用旋轉(zhuǎn)思想解中考難題

1、旋轉(zhuǎn)變換思想在中考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用圖形與變換是新課程標(biāo)準(zhǔn)明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一,有利于培養(yǎng)學(xué)生實踐與操作能力,形成空間觀念和運動變化意識.本文試就旋轉(zhuǎn)變換思想在中考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用加以說明。、關(guān)于旋轉(zhuǎn)變換知識歸納：1定義:在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度形成新的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換分為全等變換和相似變換。2旋轉(zhuǎn)的三個基本要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角.3基本特征：（1）圖形上的每個點同時都按相同方式轉(zhuǎn)動相同的角度，即任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角都是旋轉(zhuǎn)角，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大

2、小的角度；（2）旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持不動，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；（3）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀（即旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等圖形），只是位置發(fā)生了變化.應(yīng)用情況常見的題型有填空、選擇、作圖、綜合題等。常結(jié)合平移、軸對稱、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函數(shù)等知識進行綜合應(yīng)用。解這類題要求考生具備扎實數(shù)學(xué)的基本功,較強的觀察力,豐富的想象力及綜合分析問題的能力,解題時要切實把握幾何圖形運動過程,并注意運動過程中特殊位置,在"動"中求"靜",在"靜"中探求"動"的一般規(guī)律.抓

3、住圖形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量，哪些是變化的量?，F(xiàn)就07年全國各省市中考試題中出現(xiàn)的一些典型試題加以說明。一、四邊形作旋轉(zhuǎn)（一）正方形作旋轉(zhuǎn)例1（07年臺州市）把正方形繞著點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形，邊與交于點（如圖1）試問線段與線段相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想分析：（1）由已知正方形繞著點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形，所以可得；（2）要證明線段與線段相等只需證明這兩條線段所在的兩個三角形是否全等即可；或證明GHB是否為等腰三角形也可以。解：證法1：連結(jié)，四邊形，都是正方形由題意知，又，證法2：連結(jié)四邊形都是正方形，由題意知例2（2007四川資陽市）如圖2-1，已知P為正方形AB

4、CD的對角線AC上一點(不與A、C重合)，PEBC于點E，PFCD于點F.(1) 求證：BP=DP；(2) 如圖2-2，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；(3) 試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論 .分析：在ABP與ADP中，利用全等可得BP=DP.當(dāng)四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，DP >DC>BP，此時BP=DP不成立. 不是總成立 .連接BE、D

5、F，則BE與DF始終相等. 在圖2-1中，可證四邊形PECF為正方形，同時可證PECPFC . 從而有BE=DF . 略解： 解法一：在ABP與ADP中，利用全等可得BP=DP. 解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP. 不是總成立 . 當(dāng)四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，DP >DC>BP，此時BP=DP不成立. 連接BE、DF，則BE與DF始終相等.在圖2-1中，可證四邊形PECF為正方形， 在BEC與DFC中，可證BECDFC . 從而有BE=DF . （二）梯形作旋轉(zhuǎn)例3（2007湖北孝感）如圖31，在平面直角坐標(biāo)系中，先把梯形ABCD向左平

6、移6個單位長度得到梯形 .（1）請你在平面直角坐標(biāo)系中畫出梯形 ；（2）以點C1為旋轉(zhuǎn)中心，把（1）中畫出的梯形繞點C1順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到梯形 ，請你畫出梯形 分析：根據(jù)平移的兩要素（方向、距離）、旋轉(zhuǎn)三要素準(zhǔn)確畫圖即可。圖31圖32二、三角形作旋轉(zhuǎn)（一）直接運用旋轉(zhuǎn)知識解題例題4（07年泰安市）如圖4，在中，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，點的坐標(biāo)為（0，4）（1）求點的坐標(biāo)；（2）求過，三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中的拋物線上是否存在點，使以為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由分析：（1）本題平面直角坐標(biāo)系中求點的坐標(biāo)可以求出線段

7、AB、OB的長；繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，所以ABAB、OB=OB;而中，所以可求。（2）由，三點坐標(biāo)可直接求出拋物線解析式。（3）因為三點皆可能為直角頂點，所以應(yīng)分三種情況討論。解：（1）過點作垂直于軸，垂足為則四邊形為矩形在中，點的坐標(biāo)為（2）C（0,4）在拋物線上，A（4,0），在拋物線上解之得所求解析式為（3）若以點為直角頂點，由于，點在拋物線上，則點為滿足條件的點若以點為直角頂點，則使為等腰直角三角形的點的坐標(biāo)應(yīng)為或，經(jīng)計算知；此兩點不在拋物線上若以點為直角頂點，則使為等腰直角三角形的點的坐標(biāo)應(yīng)為或，經(jīng)計算知；此兩點也不在拋物線上綜上述在拋物線上只有一點使為等腰直角三角形例題5（07年

