《面積問題之”水平寬、鉛錘高“模型的實(shí)戰(zhàn)分析》

1、勤奮是一種品質(zhì)，優(yōu)秀是一種習(xí)慣三角形面積問題之“寬高公式”的實(shí)戰(zhàn)分析高郵市贊化學(xué)校段廣猛三角形面積問題之“寬高公式”的兩種證明方法一文中，主要介紹了三種情形下 “寬高公式”模型的證明.1如圖1、圖2、圖3所示，S ABC _ OC AD ,其中OC表示日C兩點(diǎn)在水平方 向2上的距離，簡(jiǎn)稱這個(gè)三角形的“水平寬”；而AD表示點(diǎn)A到邊BC在豎直方向上的距離，I簡(jiǎn)稱這個(gè)三角形的“鉛錘高”.于是三角形的面積S=2 水平寬 鉛錘高，這個(gè)公式不妨稱為“寬高公式”.細(xì)心觀察上面三種情形，操作方式都是過點(diǎn)A作平行于y軸的直線交邊BC所在的直線于點(diǎn)D,則AD就是“鉛錘高”；而 B、C兩點(diǎn)之間的水平距離，即線段OC

2、就是“水平寬”.在實(shí)際應(yīng)用中，筆者不建議學(xué)生固化思維，強(qiáng)記這里的結(jié)論而直接使用.一方面，這個(gè)公式課本上并沒有直接出現(xiàn)，中考時(shí)能不能直接使用值得商榷；另一方面，對(duì)于圖2的 結(jié)論，大部分學(xué)生普遍可以接受，但是若是不知道這個(gè)公式推導(dǎo)的來龍去脈而強(qiáng)行直接使 用，圖1及圖3的結(jié)論，多數(shù)學(xué)生是很難理解原理而導(dǎo)致不能正確使用更何況，這三種情形下的推導(dǎo)過程也是相輔相成、思想統(tǒng)一的，都采用了 “改斜歸正”及“割補(bǔ)法”的思想，而這兩種思想方法又是極其重要的解題原理，需要同學(xué)們認(rèn)真 深刻體會(huì)的，所以筆者強(qiáng)烈建議學(xué)生體會(huì)這里的推導(dǎo)原理，以達(dá)到靈活使用的目的.其實(shí)，掌握了原理，怎么割補(bǔ)三角形都可以，只要過三角形的三個(gè)頂

3、點(diǎn)中的任意一點(diǎn)作平行 于坐標(biāo)軸的直線都可以實(shí)現(xiàn)面積處理，僅僅是繁簡(jiǎn)程度不一而已，下文會(huì)一一提及.如圖4、圖5、圖6所示，S abc _1 BD AE ,其中BD表示點(diǎn)B到邊AC在水平方2向上的距離，簡(jiǎn)稱這個(gè)三角形的“水平寬”；而AE表示A、C兩點(diǎn)在豎直方向上的距離，簡(jiǎn)稱這個(gè)三角形的“鉛錘高”.于是依然有三角形的面積S=2 水平寬鉛錘高.這三張圖的操作方式都是過點(diǎn)B作平行于x軸的直線交邊 AC所在的直線于點(diǎn) D,則BD就是“水平寬”；而 A、C兩點(diǎn)之間的豎直距離，即線段AE就是“鉛錘高”.1 A實(shí)際上，過點(diǎn)C作平行于坐標(biāo)軸的直線， 無論是平行于x軸，還是平行于y軸，最終都可 以實(shí)現(xiàn)對(duì)于此三角形的

