萬有引力定律常見題型及針對性訓(xùn)練

1、 萬有引力定律常見題型及針對性訓(xùn)練一、萬有引力定律：（1687年） 適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻球體；r為兩質(zhì)點(diǎn)或球心間的距離；G為萬有引力恒量（1798年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出）二、萬有引力定律的應(yīng)用1解題的相關(guān)知識：（1）在高考試題中，應(yīng)用萬有引力定律解題的知識常集中于兩點(diǎn)：一是天體運(yùn)動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即；二是地球?qū)ξ矬w的萬有引力近似等于物體的重力，即G mg從而得出GMRg。（2）圓周運(yùn)動的有關(guān)公式：，v=r。討論：1）由可得： r越大，v越小。2）由可得： r越大，越小。3）由可得： r越大，T越大。4）由可得： r越大，a向越小。需要說明的是，萬有引力定律中

2、兩個(gè)物體的距離，對于相距很遠(yuǎn)因而可以看作質(zhì)點(diǎn)的物體就是指兩質(zhì)點(diǎn)的距離；對于未特別說明的天體，都可認(rèn)為是均勻球體，則指的是兩個(gè)球心的距離。人造衛(wèi)星及天體的運(yùn)動都近似為勻速圓周運(yùn)動。2常見題型萬有引力定律的應(yīng)用主要涉及幾個(gè)方面：（1）測天體的質(zhì)量及密度：（萬有引力全部提供向心力）由 得又 得【例1】中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為T=s。問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體。(引力常數(shù)G=6.6710m/kg.s)解析：設(shè)想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的

3、向心力時(shí)，中子星才不會瓦解。設(shè)中子星的密度為，質(zhì)量為M ，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，位于赤道處的小物塊質(zhì)量為m，則有 由以上各式得，代入數(shù)據(jù)解得：。點(diǎn)評：在應(yīng)用萬有引力定律解題時(shí)，經(jīng)常需要像本題一樣先假設(shè)某處存在一個(gè)物體再分析求解是應(yīng)用萬有引力定律解題慣用的一種方法。（2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）表面重力加速度：軌道重力加速度：【例2】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動，已知行星表面的重力加速度為g0，行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量m之比M/m=81，行星的半徑R0與衛(wèi)星的半徑R之比R0/R3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R0之比r/R060。設(shè)衛(wèi)星表面的重

4、力加速度為g，則在衛(wèi)星表面有 經(jīng)過計(jì)算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結(jié)果是否正確？若正確，列式證明；若有錯(cuò)誤，求出正確結(jié)果。解析：題中所列關(guān)于g的表達(dá)式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度。正確的解法是衛(wèi)星表面g 行星表面=g0 即=即g =0.16g0。（3）人造衛(wèi)星、宇宙速度：人造衛(wèi)星分類（略）：其中重點(diǎn)了解同步衛(wèi)星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與發(fā)衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)別）【例3】我國自行研制的“風(fēng)云一號”、“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是不同的。“一號”是極地圓形軌道衛(wèi)星。其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h；“二號”是地

5、球同步衛(wèi)星。兩顆衛(wèi)星相比 號離地面較高； 號觀察范圍較大； 號運(yùn)行速度較大。若某天上午8點(diǎn)“風(fēng)云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時(shí)刻將是 。解析：根據(jù)周期公式T=知，高度越大，周期越大，則“風(fēng)云二號” 氣象衛(wèi)星離地面較高；根據(jù)運(yùn)行軌道的特點(diǎn)知，“風(fēng)云一號” 觀察范圍較大；根據(jù)運(yùn)行速度公式V=知，高度越小，速度越大，則“風(fēng)云一號” 運(yùn)行速度較大，由于“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的周期是12h，每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測，在這種軌道上運(yùn)動的衛(wèi)星通過任意緯度的地方時(shí)時(shí)間保持不變。則下一次它通過該城市上空的時(shí)刻將是第二天上午8點(diǎn)?！纠?】可發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，使其圓軌道滿足下列條件（ ）A

