橢圓的定義與標準方程(優(yōu)質(zhì)課比賽)（課堂PPT）

1、太太 陽陽 系系2345672.2.1橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程普寧僑中普寧僑中 鄭慶宏鄭慶宏8嘗試實驗，形成概念嘗試實驗，形成概念 1取一條細繩；取一條細繩； 2把它的兩端固定在板把它的兩端固定在板上的兩點上的兩點F1、F2； 3用鉛筆尖（用鉛筆尖（M）把細）把細繩拉緊，在板上慢慢移繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的圖形。動看看畫出的圖形。F1F2M觀察做圖過程：觀察做圖過程：1繩長應當繩長應當大于大于F1、F2之間的距離。之間的距離。2由于繩長固定，所以由于繩長固定，所以 M 到到兩個定點的距離和也固定。兩個定點的距離和也固定。動手畫：動手畫：91011 1. 改變兩圖釘之間的距離，使

2、其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 12 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 13F1F2M1 1、橢圓的定義、橢圓的定義 如果設軌跡上任一點如果設軌跡上任一點M到兩定點到兩定點的距離和為的距離和為常數(shù)常數(shù)2a，兩定點之間的距離為，兩定點之間的距離為2c，則橢圓定義還，則橢圓定義還可以用集合語言表示為：可以用集合語言表示

3、為：P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）14（1 1）平面曲線；）平面曲線；（2 2）到兩定點）到兩定點F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離和等于定長；的距離和等于定長；（3 3）定長）定長|F|F1 1F F2 2| |。反思：反思：橢圓上的點要滿足怎樣的幾何條件？橢圓上的點要滿足怎樣的幾何條件？15 探討建立平面直角坐標系的方案探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy(對稱、對稱、“簡簡潔潔”)16xF1F2( (x , y) )0y設P (x, y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距|F1F2|=2c(c0)，則F1、

4、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0) . P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a2c) （問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程17222222bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 222222222242

5、2yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項，再平方移項，再平方橢圓的標準方程18剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如何推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程呢？（問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222軸焦點在).0(12222babyax19oyx 1F 2F),(yxP oyx 2F 1F ),(yxP12222 byax1

6、2222 bxay如何根據(jù)標準方程判斷焦點在哪個坐標軸上？如何根據(jù)標準方程判斷焦點在哪個坐標軸上？ 20OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標準方程的特點：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1。（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。的值。反反之求出之求出a.b.c的值可寫出橢圓

7、的標準方程。的值可寫出橢圓的標準方程。（4）橢圓的標準方程中，）橢圓的標準方程中，x2與與y2的分母哪一個大，則焦點的分母哪一個大，則焦點就就在在哪一哪一個軸上。個軸上。并且哪個大哪個就是并且哪個大哪個就是a2。212222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上。分母哪個大，焦點就在哪個軸上。222=+abc平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡。）的點的軌跡。12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc標準方程標準方程不不 同同 點點相相 同同 點點圖圖 形形焦點

8、坐標焦點坐標定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系焦點位置的判斷焦點位置的判斷 再認識！再認識！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO2222221.153xy ，則a ，b ；22222.146xy ，則a ，b ；5346口答：則a ，b ；則a ，b 37 169. 322yx6 147. 422yx223快速練習：快速練習：1.判定下列橢圓的判定下列橢圓的焦點在那條軸上焦點在那條軸上?并指出焦點坐并指出焦點坐標。標。11625) 1 (22yx答：在答：在 X 軸。（軸。（-3，0）和（）和（3，0）1169144)2(22yx答：在答：在 y 軸。（軸。（0，-5）和（）和（0

9、，5）判斷橢圓的焦點在哪個軸上的準則：判斷橢圓的焦點在哪個軸上的準則： 哪個分母大哪個分母大,焦點就在哪條軸上焦點就在哪條軸上,大的分母就是大的分母就是a2.24變式一變式一:將將上題上題焦點改為焦點改為(0，-4)、(0，4)， 結(jié)果如何？結(jié)果如何？192522xy將將上題上題改為改為兩個焦點的距離為兩個焦點的距離為8 8，橢圓上一點橢圓上一點P P到兩到兩焦點的距離和等于焦點的距離和等于1010，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？192522yx192522xy已知兩個焦點的坐標分別是已知兩個焦點的坐標分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點，橢圓上一點P到到兩焦點距離的和等于兩焦點距離的和等于10

