高考數(shù)學(xué)矩陣與變換第1課時(shí) 線(xiàn)性變換、二階矩陣及其乘法【更多資料關(guān)注微博@高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 】

1、最高考系列 高考總復(fù)習(xí)2014屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥）選修42矩陣與變換第1課時(shí)線(xiàn)性變換、二階矩陣及其乘法考情分析考點(diǎn)新知掌握恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等常見(jiàn)的線(xiàn)性變換的幾何表示及其幾何意義掌握恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等常見(jiàn)的線(xiàn)性變換的幾何表示及其幾何意義，并能應(yīng)用這幾種常見(jiàn)的線(xiàn)性變換進(jìn)行解題.1. (選修42P34習(xí)題第1題改編)求點(diǎn)A(2，0)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)解：矩陣表示橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)沿y軸負(fù)方向拉伸為原來(lái)的2倍的伸壓變換，故點(diǎn)A(2，0)變?yōu)辄c(diǎn)A(2，0)2. 點(diǎn)(1，k)在伸壓變

2、換矩陣之下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，4)，求m、k的值解：，解得3. 已知變換T是將平面內(nèi)圖形投影到直線(xiàn)y2x上的變換，求它所對(duì)應(yīng)的矩陣解：將平面內(nèi)圖形投影到直線(xiàn)y2x上，即是將圖形上任意一點(diǎn)(x，y)通過(guò)矩陣M作用變換為(x，2x)，則有，解得 T.4. 求曲線(xiàn)y在矩陣作用下變換所得的圖形對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)方程解：設(shè)點(diǎn)(x，y)是曲線(xiàn)y上任意一點(diǎn)，在矩陣的作用下點(diǎn)變換成(x，y)，則，所以.因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在曲線(xiàn)y上，所以x，即x.5. 求直線(xiàn)xy5在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的圖形解：設(shè)點(diǎn)(x，y)是直線(xiàn)xy5上任意一點(diǎn)，在矩陣的作用下點(diǎn)變換成(x，y)，則，所以.因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在直線(xiàn)xy5上，所以y

3、xy5，故得到的圖形是點(diǎn)(0，5)1. 變換一般地，對(duì)于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)(向量)(x，y)，若按照對(duì)應(yīng)法則T，總能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)平面點(diǎn)(向量)(x，y)，則稱(chēng)T為一個(gè)變換，簡(jiǎn)記為T(mén)：(x，y)(x，y)或T：.一般地，對(duì)于平面向量的變換T，如果變換規(guī)則為T(mén)：，那么根據(jù)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則，可以改寫(xiě)為(a、b、c、dR)的矩陣形式，反之亦然2. 幾種常見(jiàn)的平面變換(1) 當(dāng)M時(shí)，則對(duì)應(yīng)的變換是恒等變換(2) 由矩陣M或M(k>0)確定的變換TM稱(chēng)為(垂直)伸壓變換(3) 反射變換是軸對(duì)稱(chēng)變換、中心對(duì)稱(chēng)變換的總稱(chēng)(4) 當(dāng)M時(shí)，對(duì)應(yīng)的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，即把平面圖形(或點(diǎn))逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度

4、(5) 將一個(gè)平面圖投影到某條直線(xiàn)(或某個(gè)點(diǎn))的變換稱(chēng)為投影變換(6) 由矩陣M或確定的變換稱(chēng)為切變變換3. 變換的復(fù)合與矩陣的乘法(1) 一般情況下，ABBA，即矩陣的乘法不滿(mǎn)足交換律(2) 矩陣的乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，即(AB)CA(BC)(3) 矩陣的乘法不滿(mǎn)足消去律備課札記題型1求變換前后的曲線(xiàn)方程例1設(shè)橢圓F：1在(x，y)(x，y)(x2y，y)對(duì)應(yīng)的變換下變換成另一個(gè)圖形F，試求F的解析式解：變換矩陣為，任取橢圓上一點(diǎn)(x0，y0)，則，令則又點(diǎn)(x0，y0)在橢圓F上，故1，所以2x28xy9y240，即F的解析式為2x28xy9y240.設(shè)M，N，試求曲線(xiàn)ysinx在矩陣MN變換下

5、的曲線(xiàn)方程解：MN，設(shè)(x，y)是曲線(xiàn)ysinx上的任意一點(diǎn)，在矩陣MN變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)則，所以即代入ysinx得ysin2x，即y2sin2x.即曲線(xiàn)ysinx在矩陣MN變換下的曲線(xiàn)方程為y2sin2x.已知矩陣M，N，矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換把曲線(xiàn)ysinx變?yōu)榍€(xiàn)C，求曲線(xiàn)C的方程解： MN，設(shè)P(x，y)是所求曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，它是曲線(xiàn)ysinx上點(diǎn)P0(x0，y0)在矩陣MN變換下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則有，即所以又點(diǎn)P(x0，y0)在曲線(xiàn)ysinx上，故y0sinx0，從而ysinx.所求曲線(xiàn)C的方程為ysinx. 題型2根據(jù)變換前后的曲線(xiàn)方程求矩陣?yán)?二階矩陣M對(duì)應(yīng)變換將(1，1)與(