6、、與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓B、與地球表面上某一經(jīng)度線是共面的同心圓C、與地球表面上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地面是運(yùn)動的D、與地球表面上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地面是靜止的解析：衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心力由萬有引力提供,且萬有引力始終指向地心，因此衛(wèi)星的軌道不可能與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓，故A是錯(cuò)誤的。由于地球在不停的自轉(zhuǎn)，即使是極地衛(wèi)星的軌道也不可能與任一條經(jīng)度線是共面的同心圓，故B是錯(cuò)誤的。赤道上的衛(wèi)星除通信衛(wèi)星采用地球靜止軌道外，其它衛(wèi)星相對地球表面都是運(yùn)動的，故C、D是正確的。【例5】偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行

7、軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T。解析：如果周期是12小時(shí)，每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測。如果周期是6小時(shí)，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行四次觀測。如果周期是小時(shí)，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行n次觀測。設(shè)上星運(yùn)行周期為T1，則有物體處在地面上時(shí)有 解得：在一天內(nèi)衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為，即在日照條件下有次經(jīng)過赤道上空，所以每次攝像機(jī)拍攝的赤道弧長為，將T1結(jié)果代入得 【例6】在地球（看作質(zhì)量均勻分布的球體）上空有許

8、多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（ ）A它們的質(zhì)量可能不同B它們的速度可能不同C它們的向心加速度可能不同D它們離地心的距離可能不同解析：同步衛(wèi)星繞地球近似作勻速圓周運(yùn)動所需的向心力由同步衛(wèi)星的地球間的萬有引力提供。設(shè)地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球半徑為R，同步衛(wèi)星距離地面的高度為h，由F引=F向， G=m（R+h）得：h=-R，可見同步衛(wèi)星離地心的距離是一定的。由G=m得：v=,所以同步衛(wèi)星的速度相同。由G=ma得：a= G即同步衛(wèi)星的向心加速度相同。由以上各式均可看出地球同步衛(wèi)星的除質(zhì)量可以不同外，其它物理量值都應(yīng)是固定的。所以正確選項(xiàng)為A。點(diǎn)評：需要特別提出的是：地球同步衛(wèi)星的有關(guān)

9、知識必須引起高度重視，因?yàn)樵诟呖荚囶}中多次出現(xiàn)。所謂地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜止的且和地球有相同周期、角速度的衛(wèi)星。其運(yùn)行軌道與赤道平面重合?！纠?】地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由求出，已知式中a的單位是m，b的單位是s，c的單位是m/s2，則： Aa是地球半徑，b是地球自轉(zhuǎn)的周期，C是地球表面處的重力加速度；Ba是地球半徑。b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動的周期，C是同步衛(wèi)星的加速度；Ca是赤道周長，b是地球自轉(zhuǎn)周期，C是同步衛(wèi)星的加速度Da是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動的周期，C是地球表面處的重力加速度。解析：由萬有引力定律導(dǎo)出人造地球衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)半徑的表達(dá)式，再將其與題給表達(dá)式中各項(xiàng)對比，以明確式

10、中各項(xiàng)的物理意義。AD正確?！纠?】我國自制新型“長征”運(yùn)載火箭，將模擬載人航天試驗(yàn)飛船“神舟三號”送入預(yù)定軌道，飛船繞地球遨游太空t7天后又順利返回地面。飛船在運(yùn)動過程中進(jìn)行了預(yù)定的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)，獲得圓滿成功。設(shè)飛船軌道離地高度為h，地球半徑為R，地面重力加速度為g.則“神舟三號”飛船繞地球正常運(yùn)轉(zhuǎn)多少圈?(用給定字母表示)。若h600 km，R6400 km，則圈數(shù)為多少?解析：（1）在軌道上 v=在地球表面：=mg 聯(lián)立式得：T=故n=代人數(shù)據(jù)得：n=105圈（4）雙星問題：【例9】兩個(gè)星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動?，F(xiàn)測得兩星中心距離

11、為R，其運(yùn)動周期為T，求兩星的總質(zhì)量。解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別為M1和M2，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動，星球1和星球2到O的距離分別為l1和l2。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得M1：GM1（）2 l1M2對M2：GM2（）2 l2M1兩式相加得M1M2（l1l2）。（5）有關(guān)航天問題的分析：【例10】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為H3. 4105m的圓軌道上運(yùn)行了47小時(shí)。求在這段時(shí)間內(nèi)它繞行地球多少圈？（地球半徑R=6.37106m，重力加速度g9.8m/s2）解析：用r表示飛船圓軌道半徑r=H+ R=6. 71106m 。M表示地球質(zhì)量，m表示飛船質(zhì)量，表示飛船繞地球運(yùn)