4、面積處理 ，有時(shí)是“害 即“面積加法”；有時(shí)是“補(bǔ)”，即“面積減法”, 由此可以看出，不用強(qiáng)記公式，只要過三角形的 三個(gè)頂點(diǎn)中的任意一點(diǎn)作平行于坐標(biāo)軸的直線 ， 無論是平行于x軸，還是平行于y軸，都可以實(shí) 現(xiàn)面積處理.圖7提供了一種方式，12 - CD AE.ABC那么問題來了，割補(bǔ)方式千變?nèi)f化，而且好像都可行，在解題實(shí)戰(zhàn)中，難道就隨意割補(bǔ)嗎？非也！理論上是都可行，但計(jì)算量絕不相當(dāng)！我們知道，“在變化中抓不變量”也是一種重要的思想方法，“以不變應(yīng)萬變”.此時(shí)再結(jié)合這個(gè)解題策略，就可以使計(jì)算過程“如履平地”.在三角形三個(gè)頂點(diǎn)中，一般情況下會(huì)有兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，抓住這兩個(gè)定點(diǎn)就是關(guān) 鍵所在.如圖

5、8或圖9所示，點(diǎn)B和點(diǎn)C是兩個(gè)定點(diǎn)，而點(diǎn) A是一個(gè)動(dòng)點(diǎn).這時(shí)，我們就應(yīng) 該過動(dòng)點(diǎn)A作平行于y軸或者平行于x軸的直線交直線 BC于點(diǎn)D,利用B、C兩個(gè)定點(diǎn)求 出直線BC的解析式，再設(shè)出動(dòng)點(diǎn) A的坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)代入直線 BC的解析式，表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而容易表示出線段 AD.在圖9中，SABC S ACD S ABD =_ 1AD CF2! L1!A AD BE 2 AD (CF BE) 2 AD (OE BE) 2 AD OB,因?yàn)?BC都是定點(diǎn)，故 OB是常值，而且直線 BC的解析式易求，進(jìn)而 AD的長(zhǎng)度好表示.若是你“不信邪”，偏偏如圖10所示那樣“割補(bǔ)”，我想說“此路依然行得通

6、”，但與前面的兩種方法相比，一煩在“水平寬” BD上，需要求出直線 AC的解析式，理論上肯 定行得通，這條直線的解析式會(huì)因?yàn)辄c(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)而導(dǎo)致含有參數(shù)，計(jì)算量較大；二煩在“鉛錘高” AE上，也是因?yàn)辄c(diǎn) A是動(dòng)點(diǎn)而導(dǎo)致含有參數(shù).“罪魁禍?zhǔn)住倍荚趧?dòng)點(diǎn)A上，而“元兇”就是因?yàn)橐婚_始過定點(diǎn)B進(jìn)行了 “割補(bǔ)”.需要特別說明的是，這種方法并非是錯(cuò)誤的，僅僅是計(jì)算量較大些，其操作依然是可行的下面以2016年蘇州中考?jí)狠S題第(2)問為例具體談?wù)劇皩捀吖健钡氖褂?.(2016? 蘇州)如圖11,直線l : y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于 A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2- 2ax+a+4 (av 0)經(jīng)過點(diǎn)B

7、. (1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；第5頁(yè)共7頁(yè)勤奮是一種品質(zhì)，優(yōu)秀是一種習(xí)慣(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn) M在第一象限 內(nèi)，連接AM BM設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 m, ABM的面積為S,求S 與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出 S的最大值.對(duì)于第(1)小問，易知該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-x2+2x+3;對(duì)于第(2)小問，這是一個(gè)“兩定一動(dòng)型”三角形面積 問題，“死咬” A、B兩定點(diǎn)“不松口”，過動(dòng)點(diǎn) M作平行于坐標(biāo)軸的直線進(jìn)行“割補(bǔ)”即可，這里提供兩種方式方式一：如圖12所示，過動(dòng)點(diǎn) M作平行于y軸的直線交邊 AB1所在的直線于點(diǎn) N,則S ABM S MNB S MNA =IMN OG J

8、 2_MN AG MN (OG AG) MN OA.設(shè)M (t , -t 2+2t+3 ),其中t的取值范圍是 0 vt <3,則N (t ,-3t+3 ),從而 MN： yMyN= (-t 2+2t+3 ) - (-3t+3 ) =-t 2+5t,而OA=1 故2228S= (-t 2+5t ) =-t (t-5 ),當(dāng) t=時(shí)，S 有最后直為.值得一提的是，上面的操作過程可總結(jié)如下：第一步：抓住兩個(gè)定點(diǎn) A和B,它們之間在水平方向上的距離OA作為4ABM的“水平寬”；第二步：過動(dòng)點(diǎn) M作平行于y軸的直線交邊 AB所在的直線于點(diǎn)N,則MN乍為4ABM的“鉛錘高”；第三步：將面積“往 豎