8、德陽市）如圖5，把一副三角板如圖51放置，其中，D30°，斜邊AB=6cm，DC7cm，把三角板DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到如圖52這時AB與相交于點，與AB相交于點F（1）求的度數(shù)；（2）求線段的長（3）若把三角形繞著點C順時針再旋轉(zhuǎn)得，這時點B在的內(nèi)部、外部、還是邊上？證明你的判斷分析：（1）考慮外角知識=1+B即可；（2）考慮特殊三角形邊角關(guān)系即可；（3）通過計算得到CB，然后判斷CB與CB大小即可。解：（1），又，（2）連結(jié)，又，又，又，在中，（3）點在內(nèi)部理由如下：設(shè)（或延長線）交于點，在中，又，即，點在內(nèi)部例題6（07年臨沂市）如圖61，已知ABC中，ABB

9、C1，ABC90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。(1)在圖61中，DE交AB于M，DF交BC于N。證明DMDN；在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖62的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖63的位置，延長FD

10、交BC于N，延長ED交AB于M，DMDN是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明。分析：本題三個問題只要證明BMDCND即可。解：證明:連接DB.在RtABC中，ABBC,ADDC.DBDCAD,BDC90°，方法一:ABDC45°.MDBBDNCDNBDN90°,MDBNDC,BMDCND,DMDN. 方法二:ADBN45°.ADMMDBBDNMDB90°,ADMBDN,ADMBDN,DMDN 四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化，由知BMDCND,DMDN仍然成立,證明:連結(jié)DB.在RtABC中，ABBC,ADDC.DBDC,BDC90°，D

11、CBDBC45°,DBMDCN135°.NDCCDMBDMCDM90°,CDNBDM,BMDCND,DMDN DMDN.（二）平移與旋轉(zhuǎn)知識相結(jié)合例7如圖71，是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（點C與C重合）（1）操作：固定ABC，將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到CDE，連結(jié)AD、BE，CE的延長線交AB于點F，如圖72探究：在圖72中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論；（2）操作：將圖72中的CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位長的速度平移，平移后的CDE設(shè)為PQR，如圖73探究：設(shè)PQR移動

12、的時間為xs，PQR與AFC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（3）操作：固定圖71中CDE，將ABC移動，使頂點C落在CE的中點，邊BC交DE于點M，邊A C與DE交于點N，設(shè)A C C=（30°<<90°），如圖74探究：在圖74中，線段CN·EM的值是否隨的變化而變化？如果沒有變化，請求出CN·EM的值；如果有變化，請說明理由（07河北省） 分析：（1）CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到CDE，即可知BCEACD；（2）由特殊角QTC=TCQ=30°可知QT=CQ=x所以

13、QSC面積能用x表示。PQR與AFC重疊部分的面積為y應(yīng)為PQR的面積與QSC面積之差。（3）線段CN、EM在 EM C與CCN中，只需這兩個三角形相似即可。解：（1）BE=AD證明：ABC與DCE都是等邊三角形，ACB =DCE=60°CA=CB，CE=CD，BCE =ACDBCEACDBE = AD（也可以用旋轉(zhuǎn)的方法證明BE = AD）；（2）設(shè)RQ與AC交于點T，RP與AC交于點S，在QTC中，TCQ=30°，RQT=60°，QTC=30°QTC =TCQQT=CQ=xRT=3xRTS +R=90°，RST =90°y=（0x

14、3）；（3）CN·EM不變證明：AC C=60°，MC E+NCC=120°CN C +NCC=120°，MC E=CN C E= C，EM CCCNCN·EM= CC·EC=（三）平移與旋轉(zhuǎn)、軸對稱三種變換相結(jié)合例8（2007浙江義烏）如圖81，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖82），量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖83的形狀，但點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合（在圖83至圖86中統(tǒng)一用F表示）小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問