12、行的角速度，G表示萬有引力常數(shù)。由萬有引力定律和牛頓定律得利用G g得2由于，T表示周期。解得T，又n=代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為n=31?！纠?1】2003年10月16日北京時(shí)間6時(shí)34分，中國首位航天員楊利偉乘坐“神舟”五號飛船在內(nèi)蒙古中部地區(qū)成功著陸，中國首次載人航天飛行任務(wù)獲得圓滿成功。中國由此成為世界上繼俄、美之后第三個(gè)有能力將航天員送上太空的國家。據(jù)報(bào)道，中國首位航天員楊利偉乘坐的“神舟”五號載人飛船，于北京時(shí)間十月十五日九時(shí)，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征二號F”型運(yùn)載火箭發(fā)射升空。此后，飛船按照預(yù)定軌道環(huán)繞地球十四圈，在太空飛行約二十一小時(shí)，若其運(yùn)動可近似認(rèn)為是勻速圓周運(yùn)動，飛船距地面

13、高度約為340千米，已知萬有引力常量為G=6.67×1011牛·米2/千克2，地球半徑約為6400千米，且地球可視為均勻球體，則試根據(jù)以上條件估算地球的密度。（結(jié)果保留1位有效數(shù)學(xué)）解析：設(shè)地球半么為R，地球質(zhì)量為M，地球密度為；飛船距地面高度為h，運(yùn)行周期為T，飛船質(zhì)量為m。據(jù)題意題s=5400s飛船沿軌道運(yùn)行時(shí)有而由式得：代入數(shù)據(jù)解得kg/m3（6）天體問題為背景的信息給予題近兩年，以天體問題為背景的信息給予題在全國各類高考試卷中頻頻出現(xiàn)，不僅考查學(xué)生對知識的掌握，而且考查考生從材料、信息中獲取有用信息以及綜合能力。這類題目一般由兩部分組成：信息給予部分和問題部分。信息

14、給予部分是向?qū)W生提供解題信息，包括文字?jǐn)⑹?、?shù)據(jù)等，內(nèi)容是物理學(xué)研究的概念、定律、規(guī)律等，問題部分是圍繞信息給予部分來展開，考查學(xué)生能否從信息給予部分獲得有用信息，以及能否遷移到回答的問題中來。從題目中提煉有效信息是解決此類問題的關(guān)鍵所在?！纠?2】 地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為。萬有引力恒量為G，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為0，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時(shí)，具有的萬有引力勢能可表示為。國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個(gè)巨大人造天體，可供宇航員在其上居住和科學(xué)實(shí)驗(yàn)。設(shè)空間站離地面高度為h，如果雜該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使

15、其能到達(dá)地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，由該衛(wèi)星在離開空間站時(shí)必須具有多大的動能？解析：由得，衛(wèi)星在空間站上動能為衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為機(jī)械能為同步衛(wèi)星在軌道上正常運(yùn)行時(shí)有 故其軌道半徑由上式可得同步衛(wèi)星的機(jī)械能衛(wèi)星運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，故離開航天飛機(jī)的衛(wèi)星的機(jī)械能應(yīng)為E2設(shè)離開航天飛機(jī)時(shí)衛(wèi)星的動能為 則【例13】 1997年8月26日在日本舉行的國際學(xué)術(shù)大會上，德國MaxPlanck學(xué)會的一個(gè)研究組宣布了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在大黑洞，他們的根據(jù)是用口徑為3.5m的天文望遠(yuǎn)鏡對獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進(jìn)行近六年的觀測所得的數(shù)據(jù)。他們發(fā)現(xiàn)，距離銀河系中約60億千米

