，右邊為機械能的增量，左邊是外力和非保守內力的功。而用動能定理，右邊是動能的增量，左

36、邊則是外力、內保守力、非保守內力的功。不要在應用功能原理時，把勢能增量和內保守力的功重復計算進去。ii.功是能量變化的量度功能原理指出，機械能的增量用外力和非保守內力的功來量度；動能定理指出動能的增量用外力和一切內力的功來量度；而勢能的增量用內保守力的功來量度。其實質均是用功來量度能量的變化，這使我們更理解了“功”這個概念功是能量變化的量度。機械能守恒定律1 機械能守恒定律從質點系的功能原理式(-19)可以看出，當時，有          （-20a）即     

37、          （-20b）它的物理意義是：當作用于質點系的外力和非保守內力不作功時，質點系的總機械能是守恒的。這就是機械能守恒定律。    機械能守恒定律的數學表達式(-20)還可以寫成即                （-21）上式指出，在滿足機械能守恒的條件()下，質點系內的動能和勢能都不是不變的，兩者之間可以相互轉換，但動能和

38、勢能之和卻是不變的，所以說，在機械能守恒定律中，機械能是不變量或守恒量。而質點系內的動能和勢能之間的轉換則是通過質點系內的保守力作功()來實現的。例 如圖4-15所示，和兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質量分別為和。問在板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起來時稍被提起。（設彈簧的勁度系數為k）分析：選取兩塊板、彈簧和地球為系統(tǒng)，該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后（取作狀態(tài)1），直到B板剛被提起（取作狀態(tài)2），在這一過程中，系統(tǒng)不受外力作用，而內力中又只有保守力（重力和彈力）作功，支持力不作功，因此，滿足機械能守恒的條件。只需取狀態(tài)1和狀態(tài)2，運用機械能守恒定律列出方程，并結合這兩狀態(tài)下

39、受力的平衡，便可將所需壓力求出。解：選取如圖所示坐標，取原點O處為重力勢能和彈性勢能零點。作各狀態(tài)下物體的受力圖。對A板而言，當施以外力F時，根據受力平衡有圖4-15     （1）當外力撤除后，按分析中所選的系統(tǒng)，由機械能守恒定律可得 式中y1、y2為M、N兩點對原點O的位移。因為及，上式可寫為          （2）由式（1）、（2）可得          （3

40、）當A板跳到N點時，B板剛被提起，此時彈性力，且。由式（3）可得應注意勢能的零點位置是可以任意選取的。為計算方便起見，通常取彈簧原長時的彈性勢能為零點，也同時為重力勢能的零點。 2能量守恒定律在長期的生產斗爭和科學實驗中，人們總結出一條重要的結論:對于一個與自然界無任何聯系的系統(tǒng)來說，系統(tǒng)內各種形式的能量是可以相互轉換的，但是不論如何轉換，能量既不能產生，也不能消滅。這一結論叫做能量守恒定律，它是自然界的基本定律之一。能量是這一守恒定律的不變量或守恒量，在能量守恒定律中，系統(tǒng)的能量是不變的，但能量的各種形式之間卻可以相互轉化。例如機械能、電能、熱能、光能以及分子、原子、原子核能等等能量之間都可

41、以相互轉換。應當指出，在能量轉換的過程中，能量的變化常用功來量度。在機械運動范圍內，功是機械能變化的唯一量度。但是，不能把功與能量等同起來，功是和能量變換過程聯系在一起的，而能量則只和系統(tǒng)的狀態(tài)有關，是系統(tǒng)狀態(tài)的函數 。4.3 碰撞問題 碰撞分類所謂碰撞是指兩個或者兩個以上的物體，在相遇過程中，物體之間的相互作用僅持續(xù)一個極為短暫的時間。例如，兩個鋼球的碰撞，持續(xù)時間僅10-4 S。 一般地，碰撞所指的現象比較廣泛，除了球的撞擊、打擊、鍛壓，以及分子、原子或原于核等微觀粒子之間的相互作用過程外，像人從車上跳下、子彈打人墻壁等現象，也可以作為碰撞處理。兩個球形物體的碰撞是一個典型示例。通常，我們

42、將兩個球體碰撞前后的速度均在球心連線上的一類碰撞，稱為對心碰撞(或正碰撞)。下面我們分析兩個球體的對心碰撞過程。設兩個質量是m1 和m2的球體，碰撞前的速度分別為10和20，且1020 。當第一個追上第二個球后，二者相互擠壓，后球推動前球使其加速，前球阻擋后球使其減速，直到兩球速度相等，形變達到最大，這是碰撞過程的壓縮階段；此后開始恢復階段，后球以彈性力作用于前球使其進一步加速，前球以彈性力作用于后球使其進一步減速，直到分開，如圖4-16所示。圖4-16 1完全彈性碰撞如果碰撞后兩個球體能夠完全恢復原來狀態(tài)，即在恢復階段，系統(tǒng)按相反的次序經歷了壓縮階段的所有狀態(tài)，這一類碰撞稱為完全彈性碰撞。