10、；2212 59xy2、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程寫出適合下列條件的橢圓的標準方程當焦點在當焦點在X X軸時，方程為：軸時，方程為：當焦點在當焦點在Y Y軸時，方程為：軸時，方程為：25分組練習：分組練習：求橢圓的焦點坐標與焦距求橢圓的焦點坐標與焦距1615) 1 (22yx答：焦點（答：焦點（-3，0）（）（3，0） 焦距焦距 2c=6116925)2(22yx答：焦點（答：焦點（0，-12）（）（0，12） 焦距焦距 2c=2426例例1.求下列橢圓的焦點坐標，以及橢圓上每一點到兩焦點距離求下列橢圓的焦點坐標，以及橢圓上每一點到兩焦點距離的和。的和。14) 1 (22 yx154)2

11、(22yx434)3(22 yx解：橢圓方程具有形式12222byax其中1, 2ba因此31422bac兩焦點坐標為)0 , 3(),0 , 3(橢圓上每一點到兩焦點的距離之和為42 a11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx練習練習1.下列方程哪些表示橢圓？下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點在何軸？則判定其焦點在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點坐標，寫出焦點坐標.?28 兩個焦點分別是 (-2，0)， (2，0)，且過點P1F2F),62 , 3(例例2、求適合

12、下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：法一: c=2法二: c=2 設橢圓標準方程為:12222byax2a=P +P 2F1F29寫出適合下列條件的橢圓的標準方程寫出適合下列條件的橢圓的標準方程 兩個焦點的坐標是（兩個焦點的坐標是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且經(jīng)），并且經(jīng) 過點過點P解解： 因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在y軸上，軸上， 設它的標準方程為設它的標準方程為 )0(12222babxay c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又橢圓經(jīng)過點橢圓經(jīng)過點P2523， 1)()(22232225ba聯(lián)立可求得：聯(lián)立可求得：6,102

13、2ba橢圓的橢圓的標準方程為標準方程為 161022xy(法一法一)xyF1F2P2523，30(法二法二) 因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的軸上，所以設它的 標準方程為標準方程為 由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa又所以所求橢圓的標準方程為所以所求橢圓的標準方程為.161022xy)0(12222babxay 求橢圓的標準方程的步驟：求橢圓的標準方程的步驟：（1 1）首先要判斷焦點位置，設出標準方程）首先要判斷焦點位置，設出標準方程（先（先定位）（2 2）根據(jù)橢圓定義或

14、待定系數(shù)法求）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a a, ,b b （后（后定量）1.求適合下列條件的橢圓方程1.a a4 4，b b3 3，焦點在，焦點在x x軸上；軸上；2.b=1， ，焦點在y軸上15c3 3、若橢圓滿足、若橢圓滿足: a: a5 , c5 , c3 , 3 , 求它的標準方程。求它的標準方程。32,10|21 PFPF如圖:求滿足下列條件的橢圓方程解：橢圓具有標準方程12222byax其中102 , 82ac因此91625222cab, 5, 4ac所求方程為192522yx例3. 求出剛才在實驗中畫出的橢圓的標準方程8|21FF33 如圖如圖,在圓在圓 上任取一上任取一點點P

15、，過點，過點P作作x軸的垂線段軸的垂線段PD，D為為垂足當點垂足當點P在圓上運動時在圓上運動時,線段線段PD的的中點中點M的軌跡是什么？為什么？的軌跡是什么？為什么？224xyyxo解：設所得曲線上任一點的坐標為解：設所得曲線上任一點的坐標為（x，y）, ,圓圓 上的對應點的坐標為（上的對應點的坐標為（x，y），），由題意可得：由題意可得：224xy2xxyy 因為因為即即 為所求軌跡方程為所求軌跡方程所以所以224xy2244xy2214xy34如圖如圖,設點，的坐標分設點，的坐標分別為別為(-5,0)，(5,0)直線直線AM，BM相交于點，且它們的斜率之積是相交于點，且它們的斜率之積是，求

16、點的軌跡方程，求點的軌跡方程49xyOABM解：設點的坐標為解：設點的坐標為(x,y) , 因為點的坐標為因為點的坐標為(-5,0) ,所以，直線所以，直線AM的斜率的斜率(5);5AMykxx 同理，直線同理，直線BM的斜率的斜率4(5)559yyxxx 由已知有由已知有221(5).100259xyx 化簡化簡,得點得點M的軌跡方程為的軌跡方程為(5);5BMykxx練習練習3 3. .已知方程已知方程 表示焦點在表示焦點在x x軸軸上的橢圓，則上的橢圓，則m的取值范圍是的取值范圍是 . .22xy+=14m(0,4) 變變1 1：已知方程已知方程 表示焦點在表示焦點在y y軸上的橢圓，則軸上的橢圓，則m的取值的取值范圍是范圍是 . .2 22 2x xy y+ += = 1 1m m - - 1 13 3 - - m m(1,2)36求橢圓標準方程的方法求橢圓標準方程的方法一種方法：一種方法：二類方程二類方程:三個意識：三個意識：求美意識，求美意識， 求簡意識。求簡意識。 12222byax0 12222ba