高二數(shù)學下冊 7.5 曲線和方程教案人教版

1、課 題：7.5曲線和方程（一）曲線和方程教學目標：1了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系，領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念及其關系，并能作簡單的判斷與推理 2在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，以及坐標法、待定系數(shù)法等常用的數(shù)學方法3培養(yǎng)學生實事求是、合情推理、合作交流及獨立思考等良好的個性品質(zhì)，以及主動參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神教學重點：理解曲線與方程的有關概念與相互聯(lián)系教學難點：定義中規(guī)定兩個關系（純粹性和完備性）授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教材分析：曲線屬于“形”的范疇，方程則

2、屬于“數(shù)”的范疇，它們通過直角坐標系而聯(lián)系在一起，“曲線和方程”這節(jié)教材，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一，為“依形判數(shù)”和“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實的基礎這正體現(xiàn)了幾何的基本思想，對解析幾何教學有著深遠的影響曲線與方程的相互轉(zhuǎn)化，是數(shù)學方法論上的一次飛躍本節(jié)教材中把曲線看成是動點的軌跡，蘊涵了用運動的觀點看問題的思想方法；把曲線看成方程的幾何表示，方程看作曲線的代數(shù)反映，又包含了對應與轉(zhuǎn)化的思想方法由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容，因而學生用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)時，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析幾何學習的入門之徑求曲線的方程的問題，也貫穿了這

3、一章的始終，所以應該認識到，本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點內(nèi)容之一根據(jù)大綱要求，本節(jié)內(nèi)容分為3個課時進行教學，具體的課時分配是：第一課時講解“曲線與方程”與“方程與曲線”的概念及其關系；第二課時講解求曲線方程的一般方法，第三課時為習題課，通過練習來總結(jié)、鞏固和深化本節(jié)知識，并解決與曲線交點有關的問題?？紤]到本節(jié)內(nèi)容的基礎性和靈活性，可以對課本例題和練習作適當?shù)恼{(diào)整，或進行變式訓練針對第一課時概念強、思維量大、例題習題不多的特點，整節(jié)課以啟發(fā)學生觀察思考、分析討論為主。當學生觀察例題回答不出“為什么”時，可以舉幾個點的坐標作檢驗，這就是“從特殊到一般”的方法；或引導學生看圖，這就是“從具體（直觀）到抽

4、象”的方法；或引導學生回到最簡單的情形，這就是以簡馭繁；或引導學生看（舉）反例，這就是正反對比，總之，要使啟發(fā)方法符合學生的認知規(guī)律教學過程：一、復習引入： 溫故知新，揭示課題問題： (1)求如圖所示的AB的垂直平分線的方程；(2)畫出方程和方程所表示的曲線觀察、思考，求得(1)的方程為，(2)題畫圖如下 講解：第(1)題是從曲線到方程，曲線C(即AB的垂直平分線)點的坐標(x,y)方程f(x,y)=0 第(2)題是從方程到曲線，即方程f(x,y)=0 解(x,y)(即點的坐標)曲線C教師在此基礎上揭示課題，并提出下面的問題讓學生思考問題:方程f(x,y)=0的解與曲線C上的點的坐標，應具備怎

5、樣的關系，才叫方程的曲線，曲線的方程？設計意圖：通過復習以前的知識來引入新課，然后提出問題讓學生思考，創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生學習的欲望和要求二、講解新課：1. 運用反例，揭示內(nèi)涵由上面得出：“曲線上的點的坐標都是方程的解”和“以方程的解為坐標的點都在曲線上”后，不急于拋物線定義，而是讓學生判斷辨別問題：下列方程表示如圖所示的直線C，對嗎？為什么？（1）;（2）;（3）|x|-y=0.上題供學生思考，口答方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲線C的方程第（1）題中曲線C上的點不全都是方程的解，如點(-1,-1)等，即不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”這一結(jié)論；第(2)題中，盡管“曲線C上的坐

6、標都是方程的解”，但以方程的解為坐標的點不全在曲線C上，如點(2，-2)等，即不符合“以方程的解為坐標的點都在曲線上”這一結(jié)論；第(3)題中，類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”，“以方程的解為坐標的點都在曲線上”事實上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲線應該是下圖的三種情況：上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例子，又觀察、分析了以上問題中所出現(xiàn)的方程和曲線間所建立的不完整的對應關系 2討論歸納，得出定義討論題：在下定義時，針對（1） 中“曲線上有的點的坐標不是方程的解”以及（2）中“以方程的解為坐標的點不在曲線上”的情況，對“曲線的方程應作何

