高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解五

1、高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解五1（本小題滿分14分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足（）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；（）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；（）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.滿分14分.（）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以3分證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記則由證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐

2、標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為由橢圓第二定義得，即由，所以3分（）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是7分解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則因此由得將代入，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是（）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是由得，由得所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.當(dāng)時(shí)，由，得解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是由得上式代入得于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)

3、M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.當(dāng)時(shí)，記，由知，所以2（本小題滿分12分）函數(shù)在區(qū)間（0，+）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且設(shè)是曲線在點(diǎn)（）得的切線方程，并設(shè)函數(shù)（）用、表示m；（）證明：當(dāng)；（）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.本小題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的大小關(guān)系.考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、抽象思維能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問(wèn)題的能力.滿分12分（）解：2分（）證明：令因?yàn)檫f減，所以遞增，因此，當(dāng)；當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的最小值為0，因此即6分（）解法一：，是不等式

4、成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.對(duì)任意成立的充要條件是另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為于是的充要條件是10分綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式有解、解不等式得因此，式即為b的取值范圍，式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.12分（）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.對(duì)任意成立的充要條件是8分令，于是對(duì)任意成立的充要條件是由當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.因此成立的充要條件是，即10分綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是顯然，存在a

5、、b使式成立的充要條件是：不等式有解、解不等式得因此，式即為b的取值范圍，式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.12分3（本小題滿分12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（II）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)并比較與的大小.解：由已知可得兩式相減得即從而當(dāng)時(shí)所以又所以從而故總有，又從而即數(shù)列是等比數(shù)列；（II）由（I）知因?yàn)樗詮亩?-=由上-=12當(dāng)時(shí)，式=0所以；當(dāng)時(shí)，式=-12所以當(dāng)時(shí)，又所以即從而4(本小題滿分14分)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線

6、恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解：（I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，由，得=將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn).5（本小題滿分12分）已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2

7、的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).（）求雙曲線C2的方程；（）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍.解：（）設(shè)雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得即.由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B得解此不等式得由、得故k的取值范圍為6（本小題滿分12分）數(shù)列an滿足.（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（）已知不等式，其中無(wú)理數(shù)e=2.71828.（）證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即那么. 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)不等式成立.根據(jù)（1）、（2）可知：成立.（）證法一：由遞推公式及（）的結(jié)論有兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得故上式從1到求和可得即（）證法二：由數(shù)學(xué)歸納法易證成立，故令取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得上式從2到n求和得因故成立.7（本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有則而又時(shí)命題正確.由1°、2