勾股定理知識點(diǎn)歸納和題型歸類

1、勾股定理知識點(diǎn)歸納和題型歸類一.知識歸納1 .勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a, b,斜邊為c,那么a2 b2 c22 .勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：122方法：4S S正方形efgh So形abcd，4 ab (b a) c ,化間可證.2方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的

2、和為 S 4 -ab c2 2ab c22大正方形面積為 S (a b)2 a2 2ab b2,所以a2 b2 c2111 2萬法二：S弟形 (a b) (a b), S弟形2S ade S abe 2 -ab c ,化間信證 2223 .勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形 4 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊 在 ABC 中， C 90 ,則 c Ja2 b2 , b Jc2 a2 , a Jc2 b2知道直角三

3、角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題5 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長 a, b , c滿足a2 b2 c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中 c為 斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2 b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a, b, c為三邊的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2,時(shí)，以a, b, c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2 b2 c2,時(shí)，以a , b ,c為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a, b, c及a2 b2 c2

4、只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三 邊長a , b , c滿足a2 c2 b2,那么以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形 6 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2 b2 c2中，a, b, c為正整數(shù)時(shí)，稱a, b, c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等用含字母的代數(shù)式表示 n組勾股數(shù)：丟番圖發(fā)現(xiàn)的：式子 m2 n2,2mn,m2 n2（m n的正整數(shù)

5、）畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的：2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n 1的整數(shù)）柏拉圖發(fā)現(xiàn)的：2n,n2 1,n2 1（n 1的整數(shù)）7 .勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的 證明問題.在使用勾股定理時(shí)， 必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中， 斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造 直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.8 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平

6、方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.9 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決. 題型一：直接考查勾股定理 例 1.在 ABC 中， C 90 .已知AC 6, BC 8.求AB的長已知AB 17, AC 15,求BC的長題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例2.在 ABC 中， ACB 90, AB 5 cm, BC 3 cm, CD AB于 D , CD =已知直角三角形的兩直角邊長之比為

7、3:4,斜邊長為15,則這個(gè)三角形的面積為已知直角三角形的周長為30 cm ,斜邊長為13 cm ,則這個(gè)三角形的面積為例 3.如圖 ABC 中， C 90 ,12 , CD 1.5, BD 2.5 ,求 AC 的長例4.如圖Rt ABC, C 90 AC 3,BC 4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理例5.如圖有兩棵樹，一棵高 8 cm ,另一棵高2 cm,兩樹相距8 cm , 一 只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了 m o題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三邊長為 a, b, c,判定 ABC是否為

8、直角三角形_52 a 1.5, b 2, c 2.5 a -, b 1 , c 243c 8的三角形是什么形狀?例7.三邊長為a , b , c滿足a b 10 , ab 18 ,題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例8.已知 ABC 中，AB 13cm, BC 10cm, BC 邊上的中線 AD 12cm,求證：AB AC。1、在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60。方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到 M島，乙船到P島,兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？2、為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用 30平方米的草皮鋪設(shè)

9、一邊長為 10米的等腰三角形綠地, 請你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長。3、如圖，鐵路上 A、B兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距 25千米，C、D為兩個(gè)村莊（視為兩 個(gè)點(diǎn)），DALAB于A, CBLAB于B, DA=15千米，CB=10千米，現(xiàn)要在鐵路上建設(shè)一E應(yīng)建在個(gè)土特產(chǎn)收購站 E,使得C、D兩村到E的的距離相等，則 距A多少千米處？4、在河L的同側(cè)有兩個(gè)倉庫 A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，現(xiàn)要 在河岸上建一個(gè)貨運(yùn)碼頭，使得兩倉庫到碼頭的路程和最短，問：這個(gè)最短路程是多少？碼頭應(yīng)建在何處？5、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出

10、水面 1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。這個(gè)水池的深 度與這根蘆葦?shù)拈L度分別為多少？典型題訓(xùn)練一.勾股定理1 .在 RtABC中,AC=12 AB=2Q 求 BC的長。2 . ABC中，若 AC=1 BC=13 AB邊上的高 CD=12求 ABC的周長。二.勾股定理的逆定理1 .已知，在 ABC中，/ A, / B, / C的對邊分別是a,b,c, a n2 1,b 2n,c n2 1(n 1),求/ C的度數(shù)。2 .如圖，A,B是公路l(l為東西走向)兩旁的兩個(gè)小村莊， A村到公路l的距離AC=1km B 村到公路l的距離BD=2km B村在A村的南偏東45

11、方向上.(1)求出A, B兩村之間的距離；(2)為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車站巳要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的位置(保留清晰的作圖痕跡)。北東L工i Xlb3 .一艘在海上朝正北方向航行的輪船，在航行240海里時(shí)方向.儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長指揮船左轉(zhuǎn)900,繼續(xù)航行70海里，則%距出發(fā)地250海里，你判斷船轉(zhuǎn)彎后是否沿正西方向航行？最短路徑問題5cm, 3cm 和 1cmi, A 和 B1 .如圖所示是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于是這個(gè)臺階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物. 請你想一想,這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面爬

12、到 B點(diǎn)，最短線路是多少？2.有一圓柱形油罐，如圖所示，要從 A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子, 罐底面半徑是4m,高是7m,兀=3,問梯子最短是多少米?正好到A點(diǎn)的正上方 B點(diǎn)，若油三.折疊問題1.如圖，矩形紙片ABCEDKAB=8cm把矩形紙片沿直線AC折疊點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F,若AF=6.25cm,求AD的長。2 .如圖，折疊長方形的一邊 AD使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，BC=10cm AB=8cm求EC的長。DEC3 .如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm BC=8cm現(xiàn)將直角邊 AC沿著直線AD折疊，使它落在斜邊 AB上，且與AE重合，求CD的長。四.網(wǎng)格問題1.如圖，正方形

13、網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長為 中AB邊上的高。1, ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，求 ABC六.面積問題1.如圖，直線l上有三個(gè)正方形a,b,c,若a,c的邊長分別為6和8,求b的面積。2.如圖所示，在 ABC43, AC=1Q BC=17, CD=8 AD=6,(1)求 BD的長；(2)求 ABC的面積。4 .如圖，四邊形ABC皿邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B 處，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A ,且B C=3,求C西口 AM的長。3.如圖，在 ABC中，/ABC=9Q,分別以BC,AB,AC為邊向外作正方形，面積分別記為Si、S2、S3,若 S2=4, S3=6,則 Si =5 .如