9、直線MN±靠"，通過面積“減法”，2得到所求三角形的面積為S ABM MN OA.方式二：如圖13所示，過動(dòng)點(diǎn) M作平行于x軸 的直線交邊AB所在的直線于點(diǎn)N交y _LJ_22第#頁(yè)共7頁(yè)勤奮是一種品質(zhì)，優(yōu)秀是一種習(xí)慣軸于點(diǎn)G,則S ABM S MNBS MNA=1MNBG MN OG1 MN (BG OG)2MN OB .設(shè)M (t , -t 2+2t+3 ),其中t的取值范圍是 0vtv3,則t2 _2t 2 t2 2t _t2 5tN(，-1 +2t+3 )，從而 MN= XMXN t- =, 333而 OB=3,故 S=_1_t2 _5t 3=- _1 t (t-5

10、 )，當(dāng) t= _5 時(shí)，S有2 32225最大值為.上面的操作過程可總結(jié)如下:第一步：抓住兩個(gè)定點(diǎn) A和B,它們之間在豎直方向上的距離 OB作為4ABM的“鉛錘 高”；第二步：過動(dòng)點(diǎn) M作平行于x軸的直線交邊 AB所在的直線于點(diǎn) N,則MN乍為4ABM 的“水平寬”；第三步：將面積“往水平線 MN±靠"，通過面積“加法”，得到所求三角形的面積為_S ABM MN OB .至此，這個(gè)“兩定兩動(dòng)型”三角形面積問題，利用“寬高公式”得到了比較完美的解 答.當(dāng)然，關(guān)于面積處理，絕不僅僅只有“寬高公式”，還有很多其他的路可走，如“框圖 法”（亦可稱“矩形大法”）、其他的割補(bǔ)法（如上

11、題中連接 OM&是一種很好的分割處理 手段）等等，但大多體現(xiàn)出來的思想方法都是“大同小異”的，即想方設(shè)法將所求“斜面 積” “改斜歸正”，使問題得以解決.后面若有機(jī)會(huì)，會(huì)專門成文，敬請(qǐng)期待！通過前面的模型證明及本文的實(shí)戰(zhàn)分析，筆者認(rèn)為根本不用記憶所謂的“寬高公式”，只要在處理面積的問題中，狠抓不動(dòng)點(diǎn)不放手，過動(dòng)點(diǎn)作平行于坐標(biāo)軸的直線交 這不動(dòng)邊所在的直線于一點(diǎn)，將三角形的面積進(jìn)行“害或"補(bǔ)”，即面積“加”或“減”，然后平移其中一條高線，即可轉(zhuǎn)化為高線的“加”或“減”，就能夠得出所謂的 “寬高公式”！這道蘇州中考真題中有一個(gè)限制條件“點(diǎn)M在第一象限內(nèi)”，很明顯是為了簡(jiǎn)化起見.若是將這個(gè)條件去掉，即“點(diǎn)M是拋物線上任意一動(dòng)點(diǎn)”，那么 ABM的面積為S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式又如何求解呢？我想其他的方法就未必恰當(dāng)了，這時(shí)“寬高法”的作用會(huì)更 明顯.圖14及圖15給出了兩種情形，前者可看出此時(shí)方法過程跟原題一模一樣；而后者可 看出唯一的區(qū)別就是點(diǎn) N位于了點(diǎn)M的上方，此時(shí) MN= yN yM,其他都沒變化也就是這時(shí)候要分類了，分類的標(biāo)準(zhǔn)就是M N “誰高誰低”，可分三類，也可分兩類.甚至于，結(jié)合本人作品巧用絕對(duì)值避