7、規(guī)定？學生口答，老師順其自然地給出定義這樣，我們可以對“曲線的方程”和“方程的曲線”下這樣的定義：在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（純粹性）(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（完備性）那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線設計意圖：上述概念是本課的重點和難點，讓學生自己通過討論歸納出來，老師再說清楚這兩大性質(zhì)(純粹性和完備性)的含義，使學生初步理解這個概念3變換表達，強化理解曲線可以看作是由點組成的集合，記作C；一個關于x,y的二元方程的解可以作為點的坐標，因而二元方程的解也描述了一個點集，

8、記作F 請大家思考：如何用集合C和點集F間的關系來表達“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個關系，進而重新表述以上定義關系(1)指集合C是點集F的子集，關系(2)指點集F是點集合C的子集這樣根據(jù)集合的性質(zhì)，可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”與“方程的曲線”，即： 設計意圖：通過集合的表述，使學生對曲線和方程的關系的理解得到加深和強化，在記憶中上也趨于簡化三、講解范例：例1 解答下列問題，且說出各依據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的哪一個關系？(1)點是否在方程為的圓上？(2)已知方程為的圓過點，求m的值學生練習，口答；教師糾錯、小結(jié)依據(jù)關系(1)，可知點在圓上，不在圓上依據(jù)關系(2)

9、，求得 例2 證明以坐標原點為圓心，半徑等于5的圓的方程是由學生自己閱讀課本解答，教師適時插話，強調(diào)證明要緊扣定義，分兩步進行給出推論，升華定義： (1)兩曲線的交點的坐標必為方程組的實根（2）兩曲線的交點的橫坐標必為方程的實根四、課堂練習：1如果曲線C上的點滿足方程F（x,y)=0，則以下說法正確的是（ ）A.曲線C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲線是CC.坐標滿足方程F(x,y)=0的點在曲線C上D.坐標不滿足方程F（x,y)=0的點不在曲線C上分析：判定曲線和方程的對應關系，必須注意兩點：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性；（2

10、）以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有點和解一一對應，才能說曲線的方程，方程和曲線解：由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性.故選D 2.判斷下列結(jié)論的正誤，并說明理由.（1）過點A（3，0）且垂直于x軸的直線的方程為x=0; (2)到x軸距離為2的點的直線方程為y=-2;(3)到兩坐標軸的距離乘積等于1的點的軌跡方程為xy=1;(4)ABC的頂點A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D為BC中點，則中線AD的方程為x=0 分析：判斷所給問題的正誤，主要依據(jù)是曲線的方程及方程的曲線的定義，即考查曲線上的點的純粹性和完備性.解：（1）滿

11、足曲線方程的定義.結(jié)論正確（2）因到x軸距離為2的點的直線方程還有一個；y=2，即不具備完備性.結(jié)論錯誤.（3）到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程應為x·y=1,即xy=±1.所給問題不具備完備性結(jié)論錯誤（4）中線AD是一條線段，而不是直線，x=0(-3y0),所給問題不具備純粹性.結(jié)論錯誤.3.方程（3x-4y-12)·log2(x+2y)-3=0的曲線經(jīng)過點A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（ ）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個分析：方程表示的兩條直線3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但應注意對數(shù)的真數(shù)大于0，x+2y0

12、 解：由對數(shù)的真數(shù)大于0，得x+2y0.A(0,-3)、C()不合要求將B（0，4）代入方程檢驗，不合要求.將D（4，0）代入方程檢驗，合乎要求.故選B.4.已知點A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3sec, tan),其中在曲線上的點的個數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4分析：由曲線上的點與方程的解的關系，只要把點的坐標代入方程，若滿足這個方程，說明這是這個方程的解，這個點就在該方程表示的曲線上.解：將點A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D（3sec, tan)代入方程檢驗，只有點A和點B滿足方程.故選B.5.如果兩條曲線的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0

13、，它們的交點M（x0,y0)，求證：方程F1(x,y)+F2(x,y)=0表示的曲線也經(jīng)過M點.（為任意常數(shù)）分析：只要將M點的坐標代入方程.F1(x,y)+F2(x,y)=0，看點M的坐標是否滿足方程即可證明：M(x0,y0)是曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點，F(xiàn)1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.F1(x0,y0)+F2(x0,y0)=0(R)M(x0,y0)在方程F1(x,y)+F2(x,y)=0所表示的曲線上.評述：方程F1(x,y)+F2(x,y)=0也稱為過曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點的曲線系方程五、小結(jié) ： “曲線的方程”、“方程的曲線”的定義在領會定義時，要牢記關系(1)、(2)兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件兩者滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性只有符合關系(1)、(2)，才能將曲線的研究轉(zhuǎn)化為方程來研究，即幾何問題的研究轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題這種“以數(shù)論形”的思想是解析幾何的基本思想和基本方法六、課后作業(yè)：1點A(1，-2)、B(2，-3)、C(