高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)教案第九篇解析幾何兩條直線的位置關(guān)系

1、第2講兩條直線的位置關(guān)系【2013年高考會(huì)這樣考】1考查兩直線的平行與垂直2考查兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩平行直線間的距離公式【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1對(duì)兩條直線的位置關(guān)系，求解時(shí)要注意斜率不存在的情況，注意平行、垂直時(shí)直線方程系數(shù)的關(guān)系2熟記距離公式，如兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間的距離基礎(chǔ)梳理1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1l2k1k2，特別地，當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2的關(guān)系為平行(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則l1l2k1k21.如果l

2、1、l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，l1與l2的關(guān)系為垂直2兩直線相交交點(diǎn)：直線l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng)相交方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行方程組無(wú)解；重合方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解3三種距離公式(1)平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|.特別地，原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|.(2)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.(3)兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離為d.一條規(guī)律與直線AxByC0(A2B20)平行、垂直的直線方程

3、的設(shè)法：一般地，平行的直線方程設(shè)為AxBym0；垂直的直線方程設(shè)為BxAyn0.兩個(gè)防范(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無(wú)斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮(2)在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d時(shí)，一定要注意將兩方程中的x，y系數(shù)化為分別相等三種對(duì)稱(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P(2ax0,2by0)(2)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線ykxb的對(duì)稱點(diǎn)P(x，y)，則有可求出x，y. (3)直線關(guān)于直線的對(duì)稱若已知直線l1與對(duì)稱軸l相交，則交點(diǎn)必在與l1對(duì)稱的直線l2上，然后再求出l1上任

4、一個(gè)已知點(diǎn)P1關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱的點(diǎn)P2，那么經(jīng)過交點(diǎn)及點(diǎn)P2的直線就是l2；若已知直線l1與對(duì)稱軸l平行，則與l1對(duì)稱的直線和l1分別到直線l的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l1的對(duì)稱直線雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)直線ax2y10與直線2x3y10垂直，則a的值為()A3 B C2 D3解析由×1，得：a3.答案D2原點(diǎn)到直線x2y50的距離為()A1 B.C2 D.解析d.答案D3(2012·銀川月考)過點(diǎn)(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析所求直線與直線x2y20平行，所求直

5、線斜率k，排除C、D.又直線過點(diǎn)(1,0)，排除B，故選A.答案A4點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線xy10的對(duì)稱點(diǎn)是()A(a1，b1) B(b1，a1)C(a，b) D(b，a)解析設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則解得：xb1，ya1.答案B5平行線l1：3x2y50與l2：6x4y30之間的距離為_解析直線l2變?yōu)椋?x2y0，由平行線間的距離公式得：d.答案考向一兩條直線平行與垂直的判定及應(yīng)用【例1】(1)已知兩條直線yax2和y(a2)x1互相垂直，則實(shí)數(shù)a_.(2)“ab4”是直線2xay10與直線bx2y20平行的()A充分必要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件審題視點(diǎn)

6、(1)利用k1·k21解題(2)抓住ab4能否得到兩直線平行，反之兩直線平行能否一定得ab4.解析(1)由題意知(a2)a1，所以a22a10，則a1.(2)直線2xay10與直線bx2y20平行的充要條件是且1，即ab4且a1，則“ab4”是“直線2xay10與直線bx2y20平行”的必要而不充分條件答案(1)1(2)C (1)充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1·k21.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意(2)若直線l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb

7、1，l2：yk2xb2，則：直線l1l2的充要條件是k1·k21.設(shè)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.則：l1l2A1A2B1B20.(3)注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用【訓(xùn)練1】 已知直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1與l2相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1，l2重合解(1)由已知1×3m(m2)，即m22m30，解得m1且m3.故當(dāng)m1且m3時(shí)，l1與l2相交(2)當(dāng)1·(m2)m·30，即m時(shí)，l1l2.(3)當(dāng)1×3m(m2)且1×2m6×(m2)或