16、的星體正以2000km/s的速度圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。根據(jù)上面數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)（見提示2）通過計(jì)算確認(rèn)，如果銀河系中心確實(shí)存在黑洞的話，其最大半徑是多少？（引力常數(shù)是G6.67×1020km3·kg1s2）解析：表面上的所有物質(zhì)，即使速度等于光速c也逃脫不了其引力的作用。本題的題源背景是銀河系中心的黑洞，而題目的“提示”內(nèi)容則給出了本題的基本原理：（1）它是一個(gè)“密度極大的天體”，表面引力強(qiáng)到“包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都逃脫不了其引力的作用”，（2）計(jì)算采用“拉普拉斯黑洞模型”。這些描繪當(dāng)代前沿科學(xué)的詞匯令人耳目一新，讓人感到高深莫測。但是反復(fù)揣摩提示就會看到，這些詞句

17、恰恰是本題的“眼”，我們據(jù)此可建立起“天體環(huán)繞運(yùn)動模型”，且可用光速c作為“第一宇宙速度”來進(jìn)行計(jì)算。設(shè)位于銀河系中心的黑洞質(zhì)量為M，繞其旋轉(zhuǎn)的星體質(zhì)量為m，星體做勻速圓周運(yùn)動，則有：G=m根據(jù)拉普拉斯黑洞模型有：G=m聯(lián)立上述兩式并代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得： R2.67×105km三、針對訓(xùn)練1利用下列哪組數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球質(zhì)量：（ ）A已知地球半徑和地面重力加速度B已知衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑和周期C已知月球繞地球作勻速圓周運(yùn)動的周期和月球質(zhì)量D已知同步衛(wèi)星離地面高度和地球自轉(zhuǎn)周期2“探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發(fā)現(xiàn)A、B兩顆天體各有一顆靠近表面飛行的衛(wèi)星，并測得

18、兩顆衛(wèi)星的周期相等，以下判斷錯(cuò)誤的是A天體A、B表面的重力加速度與它們的半徑成正比B兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等C天體A、B的質(zhì)量可能相等D天體A、B的密度一定相等3已知某天體的第一宇宙速度為8 km/s，則高度為該天體半徑的宇宙飛船的運(yùn)行速度為A2km/s B4 km/sC4 km/s D8 km/s4探測器探測到土星外層上有一個(gè)環(huán).為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系來確定A若vR，則該環(huán)是土星的一部分B若v2R，則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群C若v1/R，則該環(huán)是土星的一部分D若v21/R，則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群52002年12月30日凌

19、晨，我國的“神舟”四號飛船在酒泉載人航天發(fā)射場發(fā)射升空，按預(yù)定計(jì)劃在太空飛行了6天零18個(gè)小時(shí)，環(huán)繞地球108圈后，在內(nèi)蒙古中部地區(qū)準(zhǔn)確著陸，圓滿完成了空間科學(xué)和技術(shù)試驗(yàn)任務(wù)，為最終實(shí)現(xiàn)載人飛行奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).若地球的質(zhì)量、半徑和引力常量G均已知，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可估算出“神舟”四號飛船的A.離地高度 B.環(huán)繞速度C.發(fā)射速度 D.所受的向心力6航天技術(shù)的不斷發(fā)展，為人類探索宇宙創(chuàng)造了條件.1998年1月發(fā)射的“月球勘探者號”空間探測器，運(yùn)用最新科技手段對月球進(jìn)行近距離勘探，在月球重力分布、磁場分布及元素測定等方面取得最新成果.探測器在一些環(huán)形山中央發(fā)現(xiàn)了質(zhì)量密集區(qū)，當(dāng)飛越這些重力異常區(qū)域時(shí)A探測

20、器受到的月球?qū)λ娜f有引力將變大B探測器運(yùn)行的軌道半徑將變大C探測器飛行的速率將變大D探測器飛行的速率將變小7（1998年全國卷）宇航員站在某一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng)過時(shí)間t，小球落到星球表面，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L。若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M。8我國自制新型“長征”運(yùn)載火箭，將模擬載人航天試驗(yàn)飛船“神舟三號”送入預(yù)定軌道，飛船繞地球遨游太空t7天后又順利返回地面.飛船在運(yùn)動過程中進(jìn)行了預(yù)定的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)，獲得圓滿成功。（1）設(shè)飛船軌道離地高度為h，地球半徑為R，地面