6、2，1)分別變換成(5，7)與(3，6)(1) 求矩陣M；(2) 若直線(xiàn)l在此變換下所變換成的直線(xiàn)的解析式l：11x3y680，求直線(xiàn)l的方程解：(1) 不妨設(shè)M，則由題意得，所以故M.(2) 取直線(xiàn)l上的任一點(diǎn)(x，y)，其在M作用下變換成對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x，y)，則，即代入11x3y680，得xy40，即l的方程為xy40.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l：xy20在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到直線(xiàn)m：xy40，求實(shí)數(shù)a、b的值解：(解法1)在直線(xiàn)l：xy20上取兩點(diǎn)A(2，0)，B(0，2)，A、B在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下分別對(duì)應(yīng)于點(diǎn)A、B，因?yàn)椋訟的坐標(biāo)為(2，2b)；，所以B的坐標(biāo)為(2a

7、，8)由題意A、B在直線(xiàn)m：xy40上，所以解得a2，b3.(解法2)設(shè)直線(xiàn)l：xy20上任意一點(diǎn)(x，y)在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)于點(diǎn)(x，y)因?yàn)椋詘xay，ybx4y.因?yàn)?x，y)在直線(xiàn)m上，所以(xay)(bx4y)40，即(1b)x(a4)y40.又點(diǎn)(x，y)在直線(xiàn)xy20上，所以，解得a2，b3.題型3平面變換的綜合應(yīng)用例3已知M，N，向量.(1) 驗(yàn)證：(MN)M(N)；(2) 驗(yàn)證這兩個(gè)矩陣不滿(mǎn)足MNNM.解：(1) 因?yàn)镸N，所以(MN).因?yàn)镹，所以M(N)，所以(MN)M(N)(2) 因?yàn)镸N，NM，所以這兩個(gè)矩陣不滿(mǎn)足MNNM.在直角坐標(biāo)系中，已知ABC的頂

8、點(diǎn)坐標(biāo)為A，B，C.求ABC在矩陣作用下變換所得到的圖形的面積解：因?yàn)?，所以A，B，C在矩陣作用下變換所得到的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B，C.故SABCAC|yB|.1. 在直角坐標(biāo)系中，OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求OAB在矩陣MN的作用下變換所得到的圖形的面積，其中矩陣M，N.解：由題設(shè)得MN，·，·，·.可知O、A、B三點(diǎn)在矩陣MN作用下變換所得的點(diǎn)分別為O(0，0)、A(2，0)、B(2，1)可得OAB的面積為1.2. 已知矩陣M，N，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線(xiàn)2xy10在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線(xiàn)F，求曲線(xiàn)F的方程解：由

9、題設(shè)得MN.設(shè)(x，y)是直線(xiàn)2xy10上任意一點(diǎn)，點(diǎn)(x，y)在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?x，y)，則有，即，所以因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在直線(xiàn)2xy10上，從而2x(y)10，即2xy10.所以曲線(xiàn)F的方程為2xy10.3. (2013·福建)已知直線(xiàn)l：axy1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€(xiàn)l：xby1.(1) 求實(shí)數(shù)a、b的值；(2) 若點(diǎn)P(x0，y0)在直線(xiàn)l上，且A，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解：(1) 設(shè)直線(xiàn)l：axy1上任意一點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的象是M(x，y)，由，得又點(diǎn)M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1.依題意解得(2) 由A，得解得y00.

10、又點(diǎn)P(x0，y0)在直線(xiàn)l上，所以x01，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)4. 在線(xiàn)性變換下，直線(xiàn)xyk(k為常數(shù))上的所有點(diǎn)都變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)，求此點(diǎn)坐標(biāo)解：由，得而xyk，所以(k為常數(shù))，所以直線(xiàn)xyk(k為常數(shù))上的所有點(diǎn)都變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)(k，2k)1. 如圖所示，四邊形ABCD和四邊形ABCD分別是矩形和平行四邊形，其中各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，2)、B(3，2)、C(3，2)、D(1，2)、B(3，7)、C(3，3)求將四邊形ABCD變成四邊形ABCD的變換矩陣M.解：該變換為切變變換設(shè)矩陣M，由圖知，CC，則.所以3k23，解得k.所以，M.2. 已知矩陣M，向量，.(1) 求向量3在TM作用下的

11、象；(2) 求向量4M5M.解：(1) 因?yàn)?3，所以M.(2) 4M5MM(45).3. 二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，1)與(2，1)分別變換成點(diǎn)(1，1)與(0，2)設(shè)直線(xiàn)l在變換M作用下得到了直線(xiàn)m：2xy4，求l的方程解：設(shè)M，則有，且，解得和， M，且m：2xy4， 2(x2y)(3x4y)4，即x4 0， 直線(xiàn)l的方程為x4 0.4. 二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，1)與(2，1)分別變換成點(diǎn)(1，1)與(0，2)(1) 求矩陣M；(2) 設(shè)直線(xiàn)l在變換M作用下得到了直線(xiàn)m：xy4，求l的方程解：(1) 設(shè)M，則有，所以且解得所以M.(2) 因?yàn)榍襪：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，即xy20，即直線(xiàn)l的方程為xy20.幾種特殊的變換：反射變換：M：點(diǎn)的變換為(x，y)(x，y)，變換前后關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；M：點(diǎn)的變換為(x，y)(x，y)，變換前后關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；M：點(diǎn)的變換為(x，y)(x，y)，變換前后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；M：點(diǎn)的變換為(x，y)(y，x)，變換前后關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)投影變換：M：將