22、單線段最值問題整合

1、單線段最值問題(一)基本分類鄧晉榮一、 單動點若要求最值的線段一端為定點，另一端為動點，則需要研究動點所在軌跡，一般為圓或直線.1 .點在直線上運動點尸是直線/上一動點，A是直線外一點，求從產(chǎn)的最小值.過點/H乍APU/,垂足為P,貝IJAPWAP.2 .點在圓上運動點P為£0上一動點，A是圓外一點，求AP的最值.連接A0并延長，交的于4、鳥兩點，則A64APVA2.例L如圖，已知正方形ABC。，A8=2, E、/分別在8C、C。上運動，且BE=CF, AE . BF交于點、G ,則CG的最小值為.例2.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(2, 4),點P0.O) , 8是軸y上一動

2、點，過點A作A8_LAC交x軸于點C,財是6C中點，則的最小值為.例3,如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形OA8c的頂點A在)，軸上，QA = 3, OC = 4, D 是線段A8上一動點，以CD為邊在與點8同側作正方形CQEE,則OE的最小值為例4,如圖，在邊長為。的等邊A8C中，4XL8C,點E是直線AO上的一個動點，連接CE, 把線段CE繞點。逆時針旋轉60。得到CF,連接QF,則。尸的最小值為.例5.如佟I，在RtAABC中，ZAC8 = 90。，AC = 8C = 4,。是3C邊上一動點，連接AO交 以CO為直徑的圓于點E，則8E的最小值為.例6,如圖，在A5C中，ZACB = 90

3、% NBAC=30。，BC = 2,。是AB邊上一點，以AD 為邊在aABC外側作等邊AQE,過點。作。E的垂線，/是垂線上一點，G是E尸中點， 則CG的最小值為.3.多動點轉化為單動點（1） 雙動點轉單動點例7,如圖，在RIA48C中,ZC = 90° , AC = 4 , 3C=3,。是 AC 上一動點，DEI AC.DF工BC,則上廠的最小值為例8如圖，0A與人軸交于8（2, 0）、。（4, 0）兩點，點尸是y軸上一動點，DP切0A于點D,則OP的最小值為例7（2） 相對運動轉化例9.如圖,在坐標系中，點A、8分別在X、y軸上運動，且A8 = 2 ,在第一象限作等邊A5C ,

4、則OC的最大值為.例10. 如圖，在坐標系中，點A、3分別在X軸、直線），=工上運動，且AB = 2,以A3為 邊在點O異側作等邊A8C ,則OC的最大值為.圓中的弦，由半徑與圓心角（圓周角）決定，若圓心角固定，則弦的最值轉化為半徑的最值.半徑的最值問題可以轉化為單動點問題，也可以由半徑與弦的關系求得（0</W2r）.例 11. 如圖，在A5C中，A8 = AC = 8, ZBAC= 120°, O在線段3c上且 8 = 33。, 點、E、尸分別在射線區(qū)4、C4上，若NE>。尸=60。，則EP的最小值為.單線段最值問題（二）連鎖軌跡3 Q例12. 如圖，已知y = -1F

5、-Lr + 6與入軸交于A、B兩點,與），軸交于點C, O是線段 84BC上一動點，尸是A。中點.過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為E、F兩點，則EF 的最小值為.例 13. 如圖，在RtZiABC中，AC = 6, 8c = 8, P、。是AC、8c上的動點，CP0的 外接圓，恰好與直線AB相切，則P。的最小值為.例12三、動態(tài)折疊動態(tài)折疊的情況更加復雜，可以轉化為單動點問題，也可能無法轉化.例 14. 如圖，在RtaABC中，ZACB = 90% AC = 6, BC = 4,。是 AC 中點，E在BC 上運動，沿OE折疊，使點。落在C處，則8C'的最小值為.例 15. 如圖，在

6、 R»A3C 中，ZACB = 900 9 AC = 6, BC = 8, D、E 分別是 AC、BC 上的動點，沿DE折疊,使點C落在C'處，則AU的最小值為.例16. 如圖，已知等邊A3C,邊長為4,。、E是AC、A3上兩動點，沿OE折疊，使點A恰好落到BC上，則8的最大值為.例14例15鄧晉榮 例L如圖，在A48c中，A8 = 2, 47 = 3,以BC作等邊BCD, B、D、C三點為逆時 針順序，則AO的最大值為.例2,如圖，在平面直角坐標系中，己知矩形。4BC的頂點A在丫軸上，。4 = 3, OC = 4,。是 線段A8上一動點，以CZ）為邊在與點8同側作正方形CD

7、EF,則OE的最小值為例3.如佟I，在邊長為。的等邊A8C中，4XL8C，點E是直線AO上的一個動點，連接CE， 把線段CE繞點C逆時針旋轉60。得到CF,連接OF,則。F的最小值為.例3實際上，例1可以修改如下：例4.如圖，AC= 3 ,點B在以A為圓心，半徑為2的圓上運動，以BC為邊作等邊BCD , B、C、。三點為逆時針順序，則AO的最大值為思考，我們能否證明點。也在某個圓上運動？如果把例4中的等邊三角形改為等腰直角三角形呢？例5.如圖，AC = 3,點8在以A為圓心，半徑為2的圓上運動，以5c為斜邊作等腰直角 BCD, B、C、。三點為逆時針順序，則A。的最大值為.1.位似變換如圖，A