43、非彈性碰撞如果碰撞后兩個球體并不能完全恢復原來狀態(tài)，即在恢復階段，系統(tǒng)不能按照相反次序經歷壓縮階段的所有狀態(tài)，這一類碰撞稱為非彈性碰撞。一般的碰撞均屬于這一類。 完全非彈性碰撞在碰撞過程中，如果只有壓縮階段而不存在恢復階段，即碰撞后兩球連為一體，這一類碰撞稱為完全非彈性碰撞。 關于對心碰撞，碰撞后兩球的分離速度與碰撞前兩球的接近速度的比值由兩球的材質決定。其數學表達式為 （-）式中，稱為恢復系數，它滿足o1。顯然，當1時，碰撞后兩球的分離速度等于碰撞前兩球的接近速度，兩球作完全彈性碰撞；當0時，碰撞后兩球以相同速度運動，并不分開，兩球作完全非彈性碰撞。一般情況下，o1，兩球作非彈性碰撞。如在完

44、全彈性碰撞過程中可得碰撞后兩球的速度為在碰撞前后系統(tǒng)動能的增量為此式說明，在完全彈性碰撞前后，系統(tǒng)的動能守恒。事實上，完全彈性碰撞過程符合機械能守恒定律：在壓縮階段，物體相互作功，使其動能的一部分轉換為勢能；在恢復階段，勢能再轉換成動能。例 如圖-所示，質量為、速度為的鋼球，射向質量為的靶，靶中心有一小孔，內有勁度系數為的彈簧，此靶最初處于靜止狀態(tài)，但可在水平面上作無摩擦滑動，求子彈射入靶內彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。 圖4-17解：以小球與靶組成系統(tǒng)，設彈簧的最大壓縮量為x0，小球與靶共同運動的速率為v1。由動量守恒定律，有     

45、0;    （1）又由機械能守恒定律，有          （2）由式（1）、（2）可得例 以質量為的彈丸，穿過如圖-所示的擺錘后，速率由減少到。已知擺錘的質量為，擺線長度為，如果擺錘能在垂直平面內完成一個完全的圓周運動，彈丸的速度的最小值應為多少？解：取彈丸與擺錘所成系統(tǒng)。由水平方向的動量守恒定律，有                （1

46、）為使擺錘恰好能在垂直平面內作圓周運動，在最高時，擺線中的張力，則                （2） 式中為擺錘在圓周最高點的運動速率。 圖4-18又擺錘在垂直平面內作圓周運動的過程中，滿足機械能守恒定律，故有               （3）解上述三個方程，可得彈丸所需速率的最小值為   &

47、#160;    例 一個電子和一個原來靜止的氫原子發(fā)生對心彈性碰撞。試問電子的動能中傳遞給氫原子的能量的百分數。（已知氫原子質量約為電子質量的1840倍）解： 以EH表示氫原子被碰撞后的動能，Ee表示電子的初動能，則          （1）由于粒子作對心彈性碰撞，在碰撞過程中系統(tǒng)同時滿足動量守恒和機械能守恒定律，故有          （2）   

48、60;      （3）由題意知，解上述三式可得  4.4 角動量守恒 力矩 質點的角動量及角動量守恒定律1力矩圖4-19力矩又稱為轉矩，是描述作用力對物體所產生的轉動效果的物理量，其定義式為 Mr×F （-）這里，r是由轉軸指向力作用點的位矢。圖4-20 力矩是一個矢量，的方向垂直于與所構成的平面，也可由上圖所示的右手法則確定：把右手拇指伸直，其余四指彎曲，彎曲的方向是由徑矢通過小于180o的角轉向力的方向，這時拇指所指的方向就是力矩的方向。力矩矢量的方向垂直于和矢量所組成的平面。在定軸轉動中，由于平行于轉軸方向的外力對剛

49、體轉動不起作用，因此必須將作用在剛體上的外力分解：平行于轉動平面的力Fl和垂直于轉動平面的力F2。設轉動平面內，作用力的分力與位矢的夾角為，則該力對轉軸的力矩的大小為 MF1rsin；式中d=rsin是力的作用點到轉軸的垂直距離，稱為力臂。由圖4-20可知，在定軸轉動中，剛體所受力矩的方向總是與轉軸平行，因此有關力矩的計算可以按標量處理。在國際單位制中，力矩的單位是N.m。2質點的角動量定理和角動量守恒定律（1）.質點的角動量圖4-21如圖-所示，設有一個質量為的質點位于直角坐標系中點A，該點相對原點的位矢為，并具有速度（即動量為）。我們定義，質點對原點的角動量為  