8、m×2m3×6，即m1時(shí)，l1l2.(4)當(dāng)1×3m(m2)且1×2m6×(m2)，即m3時(shí)，l1與l2重合考向二兩直線的交點(diǎn)【例2】求經(jīng)過直線l1：3x2y10和l2：5x2y10的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x5y60的直線l的方程審題視點(diǎn) 可先求出l1與l2的交點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式；也可利用直線系方程求解解法一先解方程組得l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率為，于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于ll3，故l是直線系5x3yC0中的一條，而l過l1、l2的交點(diǎn)(1,2)，故5×(1

9、)3×2C0，由此求出C1，故l的方程為5x3y10.法三由于l過l1、l2的交點(diǎn)，故l是直線系3x2y1(5x2y1)0中的一條，將其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率，解得，代入直線系方程即得l的方程為5x3y10. 運(yùn)用直線系方程，有時(shí)會(huì)給解題帶來(lái)方便，常見的直線系方程有：(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是：AxBym0(mR且mC)；(2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0(mR)；(3)過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.【訓(xùn)練2】 直線l被兩

10、條直線l1：4xy30和l2：3x5y50截得的線段的中點(diǎn)為P(1,2)，求直線l的方程解法一設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點(diǎn)為B(2x0,4y0)，并且滿足即解得因此直線l的方程為，即3xy10.法二設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由得x.由得x.則2，解得k3.因此所求直線方程為y23(x1)，即3xy10.法三兩直線l1和l2的方程為(4xy3)(3x5y5)0，將上述方程中(x，y)換成(2x,4y)，整理可得l1與l2關(guān)于(1,2)對(duì)稱圖形的方程：(4xy1)(3x5y31)0.整理得3xy10.考向三距離公式的應(yīng)用【例3】(2

11、011·北京東城模擬)若O(0,0)，A(4，1)兩點(diǎn)到直線axa2y60的距離相等，則實(shí)數(shù)a_.審題視點(diǎn) 由點(diǎn)到直線的距離公式列出等式求a.解析由題意，得，即4aa26±6，解之得a0或2或4或6.檢驗(yàn)得a0不合題意，所以a2或4或6.答案2或4或6 用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，直線方程要化為一般式，還要注意公式中分子含有絕對(duì)值的符號(hào)，分母含有根式的符號(hào)而求解兩平行直線的距離問題也可以在其中一條直線上任取一點(diǎn)，再求這一點(diǎn)到另一直線的距離【訓(xùn)練3】 已知直線l1：mx8yn0與l2：2xmy10互相平行，且l1，l2之間的距離為 ，求直線l1的方程解l1l2，或(1)當(dāng)m4時(shí)，

12、直線l1的方程為4x8yn0，把l2的方程寫成4x8y20.，解得n22或n18.所以，所求直線的方程為2x4y110或2x4y90.(2)當(dāng)m4時(shí)，直線l1的方程為4x8yn0，l2的方程為2x4y10，解得n18或n22.所以，所求直線的方程為2x4y90或2x4y110.考向四對(duì)稱問題【例4】光線從A(4，2)點(diǎn)射出，到直線yx上的B點(diǎn)后被直線yx反射到y(tǒng)軸上C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)D(1,6)，求BC所在的直線方程審題視點(diǎn) 設(shè)A關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為A，D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，則直線AD經(jīng)過點(diǎn)B與C.解作出草圖，如圖所示設(shè)A關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為A，D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為

13、D，則易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C.故BC所在的直線方程為，即10x3y80. 解決這類對(duì)稱問題要抓住兩條：一是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是以已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上【訓(xùn)練4】 已知直線l：xy10，l1：2xy20.若直線l2與l1關(guān)于l對(duì)稱，則l2的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10解析l1與l2關(guān)于l對(duì)稱，則l1上任一點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在l2上，故l與l1的交點(diǎn)(1,0)在l2上又易知(0，2)為l1上一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則得即(1,0)、(1，1)為l2上兩點(diǎn)，可得l2方程為x2y10.答案B難點(diǎn)突破19兩直線平行與垂直問題的求解策略從近兩年新課標(biāo)高考試題可看出高考主要以選擇題、填空題的形式考查兩直線的平行和垂直問題，往往是直線方程中一般帶有參數(shù)，問題的難點(diǎn)就是確定這些參數(shù)值，方法是根據(jù)兩直線平行、垂直時(shí)