8、是定點，點P在直線BC （感。）上運動，A （定點）A （定點）.4/（從動點B，/主動點）/ M從動點M是AP中點定點從動點）MBP （主動點）P（主動點）O2 .旋轉變換（旋轉型全等）如圖，A是定點，點P在直線8c 蛾 O）上運動，作等腰直角AP。，NPA0 = 9O。（此處可以看作點P繞點A逆時針旋轉90。）從動點）例10例93 .旋轉位似變換（旋轉型相似）如圖，A是定點，點P在直線8c 蛾 O）上運動，作等腰直角“尸。，乙4P0 = 90。（此處可以看作點P繞點兒逆時針旋轉45。后，再以點A為位似中心擴大/2倍）結論1：若某動點（稱為主動點）在某軌跡上運動，則與其連鎖運動的點（稱為從動

9、點）也 在同樣的軌跡上運動。主動點在某直線上運動，從動點也在另一直線上運動；主動點在某圓上 運動，從動點也在另一圓上運動。（此處的“連鎖運動”即指主動點經(jīng)過固定幾何變換得到從動點）結論2：若主動點圓上運動，則應該把圓心進行同樣的幾何變換，得到從動點的圓心；若主動 點在直線上運動，則選擇該直線上任意一點，進行同樣的幾何變換，變換后的點與從動點構成從動點所在直線，之后，再通過“手拉手”模型進行推導證明。結論3：主動點所在軌跡與從動點所在軌跡的長度之比等于位似比。例6 ,如圖，在四邊形A8CO中，ZABC=Z4DC=90% AD=CD=G , E是BD中點"則 CE的最小值為.例7.如圖，

10、在坐標系中，點A(3, 0),點5在直線)，= -6x +3上運動，以A3為邊作等邊A3C, 5、A、C三點為逆時針順序，則OC的最小值為.例8.如圖，A8是的直徑，C是OB上一點，P是。上一動點，以CP為底邊作等腰直 角MPD ,、。、。三點為逆時針順序,若從8 = 6, OC=2,則AD的最小值為.例9如圖，點O在線段A反上，。4=1, 03=2,以點。為圓心，。4長為半徑作9。，點 P 在 QP 上運動，以 BP 為邊作 aBCP ,使 NP5C = 90。，tanZBPC=2, P、B、C 三點 為逆時針順序，則AC的取值范圍是.例10.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(2, 4),

11、點尸(1, 0) , 3是軸)，上一動點，過點A作A8L4C交x軸于點C, M是8c中點，則PM的最小值為.單線段最值問題練習練L如圖，在8中，半徑為6, C是8上一動點，且Z4CB=30。，延長。3交過點A的 切線于點Q，則5。的最小值為.練2.如圖，點A是直線y = r上的動點，點8在x軸上運動，作矩形ABC。，加=2,4)= 1， A、B、C、。四點為逆時針順序，則。的最大值為.練3.如圖，在等邊aABC中，A8 = 3,點。、E分別在8C、AC上運動，且8O = CE, AD 交BE于點、F ,則CF的最小值為.練4 .如圖，在菱形A5CO中，AC = 2, 8。= 4, P是CD上一

12、動點、,分別作點P關于AC、A。的對稱點4、R,則62的最小值為練5 .如圖，已點A(3,0), C(0.4) , 0C的半徑為2,點尸題)C上一動點，M是AP中點，則0M的最小值為.練6.如圖，已知半徑為3 , A、8是00上兩點，將點B繞點A逆時針旋轉90。得到點C, 則OC的最小值為.練5練7 .如圖，AB是C/7的直徑，C是AB中點，。是3C上一動點，過點C作CE_LCD交月。于點E,則BE的最小值為.練8.如圖，在等邊ABC中，。是5c上一動點，M是AO中點，將線段0M繞點。順時 針旋轉60。得到ON.當點。從點B運動到點。時，點N運動的軌跡長為.練9.如圖，已知定點A橫坐標為26，

13、過點A且垂直于x軸的直線交x軸于點M ,交直線 ，=_4,于點N.尸是線段ON上一動點，作APB, N8AP=90。，ZAPB = 30。，A、尸、 8三點為逆時針順序.當點尸從點。運動到點N時，點8運動的軌跡長為.Ay練10. 如圖，AP = 3, BP = 4,作正方形A8CO, A、8、。、。四點為逆時針順序，CP 的最大值為.練1L 如圖等邊ABC中，P是AC邊上一動點，作BOP, ZPBD = 30° , PB = PD, P、B、。三點為逆時針順序，則CO的最小值為.練 12. 如圖，aABCs力£>石，NBAC=ND4E = 90。，AB = 6, AC = 8,廠是OE 中點， 若點。在直線3C上運動，連接