50、60;       （4-）質點的角動量是一個矢量，它的方向垂直于和的平面，并遵守右手法則：右手拇指伸直，當四指由經小于180o的角轉向（或）時，拇指的指向就是的方向。至于質點角動量的值，由矢量的矢積法則知          式中為與（或）之間的夾角。應當指出，質點的角動量與位矢和動量有關的，也就是與參考點的選擇在關。因此在講述質點的角動量時，必須指明是對哪一點的角動量。若質點在半徑為的圓周上運動，在某一時刻，質點位于點A，速度為。如以圓心為參考

51、點（圖-），那么與（或）總是相互垂直的。于是質點對圓心的角動量的大小為          （4-5a）因為，上式亦可寫成          （4-5b）至于的方向應平行于過圓心且垂直于運動平面的軸，與的方向相同。 圖4-22（2） 質點的角動量定理設質量為的質點，在合力作用下，其運動方程為由于質點對參考點的位矢為，故以叉乘上式兩邊，有       

52、   （4-6）考慮到而且故式（4-26）可寫成式中稱為合力對參考點的合力矩。于是上式為          （4-7）上式表明，作用于質點的合力對參考點的力矩，等于質點對該點的角動量隨時間的變化率。這與牛頓第二定律形式上是相似的，只是用代替了，用代替了。上式還可寫成為力矩與作用時間的乘積，叫做沖量矩。上式取積分有          （4-28）式中和分別為質點在時刻和對參考點的角動量，為質點在時間

53、間隔-內對參考點所受的沖量矩。因此，上式的物理意義是：對同一參考點，質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量。這就是質點的角動量定理。（3）質點的角動量守恒定律由式（4-）可以看出，若質點所受合力矩為零，即，則有恒矢量          （4-）上式表明，當質點所受對參考點的合力矩為零時，質點對該參考點的角動量為一恒矢量。這就是質點的角動量守恒定律。    應當注意，質點的角動量守恒的條件是合力矩。這可能有兩種情況：一種是合力；另一種是合力雖不為零，但合力通過參考點，致使合力矩為

54、零。質點作勻速率圓周運動就是這種例子。質點作勻速率圓周運動時，作用于質點的合力是指向圓心的所謂有心力，故其力矩為零，所以質點作勻速率圓周運動時，它對圓心的角動量是守恒的。不僅如此，只要作用于質點的力是有心力，有心力對力心的力矩總是零，所以，在有心力作用下質點對力心的角動量都是守恒的。太陽系中行星的軌道為橢圓，太陽位于兩焦點之一，太陽作用于行星的引力是指向太陽的有心力，因此如以太陽為參考點，則行星的角動量是守恒的。在國際單位制中，角動量的單位為。剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律1剛體的定軸轉動剛體的運動可分為平動和轉動兩種，而轉動又可分為定軸轉動和非定軸轉動。若剛體中所有點的運動軌跡都保

55、持完全相同，或者說剛體內任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線，則剛體的這種運動叫做平動。因此，對剛體平動的研究，可歸結為對質點的研究，通常都是用剛體質心的運動來代表平動剛體的運動。    當剛體中所有的點都繞同一直線作圓周運動時，這種運動叫轉動，(圖4-23所示)這條直線叫轉軸。 如果轉軸的位置或方向是隨時間改變的，這個轉軸為瞬時轉軸。如果轉軸的位置或方向是固定不動，這種轉軸為固定轉軸，此時剛體的運動叫做剛體的定軸轉動。一般剛體的運動可看成是平動和轉動的合成。 圖4-232.剛體轉動的角速度和角加速度如圖-所示，有一剛體繞固定軸軸轉動。剛體上

56、各點都繞固定軸軸作圓周運動。為描述剛體繞定軸的轉動，我們在剛體內選取一個垂直于軸的平面作為參考平面，并在此平面上取一參考線，且把這參考線作為坐標軸，把轉軸與平面的交點作為原點，如圖所示，這樣，剛體的方位可由原點到參考平面上的任一點的徑矢與軸的夾角確定，角也叫角坐標。當剛體繞固定軸軸轉動時，角坐標要隨時間改變。也就是說，角坐標是時間的函數，即。 圖4-24剛體繞固定軸轉動有兩種情形，從上向下看，不是順時針轉動就是逆時針轉動。因此，為區(qū)別這兩種轉動，我們規(guī)定：當徑矢從軸開始沿逆時針方向轉動時，角坐標為正；當徑矢從軸開始沿順時針方向轉動時，角坐標為負。按照這個規(guī)定，轉動正方向為逆時針轉向。于是對于繞