15、題，請你幫助解決。（1）將圖83中的ABF沿BD向右平移到圖84的位置，使點B與點F 重合，請求出平移的距離；（2）將圖83中的ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖85的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度；（3）將圖83中的ABF沿直線AF翻折到圖86的位置，AB1交DE于點H，請證明：AHDH分析：（1）圖形平移的距離就是線段BC的長；（2）ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后知FAB1FA 30°,可知GFD是直角三角形；（3）只需證明AH、DH所在的兩個三角形全等即可。解：（1）圖形平移的距離就是線段BC的長又在RtABC中，斜邊長為10cm，B

16、AC=30，BC=5cm，平移的距離為5cm（2）FA30°，D=30°在RtEFD中，ED=10 cm，F(xiàn)D=，F(xiàn)Gcm。（3）AHE與中，F(xiàn)DFA，所以EFFBFB1，即AED又，（AAS），AH=DH（四）旋轉(zhuǎn)相似變換例題9（07年南京市）在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為，并且原多邊形上的任一點，它的對應(yīng)點在線段或其延長線上；接著將所得多邊形以點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為，其中點叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，叫做相似比，叫做旋轉(zhuǎn)角（1）填空：如圖91，將以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心，

17、放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為A（）；如圖92，是邊長為的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，則段的長為；（2）如圖93，分別以銳角三角形的三邊，為邊向外作正方形，點，分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用與，與之間的關(guān)系，運用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段與之間的關(guān)系分析：理解旋轉(zhuǎn)相似變換的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵。 解：解：（1）2， 60°；2；（2）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時，線段變?yōu)榫€段；經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時，線段變?yōu)榫€段 AO，三、角作旋轉(zhuǎn)例10（07年佳木斯）已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，AB

18、BC，ABC120°，MBN=60°，MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)當(dāng)MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AECF時（如圖101），易證AE+CFEF當(dāng)MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AECF時，在圖102和圖93這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明 分析：判斷線段AE+CFEF是否成立可用用截長或補短法進行探究。解：圖102成立，圖103不成立證明圖102如圖104。延長DC至點K，使CKAK，連接BK，則，即圖103不成立，的關(guān)系是 四、直線作旋轉(zhuǎn)例11（

19、2007江西?。┰谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中有6個點：A（1,1）,B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（-2，-3），F(xiàn)（0，-4）（1）畫出的外接圓P，并指出點D與P的位置關(guān)系；（2）若將直線沿軸向上平移，當(dāng)它經(jīng)過點D時，設(shè)此時的直線為判斷直線與P的位置關(guān)系，并說明理由；再將直線繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它經(jīng)過點C時，設(shè)此時的直線為求直線與P的劣弧CD圍成的圖形的面積（結(jié)果保留）分析：（1）判斷點D與P的位置關(guān)系，只需求出PD的長與P的半徑進行比較即可；（2）判斷直線與P的位置關(guān)系，首先看點D是否在P上，若在P上則只需；若不在P上則過點P作PM證明PM=即可；（3）所求面積為扇

20、形DPC與三角形DPC的面積之差。解：（1）所畫P如圖所示，由圖可知P的半徑為，而點D在P上（2）直線向上平移1個單位經(jīng)過點，且經(jīng)過點，則，直線與P相切，直線與劣弧圍成的圖形的面積為 五、線段作旋轉(zhuǎn)例題12（07年樂山市）如圖12，在直角坐標(biāo)系中，已知點的坐標(biāo)為，將線段按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為的2倍，得到線段；又將線段按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為的2倍，得到線段；如此下去，得到線段，（為正整數(shù)）（1）求點的坐標(biāo)；（2）求的面積；（3）我們規(guī)定：把點（）的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都取絕對值后得到的新坐標(biāo)稱之為點的“絕對坐標(biāo)”根據(jù)圖中點的分布規(guī)律，請你猜想

21、點的“絕對坐標(biāo)”，并寫出來分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度可知在軸的負(fù)半軸，點到坐標(biāo)原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍；所以可求此點坐標(biāo)；（2）由可求的面積；（3）旋轉(zhuǎn)8次之后回到軸正半軸，在這8次中，點分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或軸或軸上，但各點絕對坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，所以要分點P在象限的平分線上、軸上、軸上三種情況討論。解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點落在軸的負(fù)半軸，而點到坐標(biāo)原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍，故其坐標(biāo)為(0,-64)（2）由已知可得，設(shè)，則又，（3）由題意知，旋轉(zhuǎn)次之后回到軸正半軸，在這次中，點分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或軸或軸上，但各點絕對坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均

