高考數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題——不等式性質(zhì)

1、典型例題一例1 比較與的大小，其中解：，說明：由例1可以看出實數(shù)比較大小的依據(jù)是：；典型例題二例2 比較與的大小，其中解：， 當(dāng)時，；當(dāng)時，說明：兩個實數(shù)比較大小，通常用作差法來進行，其一般步驟是：第一步：作差；第二步：變形，常采用配方，因式分解等恒等變形手段；第三步：定號，貴州省是能確定是大于0，還是等于0，還是小于0最后得結(jié)論概括為“三步，結(jié)論”，這里的“變形”一步最為關(guān)鍵典型例題三例3，比較與（）的大小分析：直接作差需要將與（）展開，過程復(fù)雜，式子冗長，可否考慮根據(jù)兩個式子特點，予以變形，再作差解：=（），則有時，（）恒成立說明：有的確問題直接作差不容易判斷其符號，這時可根據(jù)兩式的特點考

2、慮先變形，到比較易于判斷符號時，再作差，予以比較，如此例就是先變形后，再作差典型例題四例4 設(shè)，比較與的大小解：作差，1）當(dāng)時，即，；2）當(dāng)，即時，；3）當(dāng)?shù)?，即或時，說明：如本題作差，變形，變形到最簡形式時，由于式中含有字母，不能定號，必須對字母根據(jù)式子具體特點分類討論才能定號此時要注意分類合理恰當(dāng)?shù)湫屠}五例5 比較與的大小分析：兩個數(shù)是冪的形式，比較大小一般采用作商法。解：說明：求商法比大小的變形要圍繞與1比大小進行典型例題六例6設(shè)，且，比較：與的大小。分析：比較大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性質(zhì)進行變形，然后確定大小。解：當(dāng)時，當(dāng)時，即，又，說明：求商法的基本步驟是：求商，

3、變形，與1比大小從而確定兩個數(shù)的大小.典型例題七例7 實數(shù)滿足條件：；，則有( )A BC D（天津市2001年南開中學(xué)期末試題）分析：先由條件分析出與的關(guān)系，根據(jù)條件利用用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合比出大小解：，與同側(cè)，與異側(cè)把標(biāo)在數(shù)軸上，只有下面一種情況由此得出，此題選D說明：比較大小時可以借助于數(shù)軸，利用推出的一些結(jié)論在數(shù)軸上標(biāo)出它們的相對位置，這樣容易看出幾個數(shù)之間的大小關(guān)系，尤其是比較的個數(shù)較多時適用典型例題八例8已知；，求：的取值范圍分析：此題是給代數(shù)式的字母的范圍，求另外代數(shù)式的范圍分為兩步來進行：(1)利用待定系數(shù)法將代數(shù)式用和表示(2)利用不等式性質(zhì)及題目條件確定的范圍解：設(shè)：由+

4、5;2得：說明：此題的一種典型錯誤做法，如下：，即：此解法的錯誤原因是因為與是兩個相互聯(lián)系，相互制約的量，而不是各自獨立的，當(dāng)取到最大值或最小值時，不一定能取到最值，所以用以上方法可能擴大變量的范圍避免出錯的方法是通過待定系數(shù)法“整體代入”，見解題過程典型例題九例9判斷下列各命題的真假，并說明理由（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則（5）若，則（6）若，則分析：利用不等式的性質(zhì)來判斷命題的真假解：（1），是真命題（2）可用賦值法：，有，是假命題也可這樣說明：，只能確定，但的符號無法確定，從而的符號確定不了，所以無法得到，實際上有：（3）與（2）類似，由，從而是假命題（4）取特殊值：

5、有，是假命題定理3的推論是同向不等式可相加，但同向不等式相減不一定成立只有異向不等式可相減，即（5），是真命題（6）定理4成立的條件為必須是正數(shù)舉反例：，則有說明：在利用不等式的性質(zhì)解題時，一定要注意性質(zhì)定理成立的條件要說明一個命題是假命題可通過舉反例典型例題十例10求證：分析：把已知的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為差數(shù)的正負，再利用不等式的性質(zhì)完成推理證明：利用不等式的性質(zhì)，得典型例題十一例11若，則下面不等式中成立的一個是（）（A）（B）（C）（D）解：由不等式的性質(zhì)知：（A）、（B）、（C）成立的條件都不充分，所以選（D），其實（D）正是異向不等式相減的結(jié)果說明：本的解法都是不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用，對于不

6、等式的基本性質(zhì)要逐條掌握準確，以便靈活應(yīng)用典型例題十二例12若，則下面各式中恒成立的是（）（A）（B）（C）（D）分析本題考查是否能正確使用不等式的性質(zhì)來進行變形，應(yīng)看到，已知條件中含有兩個內(nèi)容，即，和，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，繼而得到且，故，因此選A典型例題十三例13 若，則一定成立的不等式是（）A B C D分析：A錯，當(dāng)時有；同樣B錯；D沒有考慮各數(shù)取零和正負號的關(guān)系，所以也不對故選C，因為不等式兩邊同時加上一個任意數(shù)（此題是），原不等式成立說明：這類題可以采用特例法：令即得C成立典型例題十四例14已知：，求證：分析：要證明的式子中，左右均為二項差，其中都有一項是兩字母積的形式，因此在證

7、明時，對兩項積要注意性質(zhì)的使用，對兩項差的證明要注意使用同向加性或異向減性來處理證明：又由同向加性可得：說明：此題還可采用異向減性來處理：做這類題過程并不復(fù)雜，關(guān)鍵是記準性質(zhì)，并能正確地應(yīng)用典型例題十五例15已知集合求：分析：要求，需要先求集合和，從已知來看，的范圍容易求，的元素由可以推算，但在推算過程中，要注意運用不等式的性質(zhì)解：說明：本題中的條件，意在明確集合中的元素為，若去掉此條件，會出現(xiàn)不確定的情況比如，的實數(shù)和的整數(shù)顯然是有區(qū)別的另外，這里集合的元素是通過集合的元素求出的，解題時，一定要看清典型例題十六例16 設(shè)和都是非零實數(shù)，求不等式和同時成立的充要條件分析：本題是求兩個不等式同時

8、成立的充要條件，因此，這兩個不等式不能分開來討論如果分開討論，則成立的條件就是本身；而成立的條件則是與同號，且，但這個條件只是的一個充分條件，并且與第一個不等式是矛盾的所以必須研究這兩個不等式同時成立的條件顯然，應(yīng)該從求它們同時成立的必要條件入手解：先求，同時成立的必要條件，即當(dāng)，同時成立時，與應(yīng)具備什么條件由，得由可知，再由知，即與異號，因此是不等式與同時成立的必要條件再求，同時成立的充分條件事實上，當(dāng)時，必有，且，因而成立從而是不等式，同時成立的充分條件因此，兩個不等式，同時成立的充要條件是說明：本題結(jié)果表明，與同時成立，其充要條件是為正數(shù)，為負數(shù)這與成立的條件，不要混淆解本題是從必要條件入手的，即若，同時成立，則要研究從不等式和看與的大小有什么關(guān)系，從中得出結(jié)論（），再把這個結(jié)論作為一個充分條件去驗證及能否同時成立從而解決了本題典型例題十七例17已知函數(shù)滿足：則應(yīng)滿足（）（A）（B）（C）（D）分析：如果能用與將“線性”表示出：，就可利用不等式的基本性質(zhì)，由、的取值范圍，推出滿足的條件解：故由不等式的基本性質(zhì)，得故選（C）.說明：（1）也可設(shè)，由代定系