57、定軸轉動的剛體，可由角坐標的正負來表示其方位。假設經過時間間隔，剛體上點的角坐標為。為剛體在時間內的角位移。于是，剛體對轉軸的角速度為                      (4-)按照上面關于角坐標正、負的規(guī)定，如，這時剛體繞定軸作逆時針轉動，如這時剛體繞定軸作順時針轉動。下面圖4-25是兩個繞定軸轉動的相同的圓盤，它們的角速度大小相等，但轉動方向相反，輪A逆時針轉動，輪B順時針轉動。這表明，角速度是一個有方向

58、的量，應當指出，只有剛體在繞定軸轉動的情況下，其轉動方向才可用角速度的正負來表示，在一般情況下，需用角速度矢量來表示。圖4-25 關于角速度的方向可由右手法則確定；如上面右圖所示，把右手的拇指伸直，其余四指彎曲，使彎曲的方向與剛體轉動方向一致，這時拇指所指的方向就是角速度的方向。角速度的單位為。剛體繞定軸轉動時，如果其角速度發(fā)生了變化，剛體就具有了角加速度，設在時刻，角速度為，在時刻，角速度為，則在時間間隔內，此剛體角速度的增量為。當趨近于零時，趨近于某一極限值，它叫做瞬時角加速度，簡稱角加速度，即        

59、 （4-）對于繞定軸轉動的剛體，角加速度的方向也可由其正負來表示。在如圖-所示的情況下，角速度的方向與的方向相同，且，那么，為正值，剛體作加速轉動；在右面下兩圖所示的情況下，的方向雖與的方向相同，但，那么，為負值，剛體作減速轉動。    角加速度單位為。 圖4-26剛體定軸轉動的角動量如-圖所示，有一剛體以角速度繞定軸轉動。由于剛體繞定軸轉動，剛體上每一個質點都以相同的角速度繞軸作圓周運動。其中質點對軸的角動量為，于是剛體上所有質點的角動量，即剛體對定軸的角動量為          圖4-27式

60、中，為剛體繞軸的轉動慣量。于是剛體對定軸的角動量為           （4-） 剛體定軸轉動的角動量定理 從式（4-）可以知道，作用在質點上的合力矩應等于質點的角動量隨時間的變化率，即而合力矩中含有外力作用在質點的力矩，即外力矩，以及剛體內質點間作用力的力矩，即內力矩。對繞定軸轉動的剛體來說，剛體內各質點的內力矩之和應為零，即。故由上式，可得作用于繞定軸轉動剛體的合外力矩為亦可寫成        

61、0; （4-）上式表明，剛體繞某定軸轉動時，作用于剛體的合外力矩等于繞此定軸的角動量隨時間的變化率。當J等于常數時，M=J d/dt=J； 對照此式可見，式（4-）是轉動定律的另一表達方式，但其意義更加普遍。即使在繞定軸轉動物體的轉動慣量因內力作用而發(fā)生變化時，式（4-）仍然成立。這與質點動力學中，牛頓第二定律的表達式較之更普遍是一樣的。設有一轉動慣量為的剛體繞定軸轉動，在合外力矩M的作用下，在時間內，其角速度由變?yōu)椋墒剑?-）積分得          （4-a）式中是外力矩與作用時間的乘積，

62、叫做力矩對給定軸的沖量矩，又叫角沖量。如果物體在轉動過程中，其內部各質點相對于轉軸的位置發(fā)生了變化，那么物體的轉動慣量也必然隨時間變化，若在時間內，轉動慣量由變?yōu)?，則式（4-a）中的應改為應改為。于是下面的關系式是成立的，即          （4-b）式（4-）表明，當轉軸給定時，作用在物體上的沖量矩等于角動量的增量，這一結論叫做角動量定理。它與質點的角動量定理在形式上很相似。剛體定軸轉動的角動量守恒定律當作用在繞定軸轉動的剛體上的合外力矩等于零時，由角動量定理也可導出角動量守恒定律。由式（4-）可以看出，當合外力矩為零時，可得          （4-）這就是說，如果物體所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物體的角動量保持不變。這個結論叫做角動量守恒定律。必須指出，上面在得出角動量守恒定律的過程中受到剛體、定軸等條件的限制，但它的適用范圍卻遠超出這些限制。