22、為非負(fù)數(shù)，因此，點的坐標(biāo)可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為當(dāng)或時（其中為自然數(shù)），點落在軸上，此時，點的絕對坐標(biāo)為；當(dāng)或或或時（其中為自然數(shù)），點落在各象限的平分線上，此時，點的絕對坐標(biāo)為當(dāng)或時（其中為自然數(shù)），點落在軸上，此時，點的絕對坐標(biāo)為旋轉(zhuǎn)法應(yīng)用五例 旋轉(zhuǎn)法，是將圖形旋轉(zhuǎn)一個角度后使得分散的互不聯(lián)系的條件有了聯(lián)系，便于探索出解題的途徑。 例1. 如圖1，點P是等邊ABC內(nèi)一點，且PA3，PB5，PC4，求APC的度數(shù)。圖1 分析：將APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至ADB處，連接DP，得等邊ADP。 所以 DP3，ADP60° 又因為 DBPC4，PB5， 而 即BDP中

23、，有 所以 BDP90° 所以 ADBADPBDP 60°90°150° 所以 APCADB150° 例2. 如圖2，在ABC中，ABAC，BAC90°，P是ABC內(nèi)一點，且PA4，PB6，PC2，求APC的度數(shù)。圖2 分析 將APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°到ADB處，連接DP，得等腰直角三角形ADP 所以 又因為 DB2，PB6 而 即BDP中，有 所以 BDP90° 所以 ADBADPBDP 45°90°135° 所以 APCADB135° 例3. 如圖3，正方形AB

24、CD中，M、N分別在AD、DC邊上，且MDN的周長等于正方形周長的一半，求MBN的度數(shù)。圖3 分析：將直角ABM繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至CBE處， 則 BEBM， MBE90°，N、C、E共線， （想一想，為什么？） 所以 NENCCE NCAM， 由題意得 AMCNMN， 所以 NEMN 又因為 BEBM，BNBN， 所以 BMNBEN 所以 MBNNBE 所以 例4. 如圖4，四邊形ABCD中，ABAD，BADBCD90°，AHBC于H，若AH1，求四邊形ABCD的面積。圖4 分析：本題采用旋轉(zhuǎn)補形法，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形。利用條件ABAD，將直角AB

25、H繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至ADE處，由四邊形內(nèi)角和定理得BADC180°， 所以 E、D、C共線，得正方形AHCE （請讀者自證） 所以 。 例5. 如圖5，P是正方形ABCD內(nèi)一點，且PA：PB：PC1：2：3，求APB的度數(shù)。圖5 分析 將BPC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到BEA處，連接EP，得等腰直角BEP， 設(shè) PAx，PB2x，PC3x 則 EPx， BPE45° 又 AEPC3x 而 即在AEP中， 所以 APE90° 所以 APBAPEBPE 90°45°135° 旋轉(zhuǎn)法解題是幾何常用重要解題

26、方法之一，它可使有關(guān)條件相對集中。等邊三角形、正方形、等腰直角三角形的特殊結(jié)構(gòu)，為運用旋轉(zhuǎn)法解題提供了廣闊的天地如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CFAD（1）請證明：E是OB的中點；（2）若AB=8，求CD的長 （1）證明：連接AC，如圖CFAD，AECD且CF，AE過圓心O， AC = AD ， AC = CD ，ACD是等邊三角形，F(xiàn)CD=30°，在RtCOE中，OE=1 /2 OC，OE=1 /2 OB，點E為OB的中點；（2）解：在RtOCE中，AB=8，OC=1 2 AB=4，又BE=OE，OE=2，CE= OC2-OE2 = 16-4 = ，CD=2CE=高致病性禽流感是比SARS病毒傳染速度更快的傳染?。?） 某養(yǎng)殖場有8萬只雞，假設(shè)有1只雞得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天將新增病雞10只，到第三天又將新增病雞100只，以后每天新增病雞數(shù)依次類推，請問：到第四天，共有多少只雞得了禽流感病？到第幾天，該養(yǎng)殖場所有雞都會被感染？（2） 為防止禽流感蔓延，政府規(guī)定：離疫點3千米范圍內(nèi)為撲殺區(qū)，所有禽類全部撲殺；離疫點3至5千米范圍內(nèi)為免疫區(qū)，所有的禽類強制免疫；同時，對撲殺區(qū)和免疫區(qū)內(nèi)的村莊、道